Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem53 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem53 27778
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1  |-  F/_ t U
stoweidlem53.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem53.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem53.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem53.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem53.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem53.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem53.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem53.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem53.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem53.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem53.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem53.15  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
stoweidlem53.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, q, t    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    A, r    U, r    ph, r    t, K    w, Q    w, U    ph, w    x, A    x, Q    x, U    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables  i  m  y  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . 4  |-  F/_ t U
2 stoweidlem53.2 . . . 4  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem53.3 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem53.4 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
5 stoweidlem53.5 . . . 4  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
6 stoweidlem53.6 . . . 4  |-  T  = 
U. J
7 stoweidlem53.7 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
8 stoweidlem53.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem53.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
10 stoweidlem53.10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem53.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem53.12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem53.13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
14 stoweidlem53.14 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
15 stoweidlem53.16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 27775 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
17 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ t  u  e.  Fin
18 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ t
u
19 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( h `  Z
)  =  0
20 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
2119, 20nfan 1846 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )
22 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t A
2321, 22nfrab 2889 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
244, 23nfcxfr 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t Q
25 nfrab1 2888 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) }
2625nfeq2 2583 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }
2724, 26nfrex 2761 . . . . . . . . 9  |-  F/ t E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
28 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t J
2927, 28nfrab 2889 . . . . . . . 8  |-  F/_ t { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
305, 29nfcxfr 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ t W
3118, 30nfss 3341 . . . . . 6  |-  F/ t  u  C_  W
32 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
3332, 1nfdif 3468 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( T  \  U
)
34 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ t U. u
3533, 34nfss 3341 . . . . . 6  |-  F/ t ( T  \  U
)  C_  U. u
3617, 31, 35nf3an 1849 . . . . 5  |-  F/ t ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
372, 36nfan 1846 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
38 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ w ph
39 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ w  u  e.  Fin
40 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ w u
41 nfrab1 2888 . . . . . . . 8  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
425, 41nfcxfr 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ w W
4340, 42nfss 3341 . . . . . 6  |-  F/ w  u  C_  W
44 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ w
( T  \  U
)  C_  U. u
4539, 43, 44nf3an 1849 . . . . 5  |-  F/ w
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
4638, 45nfan 1846 . . . 4  |-  F/ w
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
47 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ h ph
48 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ h  u  e.  Fin
49 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ h u
50 nfre1 2762 . . . . . . . . 9  |-  F/ h E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
51 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h J
5250, 51nfrab 2889 . . . . . . . 8  |-  F/_ h { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
535, 52nfcxfr 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ h W
5449, 53nfss 3341 . . . . . 6  |-  F/ h  u  C_  W
55 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ h
( T  \  U
)  C_  U. u
5648, 54, 55nf3an 1849 . . . . 5  |-  F/ h
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
5747, 56nfan 1846 . . . 4  |-  F/ h
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
58 eqid 2436 . . . 4  |-  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )  =  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
59 cmptop 17458 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
608, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61 retop 18795 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
623, 61eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
63 cnfex 27675 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
6460, 62, 63sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
659, 7syl6sseq 3394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
6664, 65ssexd 4350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6766adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  _V )
68 simpr1 963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
69 simpr2 964 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
70 simpr3 965 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
71 stoweidlem53.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
7271adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
7337, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72stoweidlem35 27760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
7416, 73exlimddv 1648 . 2  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
75 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ i
ph
76 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ i  m  e.  NN
77 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ i  q : ( 1 ... m ) --> Q
78 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( T  \  U
)
79 nfre1 2762 . . . . . . . . 9  |-  F/ i E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8078, 79nfral 2759 . . . . . . . 8  |-  F/ i A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8177, 80nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ i ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
8276, 81nfan 1846 . . . . . 6  |-  F/ i ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
8375, 82nfan 1846 . . . . 5  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
84 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ t  m  e.  NN
85 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
q
86 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
8785, 86, 24nff 5589 . . . . . . . 8  |-  F/ t  q : ( 1 ... m ) --> Q
88 nfra1 2756 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8987, 88nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ t ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9084, 89nfan 1846 . . . . . 6  |-  F/ t ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
912, 90nfan 1846 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
92 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y
) `  t )
) )
93 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
94 simprrl 741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  q :
( 1 ... m
) --> Q )
95 simprrr 742 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9665adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
97103adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
98113adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
9912adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A
)
100 elssuni 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
101100, 6syl6sseqr 3395 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_  T )
10214, 101syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
103102, 15sseldd 3349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
104103adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  Z  e.  T )
10583, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104stoweidlem44 27769 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
106105ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
107106exlimdvv 1647 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
10874, 107mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2559    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   (,)cioo 10916   ...cfz 11043   sum_csu 12479   topGenctg 13665   Topctop 16958    Cn ccn 17288   Compccmp 17449
This theorem is referenced by:  stoweidlem55  27780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352
  Copyright terms: Public domain W3C validator