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Theorem stoweidlem53 27802
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1  |-  F/_ t U
stoweidlem53.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem53.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem53.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem53.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem53.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem53.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem53.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem53.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem53.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem53.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem53.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem53.15  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
stoweidlem53.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, q, t    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    A, r    U, r    ph, r    t, K    w, Q    w, U    ph, w    x, A    x, Q    x, U    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables  i  m  y  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
2 stoweidlem53.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem53.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem53.4 . . . . 5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
5 stoweidlem53.5 . . . . 5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
6 stoweidlem53.6 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
7 stoweidlem53.7 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
8 stoweidlem53.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem53.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
10 stoweidlem53.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem53.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem53.12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem53.13 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
14 stoweidlem53.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
15 stoweidlem53.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 27799 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
17 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  u  e.  Fin
18 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
u
19 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t ( h `  Z
)  =  0
20 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
2119, 20nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )
22 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t A
2321, 22nfrab 2721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
244, 23nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t Q
25 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
w
26 nfrab1 2720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) }
2725, 26nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }
2824, 27nfrex 2598 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
29 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t J
3028, 29nfrab 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
315, 30nfcxfr 2416 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t W
3218, 31nfss 3173 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  u  C_  W
33 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t T
3433, 1nfdif 3297 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( T  \  U
)
35 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U. u
3634, 35nfss 3173 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( T  \  U
)  C_  U. u
3717, 32, 36nf3an 1774 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
382, 37nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
39 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ w ph
40 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  u  e.  Fin
41 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w u
42 nfrab1 2720 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
435, 42nfcxfr 2416 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w W
4441, 43nfss 3173 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  u  C_  W
45 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( T  \  U
)  C_  U. u
4640, 44, 45nf3an 1774 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
4739, 46nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
48 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ h ph
49 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  u  e.  Fin
50 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h u
51 nfre1 2599 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
52 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h J
5351, 52nfrab 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
545, 53nfcxfr 2416 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h W
5550, 54nfss 3173 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  u  C_  W
56 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ h
( T  \  U
)  C_  U. u
5749, 55, 56nf3an 1774 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
5848, 57nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ h
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
59 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )  =  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
609, 7syl6sseq 3224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
61 cmptop 17122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
628, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
63 retop 18270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
643, 63eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e. 
Top
6562, 64jctir 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )
)
66 cnfex 27699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
6860, 67jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
)
69 ssexg 4160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  ( J  Cn  K )  e. 
_V )  ->  A  e.  _V )
7068, 69syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
7170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  _V )
72 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
73 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
74 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
75 stoweidlem53.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
7675adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
7738, 47, 58, 4, 5, 59, 71, 72, 73, 74, 76stoweidlem35 27784 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
7877ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
)  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) ) )
7978eximdv 1608 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u )  ->  E. u E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
8016, 79mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
81 id 19 . . . 4  |-  ( E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
8281exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. u E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
8380, 82syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
84 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ i
ph
85 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ i  m  e.  NN
86 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ i  q : ( 1 ... m ) --> Q
87 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( T  \  U
)
88 nfre1 2599 . . . . . . . . 9  |-  F/ i E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8987, 88nfral 2596 . . . . . . . 8  |-  F/ i A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
9086, 89nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ i ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9185, 90nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ i ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
9284, 91nfan 1771 . . . . 5  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
93 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ t  m  e.  NN
94 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
q
95 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
9694, 95, 24nff 5387 . . . . . . . 8  |-  F/ t  q : ( 1 ... m ) --> Q
97 nfra1 2593 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
9896, 97nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ t ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9993, 98nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ t ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
1002, 99nfan 1771 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
101 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y
) `  t )
) )
102 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
103 simprrl 740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  q :
( 1 ... m
) --> Q )
104 simprrr 741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
1057sseq2i 3203 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  C  <->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
1069, 105sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
107106adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
108 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
109 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
110 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
111108, 109, 1103jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A ) )
112111, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
113111, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
114 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
115 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
116114, 115jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ph  /\  x  e.  RR ) )
117116, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A
)
118 elssuni 3855 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
119118, 6syl6sseqr 3225 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_  T )
12014, 119syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
121 ssel 3174 . . . . . . 7  |-  ( U 
C_  T  ->  ( Z  e.  U  ->  Z  e.  T ) )
122120, 15, 121sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
123122adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  Z  e.  T )
12492, 100, 3, 4, 101, 102, 103, 104, 6, 107, 112, 113, 117, 123stoweidlem44 27793 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
125124ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
126125exlimdvv 1668 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
12783, 126mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   sum_csu 12158   topGenctg 13342   Topctop 16631    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem55  27804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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