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Theorem stoweidlem48 27773
 Description: This lemma is used to prove that built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < ε on . Here is used to represent in the paper, is used to represent ε in the paper, and is used to represent in the paper (because is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1
stoweidlem48.2
stoweidlem48.3
stoweidlem48.4
stoweidlem48.5
stoweidlem48.6
stoweidlem48.7
stoweidlem48.8
stoweidlem48.9
stoweidlem48.10
stoweidlem48.11
stoweidlem48.12
stoweidlem48.13
stoweidlem48.14
stoweidlem48.15
stoweidlem48.16
stoweidlem48.17
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2
2 stoweidlem48.12 . . . . . 6
32sselda 3348 . . . . 5
4 stoweidlem48.1 . . . . . 6
5 stoweidlem48.3 . . . . . . 7
6 nfra1 2756 . . . . . . . 8
7 nfcv 2572 . . . . . . . 8
86, 7nfrab 2889 . . . . . . 7
95, 8nfcxfr 2569 . . . . . 6
10 stoweidlem48.4 . . . . . 6
11 stoweidlem48.5 . . . . . 6
12 stoweidlem48.6 . . . . . 6
13 stoweidlem48.7 . . . . . 6
14 stoweidlem48.14 . . . . . 6
15 stoweidlem48.8 . . . . . 6
16 stoweidlem48.10 . . . . . 6
175eleq2i 2500 . . . . . . . . . 10
1817biimpi 187 . . . . . . . . 9
19 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . 13
2019breq2d 4224 . . . . . . . . . . . 12
2119breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11
2322ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10
2423elrab 3092 . . . . . . . . 9
2518, 24sylib 189 . . . . . . . 8
2625simpld 446 . . . . . . 7
27 stoweidlem48.15 . . . . . . 7
2826, 27sylan2 461 . . . . . 6
29 eqid 2436 . . . . . . 7
30 stoweidlem48.16 . . . . . . 7
311, 5, 29, 27, 30stoweidlem16 27741 . . . . . 6
324, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 28, 31fmuldfeq 27689 . . . . 5
333, 32syldan 457 . . . 4
34 elnnuz 10522 . . . . . . . . 9
3515, 34sylib 189 . . . . . . . 8
3635adantr 452 . . . . . . 7
37 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12
384, 37nfan 1846 . . . . . . . . . . 11
3916fnvinran 27661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4240breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4341, 42anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4443ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544, 5elrab2 3094 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4639, 45sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14
48 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948, 47jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14
50 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 feq1 5576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5351, 52imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15
5427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54vtoclga 3017 . . . . . . . . . . . . . 14
5647, 49, 55sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13
5756adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12
58 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . 11
60 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
6138, 59, 60fmptdf 27694 . . . . . . . . . 10
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
63 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13
64 mptexg 5965 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12
6612fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . 12
6762, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
6867feq1d 5580 . . . . . . . . . 10
6961, 68mpbird 224 . . . . . . . . 9
703, 69syldan 457 . . . . . . . 8
7170fnvinran 27661 . . . . . . 7
72 remulcl 9075 . . . . . . . 8
7372adantl 453 . . . . . . 7
7436, 71, 73seqcl 11343 . . . . . 6
7513fvmpt2 5812 . . . . . 6
763, 74, 75syl2anc 643 . . . . 5
77 nfcv 2572 . . . . . . . . 9
78 nfmpt1 4298 . . . . . . . . 9
7977, 78nfmpt 4297 . . . . . . . 8
8012, 79nfcxfr 2569 . . . . . . 7
81 nfcv 2572 . . . . . . 7
8280, 81nffv 5735 . . . . . 6
83 nfv 1629 . . . . . . 7
844, 83nfan 1846 . . . . . 6
85 nfcv 2572 . . . . . 6
86 eqid 2436 . . . . . 6
8715adantr 452 . . . . . 6
88 simpll 731 . . . . . . . 8
89 simpr 448 . . . . . . . 8
903adantr 452 . . . . . . . 8
9146simprd 450 . . . . . . . . . 10
9291r19.21bi 2804 . . . . . . . . 9
9392simpld 446 . . . . . . . 8
9488, 89, 90, 93syl21anc 1183 . . . . . . 7
9567fveq1d 5730 . . . . . . . . 9
9688, 90, 95syl2anc 643 . . . . . . . 8
9788, 90, 89, 59syl21anc 1183 . . . . . . . . 9
9860fvmpt2 5812 . . . . . . . . 9
9989, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . 8
10096, 99eqtrd 2468 . . . . . . 7
10194, 100breqtrrd 4238 . . . . . 6
10292simprd 450 . . . . . . . 8
10388, 89, 90, 102syl21anc 1183 . . . . . . 7
104100, 103eqbrtrd 4232 . . . . . 6
105 stoweidlem48.17 . . . . . . 7
106105adantr 452 . . . . . 6
107 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . 11
108107sselda 3348 . . . . . . . . . 10
109 eluni 4018 . . . . . . . . . 10
110108, 109sylib 189 . . . . . . . . 9
111 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114111, 112, 1133syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14
116115adantrl 697 . . . . . . . . . . . . 13
117 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119117, 118eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120119ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15
121120reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . . 14
122121adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13
123116, 122mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
124123ex 424 . . . . . . . . . . 11
125124exlimdv 1646 . . . . . . . . . 10
126125adantr 452 . . . . . . . . 9
127110, 126mpd 15 . . . . . . . 8
128 simplll 735 . . . . . . . . . . 11
129 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
130 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
131 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . 14
132 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . 14
1334, 131, 132nf3an 1849 . . . . . . . . . . . . 13
134 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13
135133, 134nfim 1832 . . . . . . . . . . . 12
136 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14
137 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14
139136, 1383anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . 13
140 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15
141140fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
142141breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13
143139, 142imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
144 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . 14
145144r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . 13
1461453impa 1148 . . . . . . . . . . . 12
147135, 143, 146chvar 1968 . . . . . . . . . . 11
148128, 129, 130, 147syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
149148ex 424 . . . . . . . . 9
150149reximdva 2818 . . . . . . . 8
151127, 150mpd 15 . . . . . . 7
15284, 131nfan 1846 . . . . . . . . . . . 12
153 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
15482, 153nffv 5735 . . . . . . . . . . . . 13
155154nfeq1 2581 . . . . . . . . . . . 12
156152, 155nfim 1832 . . . . . . . . . . 11
157136anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
158 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
159158, 141eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . 12
160157, 159imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
161156, 160, 100chvar 1968 . . . . . . . . . 10
162161breq1d 4222 . . . . . . . . 9
163162biimprd 215 . . . . . . . 8
164163reximdva 2818 . . . . . . 7
165151, 164mpd 15 . . . . . 6
16682, 84, 85, 86, 87, 70, 101, 104, 106, 165fmul01lt1 27692 . . . . 5
16776, 166eqbrtrd 4232 . . . 4
16833, 167eqbrtrd 4232 . . 3
169168ex 424 . 2
1701, 169ralrimi 2787 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  cuni 4015   class class class wbr 4212   cmpt 4266   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   clt 9120   cle 9121  cn 10000  cuz 10488  crp 10612  cfz 11043   cseq 11323 This theorem is referenced by:  stoweidlem51  27776 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324
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