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Theorem stoweidlem48 27900
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < ε on  A. Here  X is used to represent  x in the paper,  E is used to represent ε in the paper, and  D is used to represent  A in the paper (because  A is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem48.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem48.3  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem48.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem48.5  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem48.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem48.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem48.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem48.9  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem48.10  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem48.11  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem48.12  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem48.13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
stoweidlem48.14  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem48.15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem48.16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem48.17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, T, h, t    f, F, g    f, M, g    U, f, g, h, t   
f, Y, g    ph, f,
g    T, g    D, i   
i, E    i, M    U, i    i, W
Allowed substitution hints:    ph( t, h, i)    A( i)    D( t, f, g, h)    P( t, f, g, h, i)    E( t, f, g, h)    F( t, h, i)    M( t, h)    V( t, f, g, h, i)    W( t, f, g, h)    X( t, f, g, h, i)    Y( t, h, i)    Z( t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables  j 
k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ph )
3 stoweidlem48.12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  D  C_  T )
5 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  D )
6 ssel 3187 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  T  ->  (
t  e.  D  -> 
t  e.  T ) )
74, 5, 6sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  T )
82, 7jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
9 stoweidlem48.1 . . . . . 6  |-  F/ i
ph
10 stoweidlem48.3 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
11 nfra1 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
12 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t A
1311, 12nfrab 2734 . . . . . . 7  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
1410, 13nfcxfr 2429 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
15 stoweidlem48.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
16 stoweidlem48.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
17 stoweidlem48.6 . . . . . 6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
18 stoweidlem48.7 . . . . . 6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
19 stoweidlem48.14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
20 stoweidlem48.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21 stoweidlem48.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
22 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  ph )
2310eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  Y  <->  f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
2423biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
25 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  f  ->  (
h `  t )  =  ( f `  t ) )
2625breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  f  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( f `  t ) ) )
2725breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  f  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( f `  t )  <_  1
) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  f  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
2928ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  f  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
3029elrab 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
3124, 30sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Y  ->  (
f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
3231simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
3332adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f  e.  A )
3422, 33jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
35 stoweidlem48.15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
3634, 35syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
37 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
38 stoweidlem48.16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
391, 10, 37, 35, 38stoweidlem16 27868 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
409, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 36, 39fmuldfeq 27816 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
418, 40syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
42 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4342biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4420, 43syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4544adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
46 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  k  e.  ( 1 ... M
) )
47 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) ) )
48 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
k
49 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  t  e.  D
509, 49nfan 1783 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  D )
51 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  k  e.  ( 1 ... M )
5250, 51nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  (
1 ... M ) )
53 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i T
54 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
5553, 54nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
5617, 55nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i F
57 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
t
5856, 57nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( F `  t
)
5958, 48nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  k
)
60 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i RR
6159, 60nfel 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  k
)  e.  RR
6252, 61nfim 1781 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR )
63 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  k  e.  ( 1 ... M
) ) )
6463anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  (
1 ... M ) ) ) )
65 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  k ) )
6665eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) )
6764, 66imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) ) )
68 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ i  t  e.  T
699, 68nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  T )
7021adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
71 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
7270, 71jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
73 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( U `  i )  e.  Y
)
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
75 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
7675breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
7775breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
7876, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
7978ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8079, 10elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
8174, 80sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
)  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
8281simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
83 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
8483, 82jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A
) )
85 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
8685anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
87 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
8886, 87imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
8935a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
9088, 89vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9182, 84, 90sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9291adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
93 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
9492, 93jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
95 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
9796ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR ) )
9869, 97ralrimi 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 i ) `  t )  e.  RR )
99 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
10099fmpt 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( ( U `  i
) `  t )  e.  RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) : ( 1 ... M
) --> RR )
10198, 100sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
102 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
103 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
104103a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
_V )
105 mptexg 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
107102, 106jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V ) )
10817fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
110109feq1d 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
111101, 110mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
1128, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
115113, 114jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR 
/\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
116 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR 
/\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
118117a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  i )  e.  RR ) )
11948, 62, 67, 118vtoclgaf 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  k )  e.  RR ) )
12046, 47, 119sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  k )  e.  RR )
121 remulcl 8838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( k  x.  j
)  e.  RR )
122121adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  (
k  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( k  x.  j )  e.  RR )
12345, 120, 122seqcl 11082 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
1247, 123jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  (
t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR ) )
12518fvmpt2 5624 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
126124, 125syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
127 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ j  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) )
128 eqid 2296 . . . . . 6  |-  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
12920adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  M  e.  NN )
130 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
131130, 114jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
1327adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
133131, 132jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T ) )
13481simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) )
135 rsp 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 )  ->  (
t  e.  T  -> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  T  -> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
137136imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) )
138137simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( U `  i ) `  t
) )
139133, 138syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( U `  i ) `  t
) )
140130, 132jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
141109fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
143140, 114jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) ) )
144143, 96syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
145114, 144jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR ) )
14699fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
147145, 146syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
148142, 147eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
149139, 148breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( F `  t ) `  i
) )
150137simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 )
151133, 150syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 )
152148, 151eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  <_  1 )
153 stoweidlem48.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
154153adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E  e.  RR+ )
155 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
156155sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  U. ran  W )
157 eluni 3846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  U. ran  W  <->  E. w ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W ) )
158156, 157sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. w
( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )
159 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
160 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W : ( 1 ... M ) --> V  ->  W  Fn  ( 1 ... M ) )
161159, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  Fn  ( 1 ... M ) )
162 fvelrnb 5586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
w  e.  ran  W  <->  E. j  e.  ( 1 ... M ) ( W `  j )  =  w ) )
163161, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  W  <->  E. j  e.  (
1 ... M ) ( W `  j )  =  w ) )
164163biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  W )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( W `  j )  =  w )
165164adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) ( W `  j
)  =  w )
166 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  t  e.  w )
167 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  ( W `  j )  =  w )
168 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W `  j )  =  w  ->  (
t  e.  ( W `
 j )  <->  t  e.  w ) )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  (
t  e.  ( W `
 j )  <->  t  e.  w ) )
170166, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  t  e.  ( W `  j
) )
171170ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  w )  ->  (
( W `  j
)  =  w  -> 
t  e.  ( W `
 j ) ) )
172171reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  w )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) ( W `  j )  =  w  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) t  e.  ( W `  j ) ) )
173172adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  ( E. j  e.  ( 1 ... M
) ( W `  j )  =  w  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) ) )
174165, 173mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) )
175174ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W )  ->  E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j ) ) )
176175exlimdv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) ) )
177176adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W )  ->  E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j ) ) )
178158, 177mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) t  e.  ( W `  j ) )
179 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ph )
180 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  j  e.  ( 1 ... M
) )
181 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  t  e.  ( W `  j ) )
182179, 180, 1813jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  j ) ) )
183 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  j  e.  ( 1 ... M
) )
184 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
j
185 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i  j  e.  ( 1 ... M )
186 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i  t  e.  ( W `
 j )
1879, 185, 186nf3an 1786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )
188 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ( U `  j ) `  t
)  <  E
189187, 188nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  <  E )
190 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  j  e.  ( 1 ... M
) ) )
191 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  ( W `  i )  =  ( W `  j ) )
192191eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  <->  t  e.  ( W `  j ) ) )
193190, 1923anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  i ) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  j ) ) ) )
194 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  ( U `  i )  =  ( U `  j ) )
195194fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
196195breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( U `  i ) `  t
)  <  E  <->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) )
197193, 196imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  i ) )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) ) )
198 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
199198idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
200 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( U `  i ) `
 t )  < 
E  ->  ( t  e.  ( W `  i
)  ->  ( ( U `  i ) `  t )  <  E
) )
201199, 200syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )
)
202201imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
2032023impa 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  i ) )  ->  ( ( U `  i ) `  t )  <  E
)
204203a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  i ) )  ->  ( ( U `  i ) `  t )  <  E
) )
205184, 189, 197, 204vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) )
206183, 205mpcom 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
)
207182, 206syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
)
208207ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 j )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  <  E )
)
209208reximdva 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 j ) `  t )  <  E
) )
210178, 209mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 j ) `  t )  <  E
)
211210idi 2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 j ) `  t )  <  E
)
212 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  j  e.  ( 1 ... M
) )
21350, 185nfan 1783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )
21458, 184nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  j
)
215 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( U `  j ) `  t
)
216214, 215nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  j
)  =  ( ( U `  j ) `
 t )
217213, 216nfim 1781 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  j )  =  ( ( U `  j
) `  t )
)
218190anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) ) ) )
219 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  j ) )
220219, 195eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t )  <->  ( ( F `  t ) `  j )  =  ( ( U `  j
) `  t )
) )
221218, 220imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  =  ( ( U `  i
) `  t )
)  <->  ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  j )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) ) ) )
222148a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  i )  =  ( ( U `  i
) `  t )
) )
223184, 217, 221, 222vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  j )  =  ( ( U `  j
) `  t )
) )
224212, 223mpcom 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  j )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
225224breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( F `  t ) `  j
)  <  E  <->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) )
226225biimprd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( U `  j ) `  t
)  <  E  ->  ( ( F `  t
) `  j )  <  E ) )
227226reximdva 2668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) ( ( U `  j
) `  t )  <  E  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( F `
 t ) `  j )  <  E
) )
228211, 227mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( F `
 t ) `  j )  <  E
)
22958, 50, 127, 128, 129, 112, 149, 152, 154, 228fmul01lt1 27819 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  <  E )
230126, 229eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( Z `  t )  <  E )
23141, 230eqbrtrd 4059 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( X `  t )  <  E )
232231ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  ->  ( X `  t
)  <  E )
)
2331, 232ralrimi 2637 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  27903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063
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