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Theorem stoweidlem52 27801
Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1  |-  F/_ t U
stoweidlem52.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem52.3  |-  F/_ t P
stoweidlem52.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem52.5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem52.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem52.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem52.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem52.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem52.13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem52.14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem52.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem52.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem52.17  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem52.18  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem52.19  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
stoweidlem52.20  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
t    A, a, t    D, a, t    T, a, t    U, a    V, a, e    ph, a, e    e, f, g, t    v, e, x, t    A, f, g    D, f, g    P, f, g    T, f, g    U, f, g    f, V, g    ph, f, g    t, Z, v    v, A    v, J    v, T, x    v, U, x    v, V, x   
x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    A( e)    C( x, v, t, e, f, g, a)    D( x, v, e)    P( x, v, t, e, a)    T( e)    U( t, e)    J( x, t, e, f, g, a)    K( x, v, t, e, f, g, a)    V( t)    Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ t
( D  /  2
)
2 stoweidlem52.3 . . . 4  |-  F/_ t P
3 stoweidlem52.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
43idi 2 . . . 4  |-  F/ t
ph
5 stoweidlem52.4 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
6 stoweidlem52.7 . . . 4  |-  T  = 
U. J
7 stoweidlem52.5 . . . 4  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
8 stoweidlem52.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
9 rpre 10360 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
11 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
13 2ne0 9829 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
1413a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
1510, 12, 143jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
16 redivcl 9479 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
18 rexr 8877 . . . . 5  |-  ( ( D  /  2 )  e.  RR  ->  ( D  /  2 )  e. 
RR* )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR* )
20 stoweidlem52.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
21 stoweidlem52.8 . . . . . . 7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
2220, 21syl6sseq 3224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
23 stoweidlem52.17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
2422, 23jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  A )
)
25 ssel2 3175 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  ( J  Cn  K
) )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
271, 2, 4, 5, 6, 7, 19, 26rfcnpre2 27702 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
28 stoweidlem52.15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
29 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
3130, 6syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
32 stoweidlem52.16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
3331, 32jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  C_  T  /\  Z  e.  U
) )
34 ssel2 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  C_  T  /\  Z  e.  U )  ->  Z  e.  T )
3533, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
36 stoweidlem52.19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
37 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  < 
D )
388, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  D )
3910, 38jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
40 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
4140a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
4212, 41jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
4339, 42jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  RR  /\  0  < 
D )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) ) )
44 divgt0 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( D  /  2 ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( D  /  2 ) )
4636, 45eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) )
4735, 46jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) ) )
48 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Z
49 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
502, 48nffv 5532 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( P `  Z
)
51 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t  <
5250, 51, 1nfbr 4067 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 )
53 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  ( P `  t )  =  ( P `  Z ) )
5453breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  <->  ( P `  Z )  <  ( D  /  2 ) ) )
5548, 49, 52, 54elrabf 2922 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z )  <  ( D  /  2
) ) )
5647, 55sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) } )
5756, 7syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
58 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  C  ->  ( P  e.  A  ->  P  e.  C ) )
5920, 23, 58sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  C )
605, 6, 21, 59fcnre 27696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
627rabeq2i 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
6362biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  V  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
6463adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
6564simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
6661, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
67 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
6917adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
7010adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  RR )
7168, 69, 703jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  D  e.  RR )
)
7264simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
73 halfpos 9942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  RR  ->  (
0  <  D  <->  ( D  /  2 )  < 
D ) )
7410, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  <  D  <->  ( D  /  2 )  <  D ) )
7538, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  D )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  < 
D )
7772, 76jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  /\  ( D  /  2
)  <  D )
)
78 lttr 8899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P `  t
)  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( ( P `
 t )  < 
( D  /  2
)  /\  ( D  /  2 )  < 
D )  ->  ( P `  t )  <  D ) )
7971, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  D )
8079adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  <  D )
81 stoweidlem52.20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
8365adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  T )
84 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  t  e.  U
)
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U
) )
86 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  <->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U ) )
8785, 86sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  ( T 
\  U ) )
8882, 87jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )  /\  t  e.  ( T  \  U ) ) )
89 rsp 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
9089imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t )  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  ->  D  <_  ( P `  t
) )
9188, 90syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
9210ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  e.  RR )
9368adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
9492, 93jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  e.  RR  /\  ( P `  t
)  e.  RR ) )
95 lenlt 8901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  ( P `  t )  e.  RR )  -> 
( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
9791, 96mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  ( P `  t )  <  D
)
9880, 97condan 769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  U )
9998ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
1003, 99ralrimi 2624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  t  e.  U )
101 nfrab1 2720 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
1027, 101nfcxfr 2416 . . . . . . . 8  |-  F/_ t V
103 stoweidlem52.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ t U
104102, 103dfss2f 3171 . . . . . . 7  |-  ( V 
C_  U  <->  A. t
( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
105 df-ral 2548 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  V  t  e.  U  <->  A. t ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
106104, 105bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  U  <->  A. t  e.  V  t  e.  U )
107100, 106sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
10857, 107jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  V  /\  V  C_  U ) )
109 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ e
ph
110 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  e  e.  RR+
1113, 110nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  e  e.  RR+ )
1128adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
113 stoweidlem52.14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
114113adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  <  1 )
11523adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  A )
11660adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P : T
--> RR )
117 stoweidlem52.18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
118117adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
11981adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )
)
120 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
121 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
122120, 121jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
12320adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  A  C_  C )
124 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
125 ssel 3174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  C  ->  (
f  e.  A  -> 
f  e.  C ) )
126123, 124, 125sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
127126idi 2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
1285, 6, 21, 127fcnre 27696 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
129122, 128syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
130 simp1l 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
131 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
132 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
133130, 131, 1323jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
134 stoweidlem52.10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
135133, 134syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
136 stoweidlem52.11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
137133, 136syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
138 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ph )
139 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
140138, 139jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR ) )
141 stoweidlem52.12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
143 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1442, 111, 7, 112, 114, 115, 116, 118, 119, 129, 135, 137, 142, 143stoweidlem49 27798 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
145 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  y  e.  A
146111, 145nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )
147 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )
148 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  V  ( 1  -  e
)  <  ( y `  t )
149 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e
150147, 148, 149nf3an 1774 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
151146, 150nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
152 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
153 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
154 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) }  C_  T
1557, 154eqsstri 3208 . . . . . . . . . 10  |-  V  C_  T
156 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y  e.  A )
157 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ph )
158157, 156jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ( ph  /\  y  e.  A
) )
15920adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  C_  C )
160 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
161 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  C  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  C ) )
162159, 160, 161sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
1635, 6, 21, 162fcnre 27696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y : T --> RR )
164158, 163syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y : T --> RR )
165157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
166 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
167165, 166jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A ) )
1685, 6, 21, 126fcnre 27696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
1701573ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
171 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
172 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
173170, 171, 1723jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A ) )
174173, 134syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
175173, 136syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
176157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ph )
177 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
178176, 177jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR ) )
179178, 141syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A
)
180 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
181 simp1 955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
182181adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
183 simpr2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
) )
184 simpr3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
185151, 152, 153, 155, 156, 164, 169, 174, 175, 179, 180, 182, 183, 184stoweidlem41 27790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )
186185exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( (
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y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
187186rexlimdv 2666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
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)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
188144, 187mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )
189188ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( e  e.  RR+  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
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x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
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0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) ) )
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x `  t )  /\  ( x `  t
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x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 ) ) )
197 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
v
198197, 102raleqf 2732 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  v 
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199 biidd 228 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e )  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )
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( x `  t
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
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x `  t )
) ) )
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
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)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
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x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
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204203rspcev 2884 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
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x `  t )
) ) )
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   topGenctg 13342    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
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