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Theorem stoweidlem54 27126
Description: There exists a function  x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem54.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem54.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem54.3  |-  F/ y
ph
stoweidlem54.4  |-  F/ w ph
stoweidlem54.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem54.6  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem54.7  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem54.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem54.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem54.10  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem54.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem54.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem54.13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem54.14  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem54.15  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem54.16  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem54.17  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem54.18  |-  ( ph  ->  E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
stoweidlem54.19  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem54.20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem54.21  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem54  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, i, t, y, T    A, f, g, h, t, y    B, f, g, i, y    f, E, g, i, y    f, F, g    f, M, g, h, i, t    f, W, g, i    f, Y, g, i    ph, f,
g    w, i, t, y, T    D, i, y    x, t, y, A    w, B    w, E    w, M    w, W    w, Y    x, B    x, D    x, E    x, M    x, P    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, y, w, t, e, h, i)    A( w, e, i)    B( t, e, h)    D( w, t, e, f, g, h)    P( y, w, t, e, f, g, h, i)    T( e)    U( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    E( t, e, h)    F( x, y, w, t, e, h, i)    J( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    M( y, e)    V( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    W( x, y, t, e, h)    Y( x, y, t, e, h)    Z( x, y, w, t, e, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem54
StepHypRef Expression
1 stoweidlem54.18 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
2 stoweidlem54.3 . . . 4  |-  F/ y
ph
3 nfv 1619 . . . 4  |-  F/ y E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
4 stoweidlem54.1 . . . . . . 7  |-  F/ i
ph
5 nfv 1619 . . . . . . . 8  |-  F/ i  y : ( 1 ... M ) --> Y
6 nfra1 2669 . . . . . . . 8  |-  F/ i A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
75, 6nfan 1829 . . . . . . 7  |-  F/ i ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
84, 7nfan 1829 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
9 stoweidlem54.2 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
10 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
y
11 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... M
)
12 stoweidlem54.6 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
13 nfra1 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
14 nfcv 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t A
1513, 14nfrab 2797 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
1612, 15nfcxfr 2491 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t Y
1710, 11, 16nff 5470 . . . . . . . 8  |-  F/ t  y : ( 1 ... M ) --> Y
18 nfra1 2669 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )
19 nfra1 2669 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )
2018, 19nfan 1829 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
2111, 20nfral 2672 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
2217, 21nfan 1829 . . . . . . 7  |-  F/ t ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
239, 22nfan 1829 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
24 stoweidlem54.4 . . . . . . 7  |-  F/ w ph
25 nfv 1619 . . . . . . 7  |-  F/ w
( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
2624, 25nfan 1829 . . . . . 6  |-  F/ w
( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
27 stoweidlem54.10 . . . . . . 7  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
28 nfrab1 2796 . . . . . . 7  |-  F/_ w { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
2927, 28nfcxfr 2491 . . . . . 6  |-  F/_ w V
30 stoweidlem54.7 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
31 eqid 2358 . . . . . 6  |-  (  seq  1 ( P , 
y ) `  M
)  =  (  seq  1 ( P , 
y ) `  M
)
32 stoweidlem54.8 . . . . . 6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) )
33 stoweidlem54.9 . . . . . 6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
34 stoweidlem54.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3534adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
36 stoweidlem54.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  W :
( 1 ... M
) --> V )
38 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  y :
( 1 ... M
) --> Y )
39 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  ph )
40 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
4139, 40jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  ( ph  /\  w  e.  V
) )
4227eleq2i 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  V  <->  w  e.  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) } )
43 rabid 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
4442, 43bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  V  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
4544simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  V  ->  w  e.  J )
46 elssuni 3936 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
47 stoweidlem54.5 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U. J
4846, 47syl6sseqr 3301 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  T )
4945, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  V  ->  w  C_  T )
5049adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
5141, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
52 stoweidlem54.16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
5352adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  D  C_  U. ran  W )
54 stoweidlem54.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
5554adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  D  C_  T
)
56 stoweidlem54.15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
5756adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  B  C_  T
)
58 r19.26 2751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M
) )  <  (
( y `  i
) `  t )
) )
5958biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
6059simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
) )
6160adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M ) )
6261adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
63 rsp 2679 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
)  ->  ( i  e.  ( 1 ... M
)  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) ) )
6462, 63syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... M
)  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) ) )
6564imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
6659simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... M ) A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
6766adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
6867adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M
) )  <  (
( y `  i
) `  t )
)
69 rsp 2679 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... M
)  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( y `  i ) `  t
) ) )
7170imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( y `  i ) `  t
) )
72 simp1l 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
73 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
74 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
7572, 73, 743jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
76 stoweidlem54.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
7775, 76syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
78 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
79 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
8078, 79jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
81 stoweidlem54.12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
8280, 81syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
83 stoweidlem54.19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
8483adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
85 stoweidlem54.20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
8685adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
87 stoweidlem54.21 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
8887adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
898, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 51, 53, 55, 57, 65, 71, 77, 82, 84, 86, 88stoweidlem51 27123 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. x
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
9089ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y : ( 1 ... M
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
912, 3, 90exlimd 1807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
921, 91mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
93 df-rex 2625 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
9492, 93sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541   F/wnf 1544    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   U.cuni 3908   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ran crn 4772   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   3c3 9886   RR+crp 10446   ...cfz 10874    seq cseq 11138
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198
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