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Theorem stoweidlem53 27905
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1  |-  F/_ t U
stoweidlem53.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem53.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem53.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem53.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem53.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem53.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem53.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem53.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem53.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem53.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem53.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem53.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem53.15  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
stoweidlem53.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, q, t    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    A, r    U, r    ph, r    t, K    w, Q    w, U    ph, w    x, A    x, Q    x, U    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables  i  m  y  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
2 stoweidlem53.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem53.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem53.4 . . . . 5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
5 stoweidlem53.5 . . . . 5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
6 stoweidlem53.6 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
7 stoweidlem53.7 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
8 stoweidlem53.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem53.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
10 stoweidlem53.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem53.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem53.12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem53.13 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
14 stoweidlem53.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
15 stoweidlem53.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 27902 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
17 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  u  e.  Fin
18 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
u
19 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t ( h `  Z
)  =  0
20 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
2119, 20nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )
22 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t A
2321, 22nfrab 2734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
244, 23nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t Q
25 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
w
26 nfrab1 2733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) }
2725, 26nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }
2824, 27nfrex 2611 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
29 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t J
3028, 29nfrab 2734 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
315, 30nfcxfr 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t W
3218, 31nfss 3186 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  u  C_  W
33 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t T
3433, 1nfdif 3310 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( T  \  U
)
35 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U. u
3634, 35nfss 3186 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( T  \  U
)  C_  U. u
3717, 32, 36nf3an 1786 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
382, 37nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
39 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ w ph
40 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  u  e.  Fin
41 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w u
42 nfrab1 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
435, 42nfcxfr 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w W
4441, 43nfss 3186 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  u  C_  W
45 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( T  \  U
)  C_  U. u
4640, 44, 45nf3an 1786 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
4739, 46nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
48 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ h ph
49 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  u  e.  Fin
50 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h u
51 nfre1 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }
52 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h J
5351, 52nfrab 2734 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
545, 53nfcxfr 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h W
5550, 54nfss 3186 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  u  C_  W
56 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ h
( T  \  U
)  C_  U. u
5749, 55, 56nf3an 1786 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u )
5848, 57nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ h
( ph  /\  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
59 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )  =  ( w  e.  u  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
609, 7syl6sseq 3237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
61 cmptop 17138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
628, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
63 retop 18286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
643, 63eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e. 
Top
6562, 64jctir 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )
)
66 cnfex 27802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
6860, 67jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
)
69 ssexg 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  ( J  Cn  K )  e. 
_V )  ->  A  e.  _V )
7068, 69syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
7170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  _V )
72 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
73 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
74 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
75 stoweidlem53.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
7675adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
7738, 47, 58, 4, 5, 59, 71, 72, 73, 74, 76stoweidlem35 27887 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
7877ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
)  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) ) )
7978eximdv 1612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u )  ->  E. u E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
8016, 79mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
81 id 19 . . . 4  |-  ( E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
8281exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. u E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
8380, 82syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
84 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ i
ph
85 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ i  m  e.  NN
86 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ i  q : ( 1 ... m ) --> Q
87 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( T  \  U
)
88 nfre1 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/ i E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
8987, 88nfral 2609 . . . . . . . 8  |-  F/ i A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
9086, 89nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ i ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9185, 90nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ i ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
9284, 91nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
93 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ t  m  e.  NN
94 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
q
95 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
9694, 95, 24nff 5403 . . . . . . . 8  |-  F/ t  q : ( 1 ... m ) --> Q
97 nfra1 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `  i ) `
 t )
9896, 97nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ t ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
9993, 98nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ t ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )
1002, 99nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
101 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  m )  x.  sum_ y  e.  ( 1 ... m ) ( ( q `  y
) `  t )
) )
102 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
103 simprrl 740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  q :
( 1 ... m
) --> Q )
104 simprrr 741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)
1057sseq2i 3216 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  C  <->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
1069, 105sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
107106adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
108 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
109 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
110 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
111108, 109, 1103jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A ) )
112111, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
113111, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
114 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
115 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
116114, 115jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ph  /\  x  e.  RR ) )
117116, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A
)
118 elssuni 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
119118, 6syl6sseqr 3238 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_  T )
12014, 119syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
121 ssel 3187 . . . . . . 7  |-  ( U 
C_  T  ->  ( Z  e.  U  ->  Z  e.  T ) )
122120, 15, 121sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
123122adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  Z  e.  T )
12492, 100, 3, 4, 101, 102, 103, 104, 6, 107, 112, 113, 117, 123stoweidlem44 27896 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
125124ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
126125exlimdvv 1627 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
12783, 126mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   (,)cioo 10672   ...cfz 10798   sum_csu 12174   topGenctg 13358   Topctop 16647    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  stoweidlem55  27907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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