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Theorem stoweidlem52 27768
Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1  |-  F/_ t U
stoweidlem52.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem52.3  |-  F/_ t P
stoweidlem52.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem52.5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem52.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem52.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem52.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem52.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem52.13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem52.14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem52.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem52.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem52.17  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem52.18  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem52.19  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
stoweidlem52.20  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
t    A, a, t    D, a, t    T, a, t    U, a    V, a, e    ph, a, e    e, f, g, t    v, e, x, t    A, f, g    D, f, g    P, f, g    T, f, g    U, f, g    f, V, g    ph, f, g    t, Z, v    v, A    v, J    v, T, x    v, U, x    v, V, x   
x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    A( e)    C( x, v, t, e, f, g, a)    D( x, v, e)    P( x, v, t, e, a)    T( e)    U( t, e)    J( x, t, e, f, g, a)    K( x, v, t, e, f, g, a)    V( t)    Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2571 . . 3  |-  F/_ t
( D  /  2
)
2 stoweidlem52.3 . . 3  |-  F/_ t P
3 stoweidlem52.2 . . 3  |-  F/ t
ph
4 stoweidlem52.4 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 stoweidlem52.7 . . 3  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem52.5 . . 3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
7 stoweidlem52.13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
87rpred 10640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
98rehalfcld 10206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
109rexrd 9126 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR* )
11 stoweidlem52.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem52.8 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3386 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem52.17 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
1513, 14sseldd 3341 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15rfcnpre2 27669 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
17 stoweidlem52.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
18 elssuni 4035 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2019, 5syl6sseqr 3387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
21 stoweidlem52.16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2220, 21sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
23 stoweidlem52.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
24 2re 10061 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
267rpgt0d 10643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  D )
27 2pos 10074 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
298, 25, 26, 28divgt0d 9938 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( D  /  2 ) )
3023, 29eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) )
31 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ t Z
32 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ t T
332, 31nffv 5727 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( P `  Z
)
34 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ t  <
3533, 34, 1nfbr 4248 . . . . . 6  |-  F/ t ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 )
36 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  ( P `  t )  =  ( P `  Z ) )
3736breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  <->  ( P `  Z )  <  ( D  /  2 ) ) )
3831, 32, 35, 37elrabf 3083 . . . . 5  |-  ( Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z )  <  ( D  /  2
) ) )
3922, 30, 38sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) } )
4039, 6syl6eleqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
4111, 14sseldd 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  C )
424, 5, 12, 41fcnre 27663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
4342adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
446rabeq2i 2945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
4544biimpi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  V  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
4746simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
4843, 47ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
499adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
508adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  RR )
5146simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
52 halfpos 10190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  RR  ->  (
0  <  D  <->  ( D  /  2 )  < 
D ) )
538, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <  D  <->  ( D  /  2 )  <  D ) )
5426, 53mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  D )
5554adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  < 
D )
5648, 49, 50, 51, 55lttrd 9223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  D )
5756adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  <  D )
58 stoweidlem52.20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
5958ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6047anim1i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U
) )
61 eldif 3322 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  <->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U ) )
6260, 61sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  ( T 
\  U ) )
63 rsp 2758 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
6459, 62, 63sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
658ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  e.  RR )
6648adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
6765, 66lenltd 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
6864, 67mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  ( P `  t )  <  D
)
6957, 68condan 770 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  U )
7069ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
713, 70ralrimi 2779 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  t  e.  U )
72 nfrab1 2880 . . . . . 6  |-  F/_ t { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
736, 72nfcxfr 2568 . . . . 5  |-  F/_ t V
74 stoweidlem52.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
7573, 74dfss3f 3332 . . . 4  |-  ( V 
C_  U  <->  A. t  e.  V  t  e.  U )
7671, 75sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
77 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ e
ph
78 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ t  e  e.  RR+
793, 78nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  e  e.  RR+ )
807adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
81 stoweidlem52.14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
8281adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  <  1 )
8314adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  A )
8442adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P : T
--> RR )
85 stoweidlem52.18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
8685adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
8758adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )
)
8811sselda 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
894, 5, 12, 88fcnre 27663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
9089adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
91 stoweidlem52.10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
92913adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
93 stoweidlem52.11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
94933adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
95 stoweidlem52.12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
9695adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
97 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
982, 79, 6, 80, 82, 83, 84, 86, 87, 90, 92, 94, 96, 97stoweidlem49 27765 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
99 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  A
10079, 99nfan 1846 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )
101 nfra1 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )
102 nfra1 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. t  e.  V  ( 1  -  e
)  <  ( y `  t )
103 nfra1 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e
104101, 102, 103nf3an 1849 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
105100, 104nfan 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
106 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
107 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
108 ssrab2 3420 . . . . . . . . . 10  |-  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) }  C_  T
1096, 108eqsstri 3370 . . . . . . . . 9  |-  V  C_  T
110 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y  e.  A )
111 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ph )
11211sselda 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
1134, 5, 12, 112fcnre 27663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y : T --> RR )
114111, 110, 113syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y : T --> RR )
115111, 89sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
116111, 91syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
117111, 93syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
118111, 95sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A
)
119 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
120 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
121 simpr2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
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)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
) )
122 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
123105, 106, 107, 109, 110, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122stoweidlem41 27757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
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)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
124123exp31 588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
125124rexlimdv 2821 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
12698, 125mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
127126ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( e  e.  RR+  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
12877, 127ralrimi 2779 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) )
12940, 76, 128jca31 521 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
130 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( Z  e.  v  <->  Z  e.  V ) )
131 sseq1 3361 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
v  C_  U  <->  V  C_  U
) )
132130, 131anbi12d 692 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( Z  e.  v  /\  v  C_  U
)  <->  ( Z  e.  V  /\  V  C_  U ) ) )
133 nfcv 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
v
134133, 73raleqf 2892 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  v 
( x `  t
)  <  e  <->  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e
) )
1351343anbi2d 1259 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )
136135rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
137136ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
138132, 137anbi12d 692 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )  <->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) ) )
139138rspcev 3044 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
14016, 129, 139syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309    C_ wss 3312   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   2c2 10041   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   topGenctg 13657    Cn ccn 17280
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-ioo 10912  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283
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