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Theorem stoweidlem50 27799
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1  |-  F/_ t U
stoweidlem50.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem50.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem50.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem50.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem50.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem50.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem50.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem50.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem50.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem50.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem50.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem50.15  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Distinct variable groups:    u, J    u, T    u, U    u, W    f, g, h, t, T    f, q, g, t, T    f, r, A, q, t    x, f, q, t, T    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g, q    w, g, h, t, T    A, g, h    g, W    Z, q, x    T, r    U, r    ph, r    t, J, w   
t, K    ph, u    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h)    A( w, u)    C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)    Q( x, u, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, u, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3  |-  F/_ t U
2 stoweidlem50.4 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
3 nfrab1 2720 . . . 4  |-  F/_ h { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
42, 3nfcxfr 2416 . . 3  |-  F/_ h Q
5 nfv 1605 . . 3  |-  F/ q
ph
6 stoweidlem50.2 . . 3  |-  F/ t
ph
7 stoweidlem50.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
8 stoweidlem50.5 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9 stoweidlem50.6 . . 3  |-  T  = 
U. J
10 stoweidlem50.8 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
11 stoweidlem50.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem50.7 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3224 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem50.10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem50.11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
16 stoweidlem50.12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
17 stoweidlem50.13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
18 stoweidlem50.14 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
19 stoweidlem50.15 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
20 uniexg 4517 . . . . 5  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2110, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
229, 21syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
231, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22stoweidlem46 27795 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
24 dfin4 3409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  i^i  U )  =  ( T  \  ( T  \  U ) )
25 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
2618, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2726, 9syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
28 dfss1 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U 
C_  T  <->  ( T  i^i  U )  =  U )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  U )
3024, 29syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  =  U )
3130, 18eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  e.  J )
32 cmptop 17122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
3310, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
34 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T 
\  U )  C_  T
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
3633, 35jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U
)  C_  T )
)
379iscld2 16765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3931, 38mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4010, 39jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
41 cmpcld 17129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
439cmpsub 17127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4436, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4542, 44mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
46 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  C_  J
478, 46eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  W  C_  J
48 rabexg 4164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  ->  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
4910, 48syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  e.  _V )
508, 49syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
51 elpwg 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  e.  ~P J  <->  W 
C_  J ) )
5250, 51syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ~P J 
<->  W  C_  J )
)
5347, 52mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ~P J
)
5445, 53jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. c  e. 
~P  J ( ( T  \  U ) 
C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u )  /\  W  e.  ~P J ) )
55 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  U. c  =  U. W )
5655sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  (
( T  \  U
)  C_  U. c  <->  ( T  \  U ) 
C_  U. W ) )
57 pweq 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  W  ->  ~P c  =  ~P W
)
5857ineq1d 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P W  i^i  Fin ) )
59 rexeq 2737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P W  i^i  Fin )  -> 
( E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  ( E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u
) )
6156, 60imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( c  =  W  ->  (
( ( T  \  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)  <->  ( ( T 
\  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
6261rspccva 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u )  /\  W  e.  ~P J )  -> 
( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
6354, 62syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
6463imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)
65 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
6664, 65sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )
67 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) )
68 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  <->  ( u  e.  ~P W  /\  u  e.  Fin ) )
6968simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
7067, 69syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
7168simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P W )
7267, 71syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  ~P W )
73 elpwi 3633 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ~P W  ->  u  C_  W )
7472, 73syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
75 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
7670, 74, 753jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
7776ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
)  ->  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
7877eximdv 1608 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u )  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) ) )
7966, 78mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) )
8023, 79mpdan 649 1  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   ↾t crest 13325   topGenctg 13342   Topctop 16631   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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