Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem48 Unicode version

Theorem stoweidlem48 27209
 Description: This lemma is used to prove that built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < ε on . Here is used to represent in the paper, is used to represent ε in the paper, and is used to represent in the paper (because is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1
stoweidlem48.2
stoweidlem48.3
stoweidlem48.4
stoweidlem48.5
stoweidlem48.6
stoweidlem48.7
stoweidlem48.8
stoweidlem48.9
stoweidlem48.10
stoweidlem48.11
stoweidlem48.12
stoweidlem48.13
stoweidlem48.14
stoweidlem48.15
stoweidlem48.16
stoweidlem48.17
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2
2 simpl 443 . . . . . 6
3 stoweidlem48.12 . . . . . . . 8
43adantr 451 . . . . . . 7
5 simpr 447 . . . . . . 7
6 ssel 3174 . . . . . . 7
74, 5, 6sylc 56 . . . . . 6
82, 7jca 518 . . . . 5
9 stoweidlem48.1 . . . . . 6
10 stoweidlem48.3 . . . . . . 7
11 nfra1 2593 . . . . . . . 8
12 nfcv 2419 . . . . . . . 8
1311, 12nfrab 2721 . . . . . . 7
1410, 13nfcxfr 2416 . . . . . 6
15 stoweidlem48.4 . . . . . 6
16 stoweidlem48.5 . . . . . 6
17 stoweidlem48.6 . . . . . 6
18 stoweidlem48.7 . . . . . 6
19 stoweidlem48.14 . . . . . 6
20 stoweidlem48.8 . . . . . 6
21 stoweidlem48.10 . . . . . 6
22 simpl 443 . . . . . . . 8
2310eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . 12
2423biimpi 186 . . . . . . . . . . 11
25 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14
2725breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
2928ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12
3029elrab 2923 . . . . . . . . . . 11
3124, 30sylib 188 . . . . . . . . . 10
3231simpld 445 . . . . . . . . 9
3332adantl 452 . . . . . . . 8
3422, 33jca 518 . . . . . . 7
35 stoweidlem48.15 . . . . . . 7
3634, 35syl 15 . . . . . 6
37 eqid 2283 . . . . . . 7
38 stoweidlem48.16 . . . . . . 7
391, 10, 37, 35, 38stoweidlem16 27177 . . . . . 6
409, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 36, 39fmuldfeq 27125 . . . . 5
418, 40syl 15 . . . 4
42 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . 11
4342biimpi 186 . . . . . . . . . 10
4420, 43syl 15 . . . . . . . . 9
4544adantr 451 . . . . . . . 8
46 simpr 447 . . . . . . . . 9
47 id 19 . . . . . . . . 9
48 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10
49 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13
509, 49nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12
51 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51nfan 1771 . . . . . . . . . . 11
53 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5553, 54nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . . . 15
5617, 55nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . 14
57 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14
5856, 57nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13
5958, 48nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12
60 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60nfel 2427 . . . . . . . . . . 11
6252, 61nfim 1769 . . . . . . . . . 10
63 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12
6463anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11
65 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
6665eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11
6764, 66imbi12d 311 . . . . . . . . . 10
68 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
699, 68nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7021adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
71 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7270, 71jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
73 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
75 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7675breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7775breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7876, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7978ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8079, 10elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8174, 80sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8281simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
83 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8483, 82jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
85 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8685anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
87 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8886, 87imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8935a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9088, 89vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9182, 84, 90sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9291adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
93 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9492, 93jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
95 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9869, 97ralrimi 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
99 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10099fmpt 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10198, 100sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104103a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105 mptexg 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107102, 106jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10817fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109feq1d 5379 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111101, 110mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15
1128, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
115113, 114jca 518 . . . . . . . . . . . 12
116 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . 11
118117a1i 10 . . . . . . . . . 10
11948, 62, 67, 118vtoclgaf 2848 . . . . . . . . 9
12046, 47, 119sylc 56 . . . . . . . 8
121 remulcl 8822 . . . . . . . . 9
122121adantl 452 . . . . . . . 8
12345, 120, 122seqcl 11066 . . . . . . 7
1247, 123jca 518 . . . . . 6
12518fvmpt2 5608 . . . . . 6
126124, 125syl 15 . . . . 5
127 nfcv 2419 . . . . . 6
128 eqid 2283 . . . . . 6
12920adantr 451 . . . . . 6
130 simpll 730 . . . . . . . . . 10
131130, 114jca 518 . . . . . . . . 9
1327adantr 451 . . . . . . . . 9
133131, 132jca 518 . . . . . . . 8
13481simprd 449 . . . . . . . . . . 11
135 rsp 2603 . . . . . . . . . . 11
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . 10
137136imp 418 . . . . . . . . 9
138137simpld 445 . . . . . . . 8
139133, 138syl 15 . . . . . . 7
140130, 132jca 518 . . . . . . . . 9
141109fveq1d 5527 . . . . . . . . 9
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8
143140, 114jca 518 . . . . . . . . . . 11
144143, 96syl 15 . . . . . . . . . 10
145114, 144jca 518 . . . . . . . . 9
14699fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9
147145, 146syl 15 . . . . . . . 8
148142, 147eqtrd 2315 . . . . . . 7
149139, 148breqtrrd 4049 . . . . . 6
150137simprd 449 . . . . . . . 8
151133, 150syl 15 . . . . . . 7
152148, 151eqbrtrd 4043 . . . . . 6
153 stoweidlem48.17 . . . . . . 7
154153adantr 451 . . . . . 6
155 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . . 12
156155sselda 3180 . . . . . . . . . . 11
157 eluni 3830 . . . . . . . . . . 11
158156, 157sylib 188 . . . . . . . . . 10
159 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161159, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
163161, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164163biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . 15
165164adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14
166 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
168 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170166, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171170ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172171reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14
174165, 173mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13
175174ex 423 . . . . . . . . . . . 12
176175exlimdv 1664 . . . . . . . . . . 11
177176adantr 451 . . . . . . . . . 10
178158, 177mpd 14 . . . . . . . . 9
179 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13
180 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13
181 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
182179, 180, 1813jca 1132 . . . . . . . . . . . 12
183 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13
184 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14
185 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1879, 185, 186nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . . . 15
188 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15
189187, 188nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . 14
190 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16
191 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
192191eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
193190, 1923anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . . . 15
194 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
195194fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
196195breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15
197193, 196imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14
198 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
199198idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
201199, 200syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202201imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2032023impa 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15
204203a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
205184, 189, 197, 204vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . . 13
206183, 205mpcom 32 . . . . . . . . . . . 12
207182, 206syl 15 . . . . . . . . . . 11
208207ex 423 . . . . . . . . . 10
209208reximdva 2655 . . . . . . . . 9
210178, 209mpd 14 . . . . . . . 8
211210idi 2 . . . . . . 7
212 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
21350, 185nfan 1771 . . . . . . . . . . . . 13
21458, 184nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14
215 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14
216214, 215nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . 13
217213, 216nfim 1769 . . . . . . . . . . . 12
218190anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13
219 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
220219, 195eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13
221218, 220imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
222148a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
223184, 217, 221, 222vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . 11
224212, 223mpcom 32 . . . . . . . . . 10
225224breq1d 4033 . . . . . . . . 9
226225biimprd 214 . . . . . . . 8
227226reximdva 2655 . . . . . . 7
228211, 227mpd 14 . . . . . 6
22958, 50, 127, 128, 129, 112, 149, 152, 154, 228fmul01lt1 27128 . . . . 5
230126, 229eqbrtrd 4043 . . . 4
23141, 230eqbrtrd 4043 . . 3
232231ex 423 . 2
2331, 232ralrimi 2624 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1528  wnf 1531   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  cuni 3827   class class class wbr 4023   cmpt 4077   crn 4690   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   cmul 8742   clt 8867   cle 8868  cn 9746  cuz 10230  crp 10354  cfz 10782   cseq 11046 This theorem is referenced by:  stoweidlem51  27212 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047
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