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Theorem stoweidlem52 27904
Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1  |-  F/_ t U
stoweidlem52.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem52.3  |-  F/_ t P
stoweidlem52.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem52.5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem52.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem52.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem52.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem52.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem52.13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem52.14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem52.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem52.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem52.17  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem52.18  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem52.19  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
stoweidlem52.20  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
t    A, a, t    D, a, t    T, a, t    U, a    V, a, e    ph, a, e    e, f, g, t    v, e, x, t    A, f, g    D, f, g    P, f, g    T, f, g    U, f, g    f, V, g    ph, f, g    t, Z, v    v, A    v, J    v, T, x    v, U, x    v, V, x   
x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    A( e)    C( x, v, t, e, f, g, a)    D( x, v, e)    P( x, v, t, e, a)    T( e)    U( t, e)    J( x, t, e, f, g, a)    K( x, v, t, e, f, g, a)    V( t)    Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ t
( D  /  2
)
2 stoweidlem52.3 . . . 4  |-  F/_ t P
3 stoweidlem52.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
43idi 2 . . . 4  |-  F/ t
ph
5 stoweidlem52.4 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
6 stoweidlem52.7 . . . 4  |-  T  = 
U. J
7 stoweidlem52.5 . . . 4  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
8 stoweidlem52.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
9 rpre 10376 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
11 2re 9831 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
13 2ne0 9845 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
1413a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
1510, 12, 143jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
16 redivcl 9495 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
18 rexr 8893 . . . . 5  |-  ( ( D  /  2 )  e.  RR  ->  ( D  /  2 )  e. 
RR* )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR* )
20 stoweidlem52.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
21 stoweidlem52.8 . . . . . . 7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
2220, 21syl6sseq 3237 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
23 stoweidlem52.17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
2422, 23jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  A )
)
25 ssel2 3188 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  ( J  Cn  K
) )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
271, 2, 4, 5, 6, 7, 19, 26rfcnpre2 27805 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
28 stoweidlem52.15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
29 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
3130, 6syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
32 stoweidlem52.16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
3331, 32jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  C_  T  /\  Z  e.  U
) )
34 ssel2 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  C_  T  /\  Z  e.  U )  ->  Z  e.  T )
3533, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
36 stoweidlem52.19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
37 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  < 
D )
388, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  D )
3910, 38jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
40 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
4140a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
4212, 41jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
4339, 42jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  RR  /\  0  < 
D )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) ) )
44 divgt0 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( D  /  2 ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( D  /  2 ) )
4636, 45eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) )
4735, 46jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) ) )
48 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Z
49 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
502, 48nffv 5548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( P `  Z
)
51 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t  <
5250, 51, 1nfbr 4083 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 )
53 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  ( P `  t )  =  ( P `  Z ) )
5453breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  <->  ( P `  Z )  <  ( D  /  2 ) ) )
5548, 49, 52, 54elrabf 2935 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z )  <  ( D  /  2
) ) )
5647, 55sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) } )
5756, 7syl6eleqr 2387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
58 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  C  ->  ( P  e.  A  ->  P  e.  C ) )
5920, 23, 58sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  C )
605, 6, 21, 59fcnre 27799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
627rabeq2i 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
6362biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  V  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
6463adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
6564simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
6661, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
6917adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
7010adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  RR )
7168, 69, 703jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  D  e.  RR )
)
7264simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
73 halfpos 9958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  RR  ->  (
0  <  D  <->  ( D  /  2 )  < 
D ) )
7410, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  <  D  <->  ( D  /  2 )  <  D ) )
7538, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  D )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  < 
D )
7772, 76jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  /\  ( D  /  2
)  <  D )
)
78 lttr 8915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P `  t
)  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( ( P `
 t )  < 
( D  /  2
)  /\  ( D  /  2 )  < 
D )  ->  ( P `  t )  <  D ) )
7971, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  D )
8079adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  <  D )
81 stoweidlem52.20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
8365adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  T )
84 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  t  e.  U
)
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U
) )
86 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  <->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U ) )
8785, 86sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  ( T 
\  U ) )
8882, 87jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )  /\  t  e.  ( T  \  U ) ) )
89 rsp 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
9089imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t )  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  ->  D  <_  ( P `  t
) )
9188, 90syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
9210ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  e.  RR )
9368adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
9492, 93jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  e.  RR  /\  ( P `  t
)  e.  RR ) )
95 lenlt 8917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  ( P `  t )  e.  RR )  -> 
( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
9791, 96mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  ( P `  t )  <  D
)
9880, 97condan 769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  U )
9998ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
1003, 99ralrimi 2637 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  t  e.  U )
101 nfrab1 2733 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
1027, 101nfcxfr 2429 . . . . . . . 8  |-  F/_ t V
103 stoweidlem52.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ t U
104102, 103dfss2f 3184 . . . . . . 7  |-  ( V 
C_  U  <->  A. t
( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
105 df-ral 2561 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  V  t  e.  U  <->  A. t ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
106104, 105bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  U  <->  A. t  e.  V  t  e.  U )
107100, 106sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
10857, 107jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  V  /\  V  C_  U ) )
109 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ e
ph
110 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  e  e.  RR+
1113, 110nfan 1783 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  e  e.  RR+ )
1128adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
113 stoweidlem52.14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
114113adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  <  1 )
11523adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  A )
11660adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P : T
--> RR )
117 stoweidlem52.18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
118117adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
11981adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )
)
120 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
121 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
122120, 121jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
12320adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  A  C_  C )
124 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
125 ssel 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  C  ->  (
f  e.  A  -> 
f  e.  C ) )
126123, 124, 125sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
127126idi 2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
1285, 6, 21, 127fcnre 27799 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
129122, 128syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
130 simp1l 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
131 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
132 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
133130, 131, 1323jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
134 stoweidlem52.10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
135133, 134syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
136 stoweidlem52.11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
137133, 136syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
138 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ph )
139 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
140138, 139jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR ) )
141 stoweidlem52.12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
143 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1442, 111, 7, 112, 114, 115, 116, 118, 119, 129, 135, 137, 142, 143stoweidlem49 27901 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
145 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  y  e.  A
146111, 145nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )
147 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )
148 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  V  ( 1  -  e
)  <  ( y `  t )
149 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e
150147, 148, 149nf3an 1786 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
151146, 150nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
152 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
153 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
154 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) }  C_  T
1557, 154eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10  |-  V  C_  T
156 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y  e.  A )
157 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ph )
158157, 156jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ( ph  /\  y  e.  A
) )
15920adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  C_  C )
160 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
161 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  C  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  C ) )
162159, 160, 161sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
1635, 6, 21, 162fcnre 27799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y : T --> RR )
164158, 163syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y : T --> RR )
165157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
166 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
167165, 166jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A ) )
1685, 6, 21, 126fcnre 27799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
1701573ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
171 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
172 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
173170, 171, 1723jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A ) )
174173, 134syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
175173, 136syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
176157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ph )
177 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
178176, 177jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR ) )
179178, 141syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A
)
180 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
181 simp1 955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
182181adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
183 simpr2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
) )
184 simpr3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
185151, 152, 153, 155, 156, 164, 169, 174, 175, 179, 180, 182, 183, 184stoweidlem41 27893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )
186185exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( (
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y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
187186rexlimdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
188144, 187mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )
189188ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( e  e.  RR+  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
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x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )
19227, 191jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) ) )
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x `  t )  /\  ( x `  t
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x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 ) ) )
197 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
v
198197, 102raleqf 2745 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  v 
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) )
199 biidd 228 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e )  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )
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( x `  t
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
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x `  t )
) ) )
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
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)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
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x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
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204203rspcev 2897 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
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x `  t )
) ) )
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   topGenctg 13358    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
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