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Theorem stoweidlem5 27754
Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on  T  \  U. Here  D is used to represent δ in the paper and  Q to represent  T 
\  U in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem5.2  |-  D  =  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )
stoweidlem5.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem5.4  |-  ( ph  ->  Q  C_  T )
stoweidlem5.5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stoweidlem5.6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, d, D    P, d    Q, d
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    C( t, d)    P( t)    Q( t)    T( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . . 4  |-  D  =  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )
2 stoweidlem5.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4 2re 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
5 2ne0 9829 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
63, 4, 53pm3.2i 1130 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )
7 redivcl 9479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
9 halfgt0 9932 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  2
)
108, 9pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  2
) )
11 elrp 10356 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  <->  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( 1  /  2
) ) )
1210, 11mpbir 200 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )
142, 13jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR+  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )
)
15 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  e.  RR+ )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  e.  RR+ )
171, 16syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
18 rpre 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR+  ->  C  e.  RR )
192, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
208a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
2119, 20jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR ) )
22 min2 10518 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_ 
( 1  /  2
) )
2321, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  <_  (
1  /  2 ) )
241, 23syl5eqbr 4056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  <_  ( 1  /  2 ) )
25 halflt1 9933 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <  1
2625a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
2724, 26jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  <_  (
1  /  2 )  /\  ( 1  / 
2 )  <  1
) )
28 rpre 10360 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
2917, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
303a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3129, 20, 303jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
32 lelttr 8912 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( D  <_ 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 )  ->  D  <  1 ) )
3331, 32syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  <_ 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 )  ->  D  <  1 ) )
3427, 33mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
35 stoweidlem5.1 . . . 4  |-  F/ t
ph
36 min1 10517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_  C )
3721, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  <_  C
)
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  C )
39 stoweidlem5.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t ) )
4039adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t ) )
41 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  t  e.  Q )
4240, 41jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t )  /\  t  e.  Q ) )
43 rsp 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t
)  ->  ( t  e.  Q  ->  C  <_ 
( P `  t
) ) )
4443imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t )  /\  t  e.  Q )  ->  C  <_  ( P `  t
) )
4542, 44syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  C  <_  ( P `  t
) )
4638, 45jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( if ( C  <_  (
1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  C  /\  C  <_  ( P `  t ) ) )
47 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( C  <_  (
1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+  ->  if ( C  <_  (
1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
4816, 47syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  e.  RR )
4948adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
5019adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  C  e.  RR )
51 stoweidlem5.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  P : T --> RR )
53 stoweidlem5.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Q  C_  T )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  Q  C_  T )
5554, 41jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( Q  C_  T  /\  t  e.  Q ) )
56 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  C_  T  /\  t  e.  Q )  ->  t  e.  T )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  t  e.  T )
5852, 57jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
59 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
6149, 50, 603jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( if ( C  <_  (
1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  ( P `  t )  e.  RR ) )
62 letr 8914 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  ( P `  t )  e.  RR )  -> 
( ( if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  C  /\  C  <_  ( P `  t
) )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  ( P `  t ) ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  (
( if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_  C  /\  C  <_  ( P `  t )
)  ->  if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_ 
( P `  t
) ) )
6446, 63mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  ( P `  t ) )
651, 64syl5eqbr 4056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  D  <_  ( P `  t
) )
6665ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  Q  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
6735, 66ralrimi 2624 . . 3  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )
6817, 34, 673jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\ 
A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) ) )
69 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
d  e.  RR+  <->  D  e.  RR+ ) )
70 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
d  <  1  <->  D  <  1 ) )
71 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  D  <_  ( P `  t ) ) )
7271ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) ) )
7369, 70, 723anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) ) ) )
7473spcegv 2869 . . 3  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) ) )
7517, 74syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) ) )
7668, 75mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  27777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355
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