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Theorem stoweidlem49 27798
Description: There exists a function qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= qn <= 1 , qn < ε on  T  \  U, and qn > 1 - ε on  V. Here y is used to represent the final qn in the paper (the one with n large enough),  N represents  n in the paper,  K represents  k,  D represents δ,  E represents ε, and  P represents  p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem49.1  |-  F/_ t P
stoweidlem49.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem49.3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem49.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem49.5  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem49.6  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem49.7  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem49.8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem49.9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem49.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem49.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem49.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem49.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem49.14  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem49  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    D, f,
g, t    f, E, g, t    P, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, D    x, E    ph, x    y, t, A   
y, U    y, V    x, t, A    x, T    y, E    y, P    y, T
Allowed substitution hints:    ph( y, t)    D( y)    P( x, t)    U( x, t, f, g)    V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49
Dummy variables  k  n  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ j NN
2 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ i NN
3 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ i ( 1  /  D
)  <  j
4 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ j ( 1  /  D
)  <  i
5 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
i ) )
61, 2, 3, 4, 5cbvrab 2786 . . . 4  |-  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  =  { i  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  i }
7 stoweidlem49.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
8 stoweidlem49.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
96, 7, 8stoweidlem14 27763 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( k  x.  D ) ) ^ i ) )  =  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( k  x.  D ) ) ^
i ) )
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ i ) )  =  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( ( k  x.  D )  /  2 ) ^
i ) )
12 nnre 9753 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
1312adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
14 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
157, 14syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  RR )
1713, 16jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
18 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( k  x.  D
)  e.  RR )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
21 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  1  <  (
k  x.  D ) )
22 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
2322a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
24 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2524a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
2619, 23, 253jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
27 redivcl 9479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR )
29 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
3113, 30jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <  k ) )
32 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  < 
D )
337, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  D )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
D )
3516, 34jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
3631, 35jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) ) )
37 mulgt0 8900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )  -> 
0  <  ( k  x.  D ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  x.  D
) )
3919, 38jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  e.  RR  /\  0  <  ( k  x.  D
) ) )
40 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
4122, 40pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
4241a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
4339, 42jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  0  <  ( k  x.  D ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) ) )
44 divgt0 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  x.  D )  e.  RR  /\  0  <  ( k  x.  D ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( (
k  x.  D )  /  2 ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( ( k  x.  D )  /  2
) )
4628, 45jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( k  x.  D )  /  2
) ) )
47 elrp 10356 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 )  e.  RR+  <->  ( ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( k  x.  D )  /  2
) ) )
4846, 47sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR+ )
4948adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  e.  RR+ )
50 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
)
51 stoweidlem49.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5251ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  E  e.  RR+ )
5310, 11, 20, 21, 49, 50, 52stoweidlem7 27756 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
) )
5453ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  /  2
)  <  1 )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
) ) )
5554reximdva 2655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  < 
( k  x.  D
)  /\  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <  1 )  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E ) ) )
569, 55mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  /  2 ) ^
n ) )  /\  ( 1  /  (
( k  x.  D
) ^ n ) )  <  E ) )
57 stoweidlem49.1 . . . . . 6  |-  F/_ t P
58 stoweidlem49.2 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
59 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
6058, 59nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)
61 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
)
6260, 61nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )
63 stoweidlem49.3 . . . . . 6  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
64 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ n ) ) ^ ( k ^
n ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^
n ) ) ^
( k ^ n
) ) )
65 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  n  e.  NN )
66 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  k  e.  NN )
67 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  ph )
6867, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  D  e.  RR+ )
6967, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  D  <  1
)
70 stoweidlem49.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
7167, 70syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  P  e.  A
)
72 stoweidlem49.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
7367, 72syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  P : T --> RR )
74 stoweidlem49.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
7567, 74syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
76 stoweidlem49.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
7767, 76syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
78 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  ph )
79 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  f  e.  A )
8078, 79jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  ( ph  /\  f  e.  A ) )
81 stoweidlem49.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
8280, 81syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  f : T
--> RR )
83 simp1ll 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ph )
84 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  f  e.  A )
85 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  g  e.  A )
8683, 84, 853jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )
)
87 stoweidlem49.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
8886, 87syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
89 stoweidlem49.12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9086, 89syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
91 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
92 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
9391, 92jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ph  /\  x  e.  RR )
)
94 stoweidlem49.13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
9593, 94syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
9667, 51syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  E  e.  RR+ )
97 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) ) )
98 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
)
9957, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 71, 73, 75, 77, 82, 88, 90, 95, 96, 97, 98stoweidlem45 27794 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
10099ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) ) )
101100ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
)  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) ) ) )
102101rexlimdvv 2673 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) ) )
10356, 102mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   RR+crp 10354   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
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