Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem47 Unicode version

Theorem stoweidlem47 27899
Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem47.1  |-  F/_ t F
stoweidlem47.2  |-  F/_ t S
stoweidlem47.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem47.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem47.5  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
stoweidlem47.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem47.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
stoweidlem47.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem47.9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem47.10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem47  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Distinct variable groups:    t, J    t, K    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( t)    S( t)    F( t)    G( t)

Proof of Theorem stoweidlem47
StepHypRef Expression
1 stoweidlem47.3 . . 3  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem47.5 . . . . . . 7  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
32fveq1i 5542 . . . . . 6  |-  ( G `
 t )  =  ( ( T  X.  { -u S } ) `
 t )
4 stoweidlem47.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
54renegcld 9226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  RR )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  -u S  e.  RR )
7 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
86, 7jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( -u S  e.  RR  /\  t  e.  T )
)
9 fvconst2g 5743 . . . . . . 7  |-  ( (
-u S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { -u S } ) `  t
)  =  -u S
)
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { -u S } ) `  t )  =  -u S )
113, 10syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  -u S )
1211oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  + 
-u S ) )
13 stoweidlem47.6 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
14 stoweidlem47.4 . . . . . . . . . . 11  |-  T  = 
U. J
15 stoweidlem47.8 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
16 stoweidlem47.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
1713, 14, 15, 16fcnre 27799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> RR )
1918, 7jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
20 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
2119, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2221recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
234recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
2522, 24jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  CC  /\  S  e.  CC )
)
26 negsub 9111 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( F `  t )  +  -u S )  =  ( ( F `  t
)  -  S ) )
2725, 26syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  -u S
)  =  ( ( F `  t )  -  S ) )
2812, 27eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  -  S ) )
291, 28mpteq2da 4121 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  -  S ) ) )
30 stoweidlem47.1 . . . 4  |-  F/_ t F
31 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ t T
32 stoweidlem47.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t S
3332nfneg 9064 . . . . . . 7  |-  F/_ t -u S
3433nfsn 3704 . . . . . 6  |-  F/_ t { -u S }
3531, 34nfxp 4731 . . . . 5  |-  F/_ t
( T  X.  { -u S } )
362, 35nfcxfr 2429 . . . 4  |-  F/_ t G
37 stoweidlem47.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
3814a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  U. J
)
3937, 38jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  T  =  U. J
) )
40 istopon 16679 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  T
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  T  =  U. J ) )
4139, 40sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
4216, 15syl6eleq 2386 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
43 retopon 18288 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
4413, 43eqeltri 2366 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
4544a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
4641, 45, 53jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR ) )
47 cnconst2 17027 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR )  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K ) )
4846, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K
) )
492, 48syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
5030, 36, 1, 13, 41, 42, 49refsum2cn 27812 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
5150, 15syl6eleqr 2387 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  C
)
5229, 51eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054   (,)cioo 10672   topGenctg 13358   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  27914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
  Copyright terms: Public domain W3C validator