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Theorem stoweidlem51 27903
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem51.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem51.3  |-  F/ w ph
stoweidlem51.4  |-  F/_ w V
stoweidlem51.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem51.6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem51.7  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem51.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem51.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem51.10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem51.11  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem51.12  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem51.13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
stoweidlem51.14  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem51.15  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem51.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem51.17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
stoweidlem51.18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem51.19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem51.20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem51.21  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem51.22  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem51.23  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, M, h, t    f, F, g    T, f, g, h, t    U, f, g, h, t    f, Y, g    ph, f, g    g, M   
w, i, T    B, i    D, i    i, E    U, i    i, W, w   
x, t, A    x, B    x, D    x, E    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, h, i)    A( w, i)    B( w, t, f, g, h)    D( w, t, f, g, h)    P( x, w, t, f, g, h, i)    U( x, w)    E( w, t, f, g, h)    F( x, w, t, h, i)    M( x, w)    V( x, w, t, f, g, h, i)    W( x, t, f, g, h)    X( w, t, f, g, h, i)    Y( x, w, t, h, i)    Z( x, w, t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . . 5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
2 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  C_  A
31, 2eqsstri 3221 . . . 4  |-  Y  C_  A
43a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
5 stoweidlem51.6 . . . 4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
6 stoweidlem51.7 . . . 4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
7 1z 10069 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
87a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
9 stoweidlem51.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
10 nnz 10061 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
128, 11, 113jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
13 nnge1 9788 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
149, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
15 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
169, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
17 leid 8932 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  M  <_  M )
1816, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
1914, 18jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) )
2012, 19jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
21 elfz2 10805 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
2220, 21sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
23 stoweidlem51.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
24 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ph )
253a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  Y  C_  A
)
26 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  f  e.  Y )
2725, 26jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( Y  C_  A  /\  f  e.  Y ) )
28 ssel2 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  A  /\  f  e.  Y )  ->  f  e.  A )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  f  e.  A )
30 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g  e.  Y )
3125, 30jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( Y  C_  A  /\  g  e.  Y ) )
32 ssel2 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  A  /\  g  e.  Y )  ->  g  e.  A )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g  e.  A )
3424, 29, 333jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )
)
35 stoweidlem51.19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
37 stoweidlem51.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
38 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
f
39 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
40 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t A
4139, 40nfrab 2734 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
421, 41nfcxfr 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t Y
4338, 42nfel 2440 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  f  e.  Y
44 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
g
4544, 42nfel 2440 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  g  e.  Y
4637, 43, 45nf3an 1786 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )
47 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ph )
4829adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  f  e.  A )
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
5047, 48, 493jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T
) )
51 stoweidlem51.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
52513adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  f : T
--> RR )
53 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  t  e.  T )
5452, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  ( f : T --> RR  /\  t  e.  T ) )
55 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( f `  t
)  e.  RR )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  ( f `  t )  e.  RR )
5750, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  e.  RR )
58 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  f  e.  Y )
5958, 49jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f  e.  Y  /\  t  e.  T )
)
601eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  Y  <->  f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
6160biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
62 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  f  ->  (
h `  t )  =  ( f `  t ) )
6362breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  f  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( f `  t ) ) )
6462breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  f  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( f `  t )  <_  1
) )
6563, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  f  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
6665ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  f  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
6766elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
6861, 67sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  Y  ->  (
f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
6968simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  Y  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
7069r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  Y  /\  t  e.  T )  ->  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) )
7170simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Y  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( f `  t ) )
7259, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( f `  t
) )
7357, 72jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) ) )
7433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  g  e.  A )
7547, 74, 493jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  g  e.  A  /\  t  e.  T
) )
76 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
f  e.  A  <->  g  e.  A ) )
77763anbi2d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T )  <->  ( ph  /\  g  e.  A  /\  t  e.  T )
) )
78 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  t )  =  ( g `  t ) )
7978eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  t
)  e.  RR  <->  ( g `  t )  e.  RR ) )
8077, 79imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T )  ->  ( f `  t
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  g  e.  A  /\  t  e.  T )  ->  ( g `  t
)  e.  RR ) ) )
8156a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  e.  RR ) )
8280, 81vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  e.  RR ) )
8374, 75, 82sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  e.  RR )
84 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  g  e.  Y )
8584, 49jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g  e.  Y  /\  t  e.  T )
)
86 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
f  e.  Y  <->  g  e.  Y ) )
87 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
t  e.  T  <->  t  e.  T ) )
8886, 87anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  e.  Y  /\  t  e.  T
)  <->  ( g  e.  Y  /\  t  e.  T ) ) )
8978breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
0  <_  ( f `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
9088, 89imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f  e.  Y  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( f `  t
) )  <->  ( (
g  e.  Y  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( g `  t ) ) ) )
9171a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( f  e.  Y  /\  t  e.  T
)  ->  0  <_  ( f `  t ) ) )
9290, 91vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  Y  ->  (
( g  e.  Y  /\  t  e.  T
)  ->  0  <_  ( g `  t ) ) )
9384, 85, 92sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( g `  t
) )
9483, 93jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( g `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) ) )
9573, 94jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( f `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) )  /\  ( ( g `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) ) ) )
96 mulge0 9307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) )  /\  ( ( g `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) ) )  ->  0  <_  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
9857, 83jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR ) )
99 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  t
)  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) )  e.  RR )
10098, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  e.  RR )
10149, 100jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  e.  RR ) )
102 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
103102fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) `
 t )  =  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
104101, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) `  t
)  =  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )
10597, 104breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) ) `  t ) )
106 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
107106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
10873, 107jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( f `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) )  /\  1  e.  RR )
)
109 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  1
110109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  1 )
111107, 110jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
11283, 111jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( g `  t
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) ) )
113108, 112jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( ( f `
 t )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  t
) )  /\  1  e.  RR )  /\  (
( g `  t
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) ) ) )
11470simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Y  /\  t  e.  T )  ->  ( f `  t
)  <_  1 )
11559, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  <_  1 )
11678breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
11788, 116imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f  e.  Y  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  <_  1 )  <->  ( (
g  e.  Y  /\  t  e.  T )  ->  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
118114a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( f  e.  Y  /\  t  e.  T
)  ->  ( f `  t )  <_  1
) )
119117, 118vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  Y  ->  (
( g  e.  Y  /\  t  e.  T
)  ->  ( g `  t )  <_  1
) )
12084, 85, 119sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  <_  1 )
121115, 120jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  <_  1  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) )
122 lemul12b 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f `
 t )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  t
) )  /\  1  e.  RR )  /\  (
( g `  t
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) ) )  ->  (
( ( f `  t )  <_  1  /\  ( g `  t
)  <_  1 )  ->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
123113, 121, 122sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  ( 1  x.  1 ) )
124 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
125124mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
126123, 125syl6breq 4078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  1 )
127104, 126eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) `  t
)  <_  1 )
128105, 127jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) `
 t )  <_ 
1 ) )
129128ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) ) `  t )  <_  1
) ) )
13046, 129ralrimi 2637 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) ) `  t )  <_  1
) )
13136, 130jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) `
 t )  <_ 
1 ) ) )
132 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
h
133 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
134132, 133nfeq 2439 . . . . . . . 8  |-  F/ t  h  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )
135 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  -> 
( h `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) `  t ) )
136135breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  -> 
( 0  <_  (
h `  t )  <->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) `
 t ) ) )
137135breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  -> 
( ( h `  t )  <_  1  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) `  t
)  <_  1 ) )
138136, 137anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  -> 
( ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  <->  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) `  t
)  <_  1 ) ) )
139134, 138ralbid 2574 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) `  t )  <_  1 ) ) )
140139elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) `
 t )  <_ 
1 ) ) )
141131, 140sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } )
142141, 1syl6eleqr 2387 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
143 stoweidlem51.21 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
1445, 6, 22, 23, 142, 143fmulcl 27814 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
145 ssel 3187 . . 3  |-  ( Y 
C_  A  ->  ( X  e.  Y  ->  X  e.  A ) )
1464, 144, 145sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
1471eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  <->  X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
148 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
1
149 nfrab1 2733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ h { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
1501, 149nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h Y
151 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
152150, 150, 151nfmpt2 5932 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
1535, 152nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h P
154 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h U
155148, 153, 154nfseq 11072 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h  seq  1 ( P ,  U )
156 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h M
157155, 156nffv 5548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
1586, 157nfcxfr 2429 . . . . . . . 8  |-  F/_ h X
159 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ h A
160 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h T
161 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
0
162 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h  <_
163 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
t
164158, 163nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( X `  t
)
165161, 162, 164nfbr 4083 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
0  <_  ( X `  t )
166164, 162, 148nfbr 4083 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
( X `  t
)  <_  1
167165, 166nfan 1783 . . . . . . . . 9  |-  F/ h
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
168160, 167nfral 2609 . . . . . . . 8  |-  F/ h A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
169 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
1
17042, 42, 133nfmpt2 5932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
1715, 170nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t P
172 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t U
173169, 171, 172nfseq 11072 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t  seq  1 ( P ,  U )
174 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t M
175173, 174nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
1766, 175nfcxfr 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t X
177132, 176nfeq 2439 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  h  =  X
178 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  X  ->  (
h `  t )  =  ( X `  t ) )
179178breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
180178breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
181179, 180anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  X  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
182177, 181ralbid 2574 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
183158, 159, 168, 182elrabf 2935 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
184147, 183bitri 240 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
185144, 184sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
186185simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
187 stoweidlem51.1 . . . . 5  |-  F/ i
ph
188 stoweidlem51.8 . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
189 stoweidlem51.9 . . . . 5  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
190 stoweidlem51.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
191 stoweidlem51.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
192 stoweidlem51.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
193 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ t  i  e.  ( 1 ... M )
19437, 193nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )
195 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
19623adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
197 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
198196, 197jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
199 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( U `  i )  e.  Y
)
200198, 199syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
201 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
202201breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
203201breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
204202, 203anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
205204ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
206205, 1elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
207206biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( U `  i
)  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
208207simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  ( U `  i )  e.  A )
209200, 208syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
210195, 209jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A
) )
211 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( U `  i )  e.  A
)  ->  ( U `  i )  e.  A
)
212 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( U `  i )  e.  A
)  ->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) )
213 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
214213anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
215 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
216214, 215imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
21751a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
218216, 217vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
219211, 212, 218sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( U `  i )  e.  A
)  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
220210, 219syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
221220adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
222190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
223222, 197jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W : ( 1 ... M ) --> V  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
224 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W : ( 1 ... M ) --> V  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( W `  i )  e.  V
)
225223, 224syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  e.  V )
226195, 225jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V
) )
227 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w
( W `  i
)
228 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ w ph
229 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w V
230227, 229nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ w
( W `  i
)  e.  V
231228, 230nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ w
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )
232 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ w
( W `  i
)  C_  T
233231, 232nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w
( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  -> 
( W `  i
)  C_  T )
234 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  e.  V  <->  ( W `  i )  e.  V
) )
235234anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ph  /\  w  e.  V )  <->  ( ph  /\  ( W `  i
)  e.  V ) ) )
236 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  C_  T  <->  ( W `  i )  C_  T
) )
237235, 236imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ( ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )  <->  ( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) ) )
238 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
239227, 233, 237, 238vtoclgf 2855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W `  i )  e.  V  ->  (
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) )
240225, 226, 239sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  C_  T )
241240sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  t  e.  T )
242221, 241jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
243 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )
244242, 243syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
245 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
246 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
247245, 246syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
248247ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  E  e.  RR )
24916ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  e.  RR )
250 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
2519, 250syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
252251ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  =/=  0 )
253248, 249, 2523jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 ) )
254 redivcl 9495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 )  ->  ( E  /  M )  e.  RR )
255253, 254syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  e.  RR )
256244, 255, 2483jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  ( E  /  M
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )
)
257 stoweidlem51.17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
258257r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  ( E  /  M
) )
259106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
260 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
261260a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
262259, 261jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
263 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
2649, 263syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  M )
26516, 264jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
266 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  RR+  ->  0  < 
E )
267245, 266syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  E )
268247, 267jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
269262, 265, 2683jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) ) )
270 lediv2 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
271269, 270syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
27214, 271mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
273 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  CC )
274245, 273syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
275 div1 9469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  CC  ->  ( E  /  1 )  =  E )
276274, 275syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
277272, 276breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
278277ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  <_  E )
279258, 278jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( ( U `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  ( E  /  M )  <_  E ) )
280 ltletr 8929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  ( E  /  M
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( ( ( U `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
)  /\  ( E  /  M )  <_  E
)  ->  ( ( U `  i ) `  t )  <  E
) )
281256, 279, 280sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
282281ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )
)
283194, 282ralrimi 2637 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
284187, 37, 1, 5, 6, 188, 189, 9, 190, 23, 191, 192, 283, 143, 51, 35, 245stoweidlem48 27900 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
285 stoweidlem51.18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
286 stoweidlem51.23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
2873sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
288287anim2i 552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
289288, 51syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
29037, 1, 102, 51, 35stoweidlem16 27868 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
291 stoweidlem51.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
292187, 37, 42, 5, 6, 188, 189, 9, 23, 285, 245, 286, 289, 290, 143, 291stoweidlem42 27894 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
293186, 284, 2923jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
294146, 293jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) )
295 eleq1 2356 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  A  <->  X  e.  A ) )
296 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ t
x
297296, 176nfeq 2439 . . . . . 6  |-  F/ t  x  =  X
298 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
299298breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
300298breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
301299, 300anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
302297, 301ralbid 2574 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
303298breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
304297, 303ralbid 2574 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E
) )
305298breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
306297, 305ralbid 2574 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
307302, 304, 3063anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) ) )
308295, 307anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )  <-> 
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) ) )
309308spcegv 2882 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
310146, 294, 309sylc 56 1  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   3c3 9812   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  stoweidlem54  27906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121
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