Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem47 Unicode version

Theorem stoweidlem47 27796
Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem47.1  |-  F/_ t F
stoweidlem47.2  |-  F/_ t S
stoweidlem47.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem47.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem47.5  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
stoweidlem47.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem47.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
stoweidlem47.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem47.9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem47.10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem47  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Distinct variable groups:    t, J    t, K    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( t)    S( t)    F( t)    G( t)

Proof of Theorem stoweidlem47
StepHypRef Expression
1 stoweidlem47.3 . . 3  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem47.5 . . . . . . 7  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
32fveq1i 5526 . . . . . 6  |-  ( G `
 t )  =  ( ( T  X.  { -u S } ) `
 t )
4 stoweidlem47.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
54renegcld 9210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  RR )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  -u S  e.  RR )
7 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
86, 7jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( -u S  e.  RR  /\  t  e.  T )
)
9 fvconst2g 5727 . . . . . . 7  |-  ( (
-u S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { -u S } ) `  t
)  =  -u S
)
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { -u S } ) `  t )  =  -u S )
113, 10syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  -u S )
1211oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  + 
-u S ) )
13 stoweidlem47.6 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
14 stoweidlem47.4 . . . . . . . . . . 11  |-  T  = 
U. J
15 stoweidlem47.8 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
16 stoweidlem47.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
1713, 14, 15, 16fcnre 27696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> RR )
1918, 7jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
20 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
2119, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2221recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
234recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
2522, 24jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  CC  /\  S  e.  CC )
)
26 negsub 9095 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( F `  t )  +  -u S )  =  ( ( F `  t
)  -  S ) )
2725, 26syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  -u S
)  =  ( ( F `  t )  -  S ) )
2812, 27eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  -  S ) )
291, 28mpteq2da 4105 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  -  S ) ) )
30 stoweidlem47.1 . . . 4  |-  F/_ t F
31 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ t T
32 stoweidlem47.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t S
3332nfneg 9048 . . . . . . 7  |-  F/_ t -u S
3433nfsn 3691 . . . . . 6  |-  F/_ t { -u S }
3531, 34nfxp 4715 . . . . 5  |-  F/_ t
( T  X.  { -u S } )
362, 35nfcxfr 2416 . . . 4  |-  F/_ t G
37 stoweidlem47.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
3814a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  U. J
)
3937, 38jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  T  =  U. J
) )
40 istopon 16663 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  T
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  T  =  U. J ) )
4139, 40sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
4216, 15syl6eleq 2373 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
43 retopon 18272 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
4413, 43eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
4544a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
4641, 45, 53jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR ) )
47 cnconst2 17011 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR )  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K ) )
4846, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K
) )
492, 48syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
5030, 36, 1, 13, 41, 42, 49refsum2cn 27709 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
5150, 15syl6eleqr 2374 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  C
)
5229, 51eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038   (,)cioo 10656   topGenctg 13342   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator