Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem52 Unicode version

Theorem stoweidlem52 27904
 Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1
stoweidlem52.2
stoweidlem52.3
stoweidlem52.4
stoweidlem52.5
stoweidlem52.7
stoweidlem52.8
stoweidlem52.9
stoweidlem52.10
stoweidlem52.11
stoweidlem52.12
stoweidlem52.13
stoweidlem52.14
stoweidlem52.15
stoweidlem52.16
stoweidlem52.17
stoweidlem52.18
stoweidlem52.19
stoweidlem52.20
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,,,,)   (,,)   (,,,,)   ()   (,)   (,,,,,)   (,,,,,,)   ()   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . . . 4
2 stoweidlem52.3 . . . 4
3 stoweidlem52.2 . . . . 5
43idi 2 . . . 4
5 stoweidlem52.4 . . . 4
6 stoweidlem52.7 . . . 4
7 stoweidlem52.5 . . . 4
8 stoweidlem52.13 . . . . . . . 8
9 rpre 10376 . . . . . . . 8
108, 9syl 15 . . . . . . 7
11 2re 9831 . . . . . . . 8
1211a1i 10 . . . . . . 7
13 2ne0 9845 . . . . . . . 8
1413a1i 10 . . . . . . 7
1510, 12, 143jca 1132 . . . . . 6
16 redivcl 9495 . . . . . 6
1715, 16syl 15 . . . . 5
18 rexr 8893 . . . . 5
1917, 18syl 15 . . . 4
20 stoweidlem52.9 . . . . . . 7
21 stoweidlem52.8 . . . . . . 7
2220, 21syl6sseq 3237 . . . . . 6
23 stoweidlem52.17 . . . . . 6
2422, 23jca 518 . . . . 5
25 ssel2 3188 . . . . 5
2624, 25syl 15 . . . 4
271, 2, 4, 5, 6, 7, 19, 26rfcnpre2 27805 . . 3
28 stoweidlem52.15 . . . . . . . . . . . 12
29 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . 11
3130, 6syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . 10
32 stoweidlem52.16 . . . . . . . . . 10
3331, 32jca 518 . . . . . . . . 9
34 ssel2 3188 . . . . . . . . 9
3533, 34syl 15 . . . . . . . 8
36 stoweidlem52.19 . . . . . . . . 9
37 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . 13
388, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12
3910, 38jca 518 . . . . . . . . . . 11
40 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . 13
4140a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
4212, 41jca 518 . . . . . . . . . . 11
4339, 42jca 518 . . . . . . . . . 10
44 divgt0 9640 . . . . . . . . . 10
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9
4636, 45eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8
4735, 46jca 518 . . . . . . 7
48 nfcv 2432 . . . . . . . 8
49 nfcv 2432 . . . . . . . 8
502, 48nffv 5548 . . . . . . . . 9
51 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
5250, 51, 1nfbr 4083 . . . . . . . 8
53 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
5453breq1d 4049 . . . . . . . 8
5548, 49, 52, 54elrabf 2935 . . . . . . 7
5647, 55sylibr 203 . . . . . 6
5756, 7syl6eleqr 2387 . . . . 5
58 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5920, 23, 58sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16
605, 6, 21, 59fcnre 27799 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
627rabeq2i 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14
6661, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12
6917adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
7010adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
7168, 69, 703jca 1132 . . . . . . . . . . 11
7264simprd 449 . . . . . . . . . . . 12
73 halfpos 9958 . . . . . . . . . . . . . . 15
7410, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
7538, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
7772, 76jca 518 . . . . . . . . . . 11
78 lttr 8915 . . . . . . . . . . 11
7971, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . 10
8079adantr 451 . . . . . . . . 9
81 stoweidlem52.20 . . . . . . . . . . . . 13
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
8365adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
84 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
86 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . 13
8785, 86sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
8882, 87jca 518 . . . . . . . . . . 11
89 rsp 2616 . . . . . . . . . . . 12
9089imp 418 . . . . . . . . . . 11
9188, 90syl 15 . . . . . . . . . 10
9210ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
9368adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9492, 93jca 518 . . . . . . . . . . 11
95 lenlt 8917 . . . . . . . . . . 11
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . 10
9791, 96mpbid 201 . . . . . . . . 9
9880, 97condan 769 . . . . . . . 8
9998ex 423 . . . . . . 7
1003, 99ralrimi 2637 . . . . . 6
101 nfrab1 2733 . . . . . . . . 9
1027, 101nfcxfr 2429 . . . . . . . 8
103 stoweidlem52.1 . . . . . . . 8
104102, 103dfss2f 3184 . . . . . . 7
105 df-ral 2561 . . . . . . 7
106104, 105bitr4i 243 . . . . . 6
107100, 106sylibr 203 . . . . 5
10857, 107jca 518 . . . 4
109 nfv 1609 . . . . 5
110 nfv 1609 . . . . . . . . 9
1113, 110nfan 1783 . . . . . . . 8
1128adantr 451 . . . . . . . 8
113 stoweidlem52.14 . . . . . . . . 9
114113adantr 451 . . . . . . . 8
11523adantr 451 . . . . . . . 8
11660adantr 451 . . . . . . . 8
117 stoweidlem52.18 . . . . . . . . 9
118117adantr 451 . . . . . . . 8
11981adantr 451 . . . . . . . 8
120 simpll 730 . . . . . . . . . 10
121 simpr 447 . . . . . . . . . 10
122120, 121jca 518 . . . . . . . . 9
12320adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
124 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
125 ssel 3187 . . . . . . . . . . . 12
126123, 124, 125sylc 56 . . . . . . . . . . 11
127126idi 2 . . . . . . . . . 10
1285, 6, 21, 127fcnre 27799 . . . . . . . . 9
129122, 128syl 15 . . . . . . . 8
130 simp1l 979 . . . . . . . . . 10
131 simp2 956 . . . . . . . . . 10
132 simp3 957 . . . . . . . . . 10
133130, 131, 1323jca 1132 . . . . . . . . 9
134 stoweidlem52.10 . . . . . . . . 9
135133, 134syl 15 . . . . . . . 8
136 stoweidlem52.11 . . . . . . . . 9
137133, 136syl 15 . . . . . . . 8
138 simpll 730 . . . . . . . . . 10
139 simpr 447 . . . . . . . . . 10
140138, 139jca 518 . . . . . . . . 9
141 stoweidlem52.12 . . . . . . . . 9
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8
143 simpr 447 . . . . . . . 8
1442, 111, 7, 112, 114, 115, 116, 118, 119, 129, 135, 137, 142, 143stoweidlem49 27901 . . . . . . 7
145 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12
146111, 145nfan 1783 . . . . . . . . . . 11
147 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12
148 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12
149 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12
150147, 148, 149nf3an 1786 . . . . . . . . . . 11
151146, 150nfan 1783 . . . . . . . . . 10
152 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
153 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
154 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11
1557, 154eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10
156 simplr 731 . . . . . . . . . 10
157 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12
158157, 156jca 518 . . . . . . . . . . 11
15920adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
160 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
161 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . 13
162159, 160, 161sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
1635, 6, 21, 162fcnre 27799 . . . . . . . . . . 11
164158, 163syl 15 . . . . . . . . . 10
165157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
166 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
167165, 166jca 518 . . . . . . . . . . 11
1685, 6, 21, 126fcnre 27799 . . . . . . . . . . 11
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . 10
1701573ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12
171 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12
172 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12
173170, 171, 1723jca 1132 . . . . . . . . . . 11
174173, 134syl 15 . . . . . . . . . 10
175173, 136syl 15 . . . . . . . . . 10
176157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
177 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
178176, 177jca 518 . . . . . . . . . . 11
179178, 141syl 15 . . . . . . . . . 10
180 simpllr 735 . . . . . . . . . 10
181 simp1 955 . . . . . . . . . . 11
182181adantl 452 . . . . . . . . . 10
183 simpr2 962 . . . . . . . . . 10
184 simpr3 963 . . . . . . . . . 10
185151, 152, 153, 155, 156, 164, 169, 174, 175, 179, 180, 182, 183, 184stoweidlem41 27893 . . . . . . . . 9
186185exp31 587 . . . . . . . 8
187186rexlimdv 2679 . . . . . . 7
188144, 187mpd 14 . . . . . 6
189188ex 423 . . . . 5
190109, 189ralrimi 2637 . . . 4
191108, 190jca 518 . . 3
19227, 191jca 518 . 2
193 eleq2 2357 . . . . 5
194 sseq1 3212 . . . . 5
195193, 194anbi12d 691 . . . 4
196 biidd 228 . . . . . . 7
197 nfcv 2432 . . . . . . . 8
198197, 102raleqf 2745 . . . . . . 7
199 biidd 228 . . . . . . 7
200196, 198, 1993anbi123d 1252 . . . . . 6
201200rexbidv 2577 . . . . 5
202201ralbidv 2576 . . . 4
203195, 202anbi12d 691 . . 3
204203rspcev 2897 . 2
205192, 204syl 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1530  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   wss 3165  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  c2 9811  crp 10370  cioo 10672  ctg 13358   ccn 16970 This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
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