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Theorem stoweidlem55 27804
Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem55.1  |-  F/_ t U
stoweidlem55.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem55.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem55.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem55.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem55.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem55.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem55.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem55.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem55.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem55.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem55.14  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem55.15  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
Assertion
Ref Expression
stoweidlem55  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, A, g, q, t    x, f, h, q, t, T    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    A, h, x    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    x, r, T    U, r, x    ph, r, x    t, K    x, w, Q    w, U    ph, w    x, Z
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
32ancli 534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  0  e.  RR ) )
4 stoweidlem55.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
54stoweidlem4 27753 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
63, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A
)
76adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
8 stoweidlem55.2 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
9 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t T
10 stoweidlem55.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t U
119, 10nfdif 3297 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( T  \  U
)
12 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ t (/)
1311, 12nfeq 2426 . . . . . . 7  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
148, 13nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )
15 leid 8916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <_  0 )
161, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
17 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
1817jctr 526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  ->  (
t  e.  T  /\  0  e.  CC )
)
19 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  0 )  =  ( t  e.  T  |->  0 )
2019fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  =  0 )
2118, 20syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  =  0 )
2221eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  ->  0  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) )
2316, 22syl5breq 4058 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
25 0le1 9297 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2622, 25syl6eqbrr 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2726adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2824, 27jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 ) )
2928ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1
) ) )
3014, 29ralrimi 2624 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) )
31 stoweidlem55.13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
32 stoweidlem55.12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
3331, 32jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  U  /\  U  e.  J
) )
34 elunii 3832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
35 stoweidlem55.5 . . . . . . . . 9  |-  T  = 
U. J
3634, 35syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  T )
3733, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
38 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  0  =  0 )
39 elex 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  CC  ->  0  e.  _V )
4017, 39ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
4138, 19, 40fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0 )
4237, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 )
4342adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0 )
4413rzalf 27688 . . . . . 6  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) )
4544adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
4630, 43, 453jca 1132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) ) )
477, 46jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) ) ) )
48 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t
p
49 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  0 )
5048, 49nfeq 2426 . . . . . 6  |-  F/ t  p  =  ( t  e.  T  |->  0 )
51 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
5251breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <_  (
p `  t )  <->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5351breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  t )  <_  1  <->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) )
5452, 53anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) ) )
5550, 54ralbid 2561 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) ) )
56 fveq1 5524 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z ) )
5756eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 ) )
5851breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <  (
p `  t )  <->  0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5950, 58ralbid 2561 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )  <->  A. t  e.  ( T 
\  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
6055, 57, 593anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) ) ) )
6160rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
6247, 61syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
6313nfn 1765 . . . 4  |-  F/ t  -.  ( T  \  U )  =  (/)
648, 63nfan 1771 . . 3  |-  F/ t ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
65 stoweidlem55.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
66 stoweidlem55.14 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
67 stoweidlem55.15 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
68 stoweidlem55.6 . . 3  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
69 stoweidlem55.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
7069adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  J  e. 
Comp )
71 stoweidlem55.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
7271adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A  C_  C )
73 simp1l 979 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
74 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
75 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
7673, 74, 753jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
77 stoweidlem55.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
7876, 77syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
79 stoweidlem55.9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
8076, 79syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
81 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
82 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
8381, 82jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ph  /\  x  e.  RR ) )
8483, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
85 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ph )
86 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )
8785, 86jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) ) )
88 stoweidlem55.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
8987, 88syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
9032adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U  e.  J )
91 df-ne 2448 . . . . 5  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
9291biimpri 197 . . . 4  |-  ( -.  ( T  \  U
)  =  (/)  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
9392adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  =/=  (/) )
9431adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  Z  e.  U )
9510, 64, 65, 66, 67, 35, 68, 70, 72, 78, 80, 84, 89, 90, 93, 94stoweidlem53 27802 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
9662, 95pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   topGenctg 13342    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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