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Theorem stoweidlem46 27670
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1  |-  F/_ t U
stoweidlem46.2  |-  F/_ h Q
stoweidlem46.3  |-  F/ q
ph
stoweidlem46.4  |-  F/ t
ph
stoweidlem46.5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem46.6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem46.7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem46.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem46.9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem46.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem46.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem46.14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem46.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem46.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem46.17  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, T    f, q,
g, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, t    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g    w, g, h, t, T    g, W    A, q, r    Z, q, x    U, r    ph, r    t, J, w    t, K    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    A( w)    Q( x, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8  |-  F/ q
ph
2 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ q  s  e.  ( T 
\  U )
31, 2nfan 1842 . . . . . . 7  |-  F/ q ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
5 nfcv 2548 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t T
6 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
75, 6nfdif 3436 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( T  \  U
)
87nfel2 2560 . . . . . . . 8  |-  F/ t  s  e.  ( T 
\  U )
94, 8nfan 1842 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
10 stoweidlem46.2 . . . . . . 7  |-  F/_ h Q
11 stoweidlem46.5 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 stoweidlem46.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
13 stoweidlem46.8 . . . . . . 7  |-  T  = 
U. J
14 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1514adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  J  e.  Comp )
16 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
1716adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
18 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
19183adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
20 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
21203adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
22 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
2322adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
24 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
2524adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
26 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2726adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  U  e.  J )
28 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  Z  e.  U )
30 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  ( T  \  U ) )
313, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30stoweidlem43 27667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) ) )
32 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ g ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )
3310nfel2 2560 . . . . . . . 8  |-  F/ h  g  e.  Q
34 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ h
0  <  ( g `  s )
3533, 34nfan 1842 . . . . . . 7  |-  F/ h
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) )
36 eleq1 2472 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
h  e.  Q  <->  g  e.  Q ) )
37 fveq1 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  s )  =  ( g `  s ) )
3837breq2d 4192 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  s )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
3936, 38anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( h  =  g  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )  <-> 
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) ) )
4032, 35, 39cbvex 2060 . . . . . 6  |-  ( E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  s
) )  <->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
4131, 40sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
42 stoweidlem46.17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
43 rabexg 4321 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  _V  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  _V )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V )
4544ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  _V )
46 eldifi 3437 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  T )
4746ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  T
)
48 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  0  <  (
g `  s )
)
49 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
g `  t )  =  ( g `  s ) )
5049breq2d 4192 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  s  ->  (
0  <  ( g `  t )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
5150elrab 3060 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  <->  ( s  e.  T  /\  0  <  ( g `  s
) ) )
5247, 48, 51sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } )
53 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ph )
5416adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  Q )
5655, 12syl6eleq 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
57 fveq1 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  Z )  =  ( g `  Z ) )
5857eqeq1d 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
g `  Z )  =  0 ) )
59 fveq1 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
6059breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
6159breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
6260, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
6362ralbidv 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
6458, 63anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) ) )
6564elrab 3060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
6656, 65sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  (
g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
6766simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  A )
6854, 67sseldd 3317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
6968ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K ) )
70 nfcv 2548 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
0
71 nfcv 2548 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
g
72 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  g  e.  ( J  Cn  K )
734, 72nfan 1842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )
74 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
75 0xr 9095 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  0  e.  RR* )
77 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
7870, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77rfcnpre1 27565 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  J )
7953, 69, 78syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  J
)
80 eqidd 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
81 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
82 nfcv 2548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
g
8359breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  t )  <->  0  <  ( g `  t ) ) )
8483rabbidv 2916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
8584eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
8681, 82, 10, 85rspcegf 27569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  Q  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
8755, 80, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
8887ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } )
89 eqeq1 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9089rexbidv 2695 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  ( E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9190elrab 3060 . . . . . . . 8  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  <->  ( {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  J  /\  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9279, 88, 91sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  {
w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
93 stoweidlem46.7 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9492, 93syl6eleqr 2503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
)
95 nfcv 2548 . . . . . . . 8  |-  F/_ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
96 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  s  e.  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
97 nfrab1 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9893, 97nfcxfr 2545 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w W
9998nfel2 2560 . . . . . . . . 9  |-  F/ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  W
10096, 99nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )
101 eleq2 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
s  e.  w  <->  s  e.  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
102 eleq1 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  e.  W  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  e.  W
) )
103101, 102anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
( s  e.  w  /\  w  e.  W
)  <->  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) ) )
10495, 100, 103spcegf 3000 . . . . . . 7  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  _V  ->  ( ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
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t  e.  T  | 
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( s  e.  w  /\  w  e.  W
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g `  t ) }  e.  _V  /\  (
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0  <  ( g `  t ) }  e.  W ) )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  W ) )
10645, 52, 94, 105syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
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10741, 106exlimddv 1645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. w
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108 nfcv 2548 . . . . 5  |-  F/_ w
s
109108, 98elunif 27562 . . . 4  |-  ( s  e.  U. W  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
110107, 109sylibr 204 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  U. W )
111110ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  U. W ) )
112111ssrdv 3322 1  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2535    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   U.cuni 3983   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ran crn 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085   (,)cioo 10880   topGenctg 13628    Cn ccn 17250   Compccmp 17411
This theorem is referenced by:  stoweidlem50  27674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-cmp 17412  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313
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