Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem46 Unicode version

Theorem stoweidlem46 27118
 Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1
stoweidlem46.2
stoweidlem46.3
stoweidlem46.4
stoweidlem46.5
stoweidlem46.6
stoweidlem46.7
stoweidlem46.8
stoweidlem46.9
stoweidlem46.10
stoweidlem46.11
stoweidlem46.12
stoweidlem46.13
stoweidlem46.14
stoweidlem46.15
stoweidlem46.16
stoweidlem46.17
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,,)   (,,)   (,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,,,,)   (,)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8
2 nfv 1619 . . . . . . . 8
31, 2nfan 1829 . . . . . . 7
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8
5 nfcv 2494 . . . . . . . . 9
6 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10
7 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10
86, 7nfdif 3373 . . . . . . . . 9
95, 8nfel 2502 . . . . . . . 8
104, 9nfan 1829 . . . . . . 7
11 stoweidlem46.2 . . . . . . 7
12 stoweidlem46.5 . . . . . . 7
13 stoweidlem46.6 . . . . . . 7
14 stoweidlem46.8 . . . . . . 7
15 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8
1615adantr 451 . . . . . . 7
17 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8
1817adantr 451 . . . . . . 7
19 simp1l 979 . . . . . . . . 9
20 simp2 956 . . . . . . . . 9
21 simp3 957 . . . . . . . . 9
2219, 20, 213jca 1132 . . . . . . . 8
23 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8
2422, 23syl 15 . . . . . . 7
25 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8
2622, 25syl 15 . . . . . . 7
27 simpll 730 . . . . . . . . 9
28 simpr 447 . . . . . . . . 9
2927, 28jca 518 . . . . . . . 8
30 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8
3129, 30syl 15 . . . . . . 7
32 simpll 730 . . . . . . . . 9
33 simpr 447 . . . . . . . . 9
3432, 33jca 518 . . . . . . . 8
35 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8
3634, 35syl 15 . . . . . . 7
37 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8
3837adantr 451 . . . . . . 7
39 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8
4039adantr 451 . . . . . . 7
41 simpr 447 . . . . . . 7
423, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 24, 26, 31, 36, 38, 40, 41stoweidlem43 27115 . . . . . 6
43 nfv 1619 . . . . . . 7
44 nfcv 2494 . . . . . . . . 9
4544, 11nfel 2502 . . . . . . . 8
46 nfv 1619 . . . . . . . 8
4745, 46nfan 1829 . . . . . . 7
48 eleq1 2418 . . . . . . . 8
49 fveq1 5607 . . . . . . . . 9
5049breq2d 4116 . . . . . . . 8
5148, 50anbi12d 691 . . . . . . 7
5243, 47, 51cbvex 1990 . . . . . 6
5342, 52sylib 188 . . . . 5
54 stoweidlem46.17 . . . . . . . . . . 11
55 rabexg 4245 . . . . . . . . . . 11
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . 10
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
58 eldifi 3374 . . . . . . . . . . . . 13
5958ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60jca 518 . . . . . . . . . . 11
62 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . 13
6362breq2d 4116 . . . . . . . . . . . 12
6463elrab 2999 . . . . . . . . . . 11
6561, 64sylibr 203 . . . . . . . . . 10
66 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6866, 67jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6917adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7113eleq2i 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7270, 71sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73 fveq1 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7473eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75 fveq1 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7675breq2d 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7775breq1d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7876, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7978ralbidv 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8074, 79anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8180elrab 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8272, 81sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8469, 83sseldd 3257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8568, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
8666, 85jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
87 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 nfv 1619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
904, 89nfan 1829 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 0xr 8968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
9587, 88, 90, 12, 14, 91, 93, 94rfcnpre1 27013 . . . . . . . . . . . . . 14
9686, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
97 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9870, 97jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 nfv 1619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10075breq2d 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101100rabbidv 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10399, 44, 11, 102rspcegf 27017 . . . . . . . . . . . . . . 15
10498, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
10568, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
10696, 105jca 518 . . . . . . . . . . . 12
107 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . . . . 14
108107rexbidv 2640 . . . . . . . . . . . . 13
109108elrab 2999 . . . . . . . . . . . 12
110106, 109sylibr 203 . . . . . . . . . . 11
111 stoweidlem46.7 . . . . . . . . . . 11
112110, 111syl6eleqr 2449 . . . . . . . . . 10
11365, 112jca 518 . . . . . . . . 9
11457, 113jca 518 . . . . . . . 8
115 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10
116 nfv 1619 . . . . . . . . . . 11
117 nfrab1 2796 . . . . . . . . . . . . 13
118111, 117nfcxfr 2491 . . . . . . . . . . . 12
119115, 118nfel 2502 . . . . . . . . . . 11
120116, 119nfan 1829 . . . . . . . . . 10
121 eleq2 2419 . . . . . . . . . . 11
122 eleq1 2418 . . . . . . . . . . 11
123121, 122anbi12d 691 . . . . . . . . . 10
124115, 120, 123spcegf 2940 . . . . . . . . 9
125124imp 418 . . . . . . . 8
126114, 125syl 15 . . . . . . 7
127126ex 423 . . . . . 6
128127exlimdv 1636 . . . . 5
12953, 128mpd 14 . . . 4
130 nfcv 2494 . . . . 5
131130, 118elunif 27010 . . . 4
132129, 131sylibr 203 . . 3
133132ex 423 . 2
134133ssrdv 3261 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1541  wnf 1544   wceq 1642   wcel 1710  wnfc 2481   wne 2521  wral 2619  wrex 2620  crab 2623  cvv 2864   cdif 3225   wss 3228  cuni 3908   class class class wbr 4104   cmpt 4158   crn 4772  cfv 5337  (class class class)co 5945  cr 8826  cc0 8827  c1 8828   caddc 8830   cmul 8832  cxr 8956   clt 8957   cle 8958  cioo 10748  ctg 13441   ccn 17060  ccmp 17219 This theorem is referenced by:  stoweidlem50  27122 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-mulf 8907 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989
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