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Theorem stoweidlem46 27795
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1  |-  F/_ t U
stoweidlem46.2  |-  F/_ h Q
stoweidlem46.3  |-  F/ q
ph
stoweidlem46.4  |-  F/ t
ph
stoweidlem46.5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem46.6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem46.7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem46.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem46.9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem46.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem46.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem46.14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem46.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem46.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem46.17  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, T    f, q,
g, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, t    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g    w, g, h, t, T    g, W    A, q, r    Z, q, x    U, r    ph, r    t, J, w    t, K    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    A( w)    Q( x, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8  |-  F/ q
ph
2 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ q  s  e.  ( T 
\  U )
31, 2nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ q ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
5 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
s
6 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t T
7 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
86, 7nfdif 3297 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( T  \  U
)
95, 8nfel 2427 . . . . . . . 8  |-  F/ t  s  e.  ( T 
\  U )
104, 9nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
11 stoweidlem46.2 . . . . . . 7  |-  F/_ h Q
12 stoweidlem46.5 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
13 stoweidlem46.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
14 stoweidlem46.8 . . . . . . 7  |-  T  = 
U. J
15 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  J  e.  Comp )
17 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
1817adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
19 simp1l 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
20 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
21 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
2219, 20, 213jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
23 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2422, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
25 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2622, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
27 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
28 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
2927, 28jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ph  /\  x  e.  RR ) )
30 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
32 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ph )
33 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )
3432, 33jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) ) )
35 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
37 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
3837adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  U  e.  J )
39 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  Z  e.  U )
41 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  ( T  \  U ) )
423, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 24, 26, 31, 36, 38, 40, 41stoweidlem43 27792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) ) )
43 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ g ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )
44 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
g
4544, 11nfel 2427 . . . . . . . 8  |-  F/ h  g  e.  Q
46 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ h
0  <  ( g `  s )
4745, 46nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ h
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) )
48 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
h  e.  Q  <->  g  e.  Q ) )
49 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  s )  =  ( g `  s ) )
5049breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  s )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
5148, 50anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( h  =  g  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )  <-> 
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) ) )
5243, 47, 51cbvex 1925 . . . . . 6  |-  ( E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  s
) )  <->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
5342, 52sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
54 stoweidlem46.17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
55 rabexg 4164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  _V  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  _V )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  _V )
58 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  T )
5958ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  T
)
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  0  <  (
g `  s )
)
6159, 60jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( s  e.  T  /\  0  < 
( g `  s
) ) )
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
g `  t )  =  ( g `  s ) )
6362breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
0  <  ( g `  t )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
6463elrab 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  <->  ( s  e.  T  /\  0  <  ( g `  s
) ) )
6561, 64sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } )
66 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ph )
67 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  g  e.  Q
)
6866, 67jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( ph  /\  g  e.  Q )
)
6917adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
70 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  Q )
7113eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  e.  Q  <->  g  e.  { h  e.  A  | 
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) ) } )
7270, 71sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
73 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  Z )  =  ( g `  Z ) )
7473eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
g `  Z )  =  0 ) )
75 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
7675breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
7775breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
7876, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
7978ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
8074, 79anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  g  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) ) )
8180elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
8272, 81sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  (
g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
8382simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  A )
8469, 83sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
8568, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K ) )
8666, 85jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K ) ) )
87 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
0
88 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
g
89 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  g  e.  ( J  Cn  K )
904, 89nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )
91 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
92 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  0  e.  RR* )
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
9587, 88, 90, 12, 14, 91, 93, 94rfcnpre1 27690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  J )
9686, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  J
)
97 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
9870, 97jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  (
g  e.  Q  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } ) )
99 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ h { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
10075breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  t )  <->  0  <  ( g `  t ) ) )
101100rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
102101eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
10399, 44, 11, 102rspcegf 27694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  Q  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
10498, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
10568, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } )
10696, 105jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
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( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
107 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
108107rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  ( E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
109108elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
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t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  J  /\  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
110106, 109sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
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( g `  t
) }  e.  {
w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
111 stoweidlem46.7 . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
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112110, 111syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
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( g `  t
) }  e.  W
)
11365, 112jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) )
11457, 113jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ( { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  _V  /\  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) ) )
115 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
116 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w  s  e.  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
117 nfrab1 2720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
118111, 117nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ w W
119115, 118nfel 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  W
120116, 119nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )
121 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
s  e.  w  <->  s  e.  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
122 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  e.  W  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  e.  W
) )
123121, 122anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
( s  e.  w  /\  w  e.  W
)  <->  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) ) )
124115, 120, 123spcegf 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  _V  ->  ( ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  /\  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
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125124imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V  /\  (
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0  <  ( g `  t ) }  e.  W ) )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  W ) )
126114, 125syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
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127126ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( (
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128127exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( E. g ( g  e.  Q  /\  0  < 
( g `  s
) )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) ) )
12953, 128mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
130 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ w
s
131130, 118elunif 27687 . . . 4  |-  ( s  e.  U. W  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
132129, 131sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  U. W )
133132ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  U. W ) )
134133ssrdv 3185 1  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   topGenctg 13342    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem50  27799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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