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Theorem stoweidlem46 27118
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1  |-  F/_ t U
stoweidlem46.2  |-  F/_ h Q
stoweidlem46.3  |-  F/ q
ph
stoweidlem46.4  |-  F/ t
ph
stoweidlem46.5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem46.6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem46.7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem46.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem46.9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem46.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem46.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem46.14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem46.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem46.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem46.17  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, T    f, q,
g, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, t    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g    w, g, h, t, T    g, W    A, q, r    Z, q, x    U, r    ph, r    t, J, w    t, K    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    A( w)    Q( x, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8  |-  F/ q
ph
2 nfv 1619 . . . . . . . 8  |-  F/ q  s  e.  ( T 
\  U )
31, 2nfan 1829 . . . . . . 7  |-  F/ q ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
5 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
s
6 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t T
7 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
86, 7nfdif 3373 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( T  \  U
)
95, 8nfel 2502 . . . . . . . 8  |-  F/ t  s  e.  ( T 
\  U )
104, 9nfan 1829 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
11 stoweidlem46.2 . . . . . . 7  |-  F/_ h Q
12 stoweidlem46.5 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
13 stoweidlem46.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
14 stoweidlem46.8 . . . . . . 7  |-  T  = 
U. J
15 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  J  e.  Comp )
17 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
1817adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
19 simp1l 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
20 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
21 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
2219, 20, 213jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
23 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2422, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
25 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2622, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
27 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
28 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
2927, 28jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ph  /\  x  e.  RR ) )
30 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
32 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ph )
33 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )
3432, 33jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) ) )
35 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
37 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
3837adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  U  e.  J )
39 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  Z  e.  U )
41 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  ( T  \  U ) )
423, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 24, 26, 31, 36, 38, 40, 41stoweidlem43 27115 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) ) )
43 nfv 1619 . . . . . . 7  |-  F/ g ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )
44 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
g
4544, 11nfel 2502 . . . . . . . 8  |-  F/ h  g  e.  Q
46 nfv 1619 . . . . . . . 8  |-  F/ h
0  <  ( g `  s )
4745, 46nfan 1829 . . . . . . 7  |-  F/ h
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) )
48 eleq1 2418 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
h  e.  Q  <->  g  e.  Q ) )
49 fveq1 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  s )  =  ( g `  s ) )
5049breq2d 4116 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  s )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
5148, 50anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( h  =  g  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )  <-> 
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) ) )
5243, 47, 51cbvex 1990 . . . . . 6  |-  ( E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  s
) )  <->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
5342, 52sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
54 stoweidlem46.17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
55 rabexg 4245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  _V  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  _V )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  _V )
58 eldifi 3374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  T )
5958ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  T
)
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  0  <  (
g `  s )
)
6159, 60jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( s  e.  T  /\  0  < 
( g `  s
) ) )
62 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
g `  t )  =  ( g `  s ) )
6362breq2d 4116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
0  <  ( g `  t )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
6463elrab 2999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  <->  ( s  e.  T  /\  0  <  ( g `  s
) ) )
6561, 64sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } )
66 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ph )
67 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  g  e.  Q
)
6866, 67jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( ph  /\  g  e.  Q )
)
6917adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
70 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  Q )
7113eleq2i 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  e.  Q  <->  g  e.  { h  e.  A  | 
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) ) } )
7270, 71sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
73 fveq1 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  Z )  =  ( g `  Z ) )
7473eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
g `  Z )  =  0 ) )
75 fveq1 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
7675breq2d 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
7775breq1d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
7876, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
7978ralbidv 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
8074, 79anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  g  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) ) )
8180elrab 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
8272, 81sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  (
g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
8382simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  A )
8469, 83sseldd 3257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
8568, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K ) )
8666, 85jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K ) ) )
87 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
0
88 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
g
89 nfv 1619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  g  e.  ( J  Cn  K )
904, 89nfan 1829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )
91 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
92 0xr 8968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  0  e.  RR* )
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
9587, 88, 90, 12, 14, 91, 93, 94rfcnpre1 27013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  J )
9686, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  J
)
97 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
9870, 97jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  (
g  e.  Q  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } ) )
99 nfv 1619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ h { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
10075breq2d 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  t )  <->  0  <  ( g `  t ) ) )
101100rabbidv 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
102101eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
10399, 44, 11, 102rspcegf 27017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  Q  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
10498, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
10568, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } )
10696, 105jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
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( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
107 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
108107rexbidv 2640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  ( E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
109108elrab 2999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  <->  ( {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  J  /\  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
110106, 109sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
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( g `  t
) }  e.  {
w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
111 stoweidlem46.7 . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
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112110, 111syl6eleqr 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
)
11365, 112jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) )
11457, 113jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  _V  /\  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) ) )
115 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
116 nfv 1619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w  s  e.  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
117 nfrab1 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
118111, 117nfcxfr 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ w W
119115, 118nfel 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  W
120116, 119nfan 1829 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )
121 eleq2 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
s  e.  w  <->  s  e.  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
122 eleq1 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  e.  W  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  e.  W
) )
123121, 122anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
( s  e.  w  /\  w  e.  W
)  <->  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) ) )
124115, 120, 123spcegf 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  _V  ->  ( ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  /\  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
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125124imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V  /\  (
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0  <  ( g `  t ) }  e.  W ) )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  W ) )
126114, 125syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
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127126ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( (
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128127exlimdv 1636 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( E. g ( g  e.  Q  /\  0  < 
( g `  s
) )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) ) )
12953, 128mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
130 nfcv 2494 . . . . 5  |-  F/_ w
s
131130, 118elunif 27010 . . . 4  |-  ( s  e.  U. W  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
132129, 131sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  U. W )
133132ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  U. W ) )
134133ssrdv 3261 1  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541   F/wnf 1544    = wceq 1642    e. wcel 1710   F/_wnfc 2481    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   U.cuni 3908   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ran crn 4772   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958   (,)cioo 10748   topGenctg 13441    Cn ccn 17060   Compccmp 17219
This theorem is referenced by:  stoweidlem50  27122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989
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