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Theorem stoweidlem54 27678
Description: There exists a function  x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem54.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem54.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem54.3  |-  F/ y
ph
stoweidlem54.4  |-  F/ w ph
stoweidlem54.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem54.6  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem54.7  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem54.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem54.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem54.10  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem54.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem54.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem54.13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem54.14  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem54.15  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem54.16  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem54.17  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem54.18  |-  ( ph  ->  E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
stoweidlem54.19  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem54.20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem54.21  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem54  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, i, t, y, T    A, f, g, h, t, y    B, f, g, i, y    f, E, g, i, y    f, F, g    f, M, g, h, i, t    f, W, g, i    f, Y, g, i    ph, f,
g    w, i, t, y, T    D, i, y    x, t, y, A    w, B    w, E    w, M    w, W    w, Y    x, B    x, D    x, E    x, M    x, P    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, y, w, t, e, h, i)    A( w, e, i)    B( t, e, h)    D( w, t, e, f, g, h)    P( y, w, t, e, f, g, h, i)    T( e)    U( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    E( t, e, h)    F( x, y, w, t, e, h, i)    J( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    M( y, e)    V( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    W( x, y, t, e, h)    Y( x, y, t, e, h)    Z( x, y, w, t, e, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem54
StepHypRef Expression
1 stoweidlem54.3 . . 3  |-  F/ y
ph
2 nfv 1626 . . 3  |-  F/ y E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
3 stoweidlem54.18 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
4 stoweidlem54.1 . . . . 5  |-  F/ i
ph
5 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ i  y : ( 1 ... M ) --> Y
6 nfra1 2724 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
75, 6nfan 1842 . . . . 5  |-  F/ i ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
84, 7nfan 1842 . . . 4  |-  F/ i ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
9 stoweidlem54.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
10 nfcv 2548 . . . . . . 7  |-  F/_ t
y
11 nfcv 2548 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( 1 ... M
)
12 stoweidlem54.6 . . . . . . . 8  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
13 nfra1 2724 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
14 nfcv 2548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t A
1513, 14nfrab 2857 . . . . . . . 8  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
1612, 15nfcxfr 2545 . . . . . . 7  |-  F/_ t Y
1710, 11, 16nff 5556 . . . . . 6  |-  F/ t  y : ( 1 ... M ) --> Y
18 nfra1 2724 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )
19 nfra1 2724 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )
2018, 19nfan 1842 . . . . . . 7  |-  F/ t ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
2111, 20nfral 2727 . . . . . 6  |-  F/ t A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
2217, 21nfan 1842 . . . . 5  |-  F/ t ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
239, 22nfan 1842 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
24 stoweidlem54.4 . . . . 5  |-  F/ w ph
25 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ w
( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
2624, 25nfan 1842 . . . 4  |-  F/ w
( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
27 stoweidlem54.10 . . . . 5  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
28 nfrab1 2856 . . . . 5  |-  F/_ w { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
2927, 28nfcxfr 2545 . . . 4  |-  F/_ w V
30 stoweidlem54.7 . . . 4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
31 eqid 2412 . . . 4  |-  (  seq  1 ( P , 
y ) `  M
)  =  (  seq  1 ( P , 
y ) `  M
)
32 stoweidlem54.8 . . . 4  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) )
33 stoweidlem54.9 . . . 4  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
34 stoweidlem54.13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3534adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
36 stoweidlem54.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
3736adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  W :
( 1 ... M
) --> V )
38 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  y :
( 1 ... M
) --> Y )
39 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
4027rabeq2i 2921 . . . . . 6  |-  ( w  e.  V  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
4140simplbi 447 . . . . 5  |-  ( w  e.  V  ->  w  e.  J )
42 elssuni 4011 . . . . . 6  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
43 stoweidlem54.5 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
4442, 43syl6sseqr 3363 . . . . 5  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  T )
4539, 41, 443syl 19 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
46 stoweidlem54.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
4746adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  D  C_  U. ran  W )
48 stoweidlem54.17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
4948adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  D  C_  T
)
50 stoweidlem54.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
5150adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  B  C_  T
)
52 r19.26 2806 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M
) )  <  (
( y `  i
) `  t )
) )
5352simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
) )
5453ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
5554r19.21bi 2772 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
5652simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... M ) A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
5756ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M
) )  <  (
( y `  i
) `  t )
)
5857r19.21bi 2772 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( y `  i ) `  t
) )
59 stoweidlem54.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
60593adant1r 1177 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
61 stoweidlem54.12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
6261adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
63 stoweidlem54.19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
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)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
65 stoweidlem54.20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
6665adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
67 stoweidlem54.21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
6867adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
698, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 51, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 68stoweidlem51 27675 . . 3  |-  ( (
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1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
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( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
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701, 2, 3, 69exlimdd 1908 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
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71 df-rex 2680 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
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( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
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7270, 71sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   U.cuni 3983   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ran crn 4846   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   3c3 10014   RR+crp 10576   ...cfz 11007    seq cseq 11286
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346
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