Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem51 Unicode version

Theorem stoweidlem51 27667
 Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here is used to represent in the paper, because here is used for the subalgebra of functions. is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1
stoweidlem51.2
stoweidlem51.3
stoweidlem51.4
stoweidlem51.5
stoweidlem51.6
stoweidlem51.7
stoweidlem51.8
stoweidlem51.9
stoweidlem51.10
stoweidlem51.11
stoweidlem51.12
stoweidlem51.13
stoweidlem51.14
stoweidlem51.15
stoweidlem51.16
stoweidlem51.17
stoweidlem51.18
stoweidlem51.19
stoweidlem51.20
stoweidlem51.21
stoweidlem51.22
stoweidlem51.23
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,)   (,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . 4
2 ssrab2 3388 . . . 4
31, 2eqsstri 3338 . . 3
4 stoweidlem51.6 . . . 4
5 stoweidlem51.7 . . . 4
6 1z 10267 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
8 stoweidlem51.10 . . . . . . 7
98nnzd 10330 . . . . . 6
107, 9, 93jca 1134 . . . . 5
118nnge1d 9998 . . . . . 6
128nnred 9971 . . . . . . 7
1312leidd 9549 . . . . . 6
1411, 13jca 519 . . . . 5
15 elfz2 11006 . . . . 5
1610, 14, 15sylanbrc 646 . . . 4
17 stoweidlem51.12 . . . 4
18 stoweidlem51.2 . . . . 5
19 eqid 2404 . . . . 5
20 stoweidlem51.20 . . . . 5
21 stoweidlem51.19 . . . . 5
2218, 1, 19, 20, 21stoweidlem16 27632 . . . 4
23 stoweidlem51.21 . . . 4
244, 5, 16, 17, 22, 23fmulcl 27578 . . 3
253, 24sseldi 3306 . 2
261eleq2i 2468 . . . . . . 7
27 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
28 nfrab1 2848 . . . . . . . . . . . . . 14
291, 28nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . 13
30 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13
3129, 29, 30nfmpt2 6101 . . . . . . . . . . . 12
324, 31nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . 11
33 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
3427, 32, 33nfseq 11288 . . . . . . . . . 10
35 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10
3634, 35nffv 5694 . . . . . . . . 9
375, 36nfcxfr 2537 . . . . . . . 8
38 nfcv 2540 . . . . . . . 8
39 nfcv 2540 . . . . . . . . 9
40 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
41 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
42 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12
4337, 42nffv 5694 . . . . . . . . . . 11
4440, 41, 43nfbr 4216 . . . . . . . . . 10
4543, 41, 27nfbr 4216 . . . . . . . . . 10
4644, 45nfan 1842 . . . . . . . . 9
4739, 46nfral 2719 . . . . . . . 8
48 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13
49 nfra1 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5149, 50nfrab 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16
521, 51nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 52, 53nfmpt2 6101 . . . . . . . . . . . . . 14
554, 54nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . 13
56 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13
5748, 55, 56nfseq 11288 . . . . . . . . . . . 12
58 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58nffv 5694 . . . . . . . . . . 11
605, 59nfcxfr 2537 . . . . . . . . . 10
6160nfeq2 2551 . . . . . . . . 9
62 fveq1 5686 . . . . . . . . . . 11
6362breq2d 4184 . . . . . . . . . 10
6462breq1d 4182 . . . . . . . . . 10
6563, 64anbi12d 692 . . . . . . . . 9
6661, 65ralbid 2684 . . . . . . . 8
6737, 38, 47, 66elrabf 3051 . . . . . . 7
6826, 67bitri 241 . . . . . 6
6924, 68sylib 189 . . . . 5
7069simprd 450 . . . 4
71 stoweidlem51.1 . . . . 5
72 stoweidlem51.8 . . . . 5
73 stoweidlem51.9 . . . . 5
74 stoweidlem51.11 . . . . 5
75 stoweidlem51.14 . . . . 5
76 stoweidlem51.15 . . . . 5
77 nfv 1626 . . . . . . 7
7818, 77nfan 1842 . . . . . 6
7917fnvinran 27552 . . . . . . . . . . . 12
80 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8381, 82anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 1elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . 13
8685simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12
8779, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11
88 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14
90 feq1 5535 . . . . . . . . . . . . . 14
9189, 90imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13
9220a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
9391, 92vtoclga 2977 . . . . . . . . . . . 12
9493anabsi7 793 . . . . . . . . . . 11
9587, 94syldan 457 . . . . . . . . . 10
9695adantr 452 . . . . . . . . 9
9774fnvinran 27552 . . . . . . . . . . 11
98 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12
9998, 97jca 519 . . . . . . . . . . 11
100 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12
101 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . 14
102 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102nfel2 2552 . . . . . . . . . . . . . 14
104101, 103nfan 1842 . . . . . . . . . . . . 13
105 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13
106104, 105nfim 1828 . . . . . . . . . . . 12
107 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14
108107anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13
109 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . 13
110108, 109imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
111 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . 12
112100, 106, 110, 111vtoclgf 2970 . . . . . . . . . . 11
11397, 99, 112sylc 58 . . . . . . . . . 10
114113sselda 3308 . . . . . . . . 9
11596, 114ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8
116 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . 11
117116rpred 10604 . . . . . . . . . 10
118117ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
11912ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
1208nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10
121120ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
122118, 119, 121redivcld 9798 . . . . . . . 8
123 stoweidlem51.17 . . . . . . . . 9
124123r19.21bi 2764 . . . . . . . 8
125 1re 9046 . . . . . . . . . . . . 13
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
127 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . 13
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
1298nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . 12
130116rpregt0d 10610 . . . . . . . . . . . 12
131 lediv2 9856 . . . . . . . . . . . 12
132126, 128, 12, 129, 130, 131syl221anc 1195 . . . . . . . . . . 11
13311, 132mpbid 202 . . . . . . . . . 10
134116rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11
135134div1d 9738 . . . . . . . . . 10
136133, 135breqtrd 4196 . . . . . . . . 9
137136ad2antrr 707 . . . . . . . 8
138115, 122, 118, 124, 137ltletrd 9186 . . . . . . 7
139138ex 424 . . . . . 6
14078, 139ralrimi 2747 . . . . 5
14171, 18, 1, 4, 5, 72, 73, 8, 74, 17, 75, 76, 140, 23, 20, 21, 116stoweidlem48 27664 . . . 4
142 stoweidlem51.18 . . . . 5
143 stoweidlem51.23 . . . . 5
1443sseli 3304 . . . . . 6
145144, 20sylan2 461 . . . . 5
146 stoweidlem51.16 . . . . 5
14771, 18, 52, 4, 5, 72, 73, 8, 17, 142, 116, 143, 145, 22, 23, 146stoweidlem42 27658 . . . 4
14870, 141, 1473jca 1134 . . 3
14925, 148jca 519 . 2
150 eleq1 2464 . . . 4
15160nfeq2 2551 . . . . . 6
152 fveq1 5686 . . . . . . . 8
153152breq2d 4184 . . . . . . 7
154152breq1d 4182 . . . . . . 7
155153, 154anbi12d 692 . . . . . 6
156151, 155ralbid 2684 . . . . 5
157152breq1d 4182 . . . . . 6
158151, 157ralbid 2684 . . . . 5
159152breq2d 4184 . . . . . 6
160151, 159ralbid 2684 . . . . 5
161156, 158, 1603anbi123d 1254 . . . 4
162150, 161anbi12d 692 . . 3
163162spcegv 2997 . 2
16425, 149, 163sylc 58 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1547  wnf 1550   wceq 1649   wcel 1721  wnfc 2527   wne 2567  wral 2666  crab 2670  cvv 2916   wss 3280  cuni 3975   class class class wbr 4172   cmpt 4226   crn 4838  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cmpt2 6042  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247   cdiv 9633  cn 9956  c3 10006  cz 10238  crp 10568  cfz 10999   cseq 11278 This theorem is referenced by:  stoweidlem54  27670 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338
 Copyright terms: Public domain W3C validator