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Theorem stoweidlem56 27781
Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here  Z is used to represent t0 in the paper,  v is used to represent  V in the paper, and  e is used to represent ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem56.1  |-  F/_ t U
stoweidlem56.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem56.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem56.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem56.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem56.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem56.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem56.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
stoweidlem56.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem56.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem56.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem56  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, t, A    v,
e, x, t, A   
y, e, f, t, A    g, J, t    T, e, f, g, t    U, e, f, g    e, Z, f, g, t    ph, e,
f, g    f, q,
g, t, A, r   
y, q, T    U, q, y    Z, q, y    ph, q, y, r    T, r    U, r    ph, r    t, K    v, J    v, T, x    v, U, x   
v, Z
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)    U( t)    J( x, y, e, f, r, q)    K( x, y, v, e, f, g, r, q)    Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56
Dummy variables  d  p  h  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem56.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
2 stoweidlem56.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem56.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem56.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
5 stoweidlem56.5 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem56.6 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
7 stoweidlem56.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
8 stoweidlem56.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9 stoweidlem56.9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
10 stoweidlem56.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
11 stoweidlem56.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
12 stoweidlem56.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
13 stoweidlem56.13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
14 eqid 2436 . . . . 5  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  =  {
h  e.  A  | 
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) ) }
15 eqid 2436 . . . . 5  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  =  {
w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem55 27780 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
17 df-rex 2711 . . . 4  |-  ( E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
1816, 17sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
19 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  ph )
20 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  p  e.  A )
21 simprr3 1007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `  t ) )
22 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  p  e.  A
23 nfra1 2756 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `
 t )
242, 22, 23nf3an 1849 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
2543ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  J  e.  Comp )
267sselda 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  C )
2726, 6syl6eleq 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
28273adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
29 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
30123ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  U  e.  J )
311, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30stoweidlem28 27753 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
3219, 20, 21, 31syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
33 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
34 simpr2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  <  1
)
35 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  p  e.  A
)
36 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
38 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
3938adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
40 simpr3 965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
4137, 39, 403jca 1134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) )
4235, 41jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) ) )
4333, 34, 423jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4443ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )  -> 
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4544eximdv 1632 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4632, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4746ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4847eximdv 1632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )  ->  E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4918, 48mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. p E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
50 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  e.  RR+
51 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  <  1
52 nfra1 2756 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )
53 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( p `  Z
)  =  0
54 nfra1 2756 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t )
5552, 53, 54nf3an 1849 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)
5622, 55nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ t ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) )
5750, 51, 56nf3an 1849 . . . . . 6  |-  F/ t ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )
582, 57nfan 1846 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
59 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ t
p
60 eqid 2436 . . . . 5  |-  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  ( d  / 
2 ) }  =  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  (
d  /  2 ) }
617adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A  C_  C
)
6283adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6393adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6410adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
65 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
66 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  <  1
)
6712adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  U  e.  J
)
6813adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  Z  e.  U
)
69 simpr3l 1018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  p  e.  A
)
70 simp3r1 1065 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
7170adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
72 simp3r2 1066 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
7372adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
74 simp3r3 1067 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
7574adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
761, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75stoweidlem52 27777 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
7776ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7877exlimdvv 1647 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7949, 78mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2559    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   topGenctg 13665    Cn ccn 17288   Compccmp 17449
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352
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