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Theorem stoweidlem57 27784
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1  |-  F/_ t D
stoweidlem57.2  |-  F/_ t U
stoweidlem57.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem57.4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem57.5  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem57.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem57.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem57.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem57.9  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem57.10  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem57.11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem57.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem57.15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem57.16  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.17  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.18  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
stoweidlem57.19  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem57.20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem57.21  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
f, t    q, a,
r, f, t, A    A, e, f, t    D, a, e, f    T, a, e, f, t    U, a, e, f    ph, a,
e, f    e, g, h, f, t, A    w, e, h, t, A    e, E, f, g, h, t   
g, r, h, A   
x, f, g, h, t, A    B, f,
g, r    f, V, g, r    f, Y, g, r    g, q, D    D, h, r    g, J, h, t    T, g, h, r    U, g, h, r    ph, g, h, r    w, r, E    A, q    D, q    T, q    U, q    ph, q    w, D    w, B    t, K    ph, w    w, J    w, T    w, U    w, Y    x, B    x, D    x, E    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    B( t, e, h, q, a)    C( x, w, t, e, f, g, h, r, q, a)    D( t)    U( x, t)    E( q, a)    J( x, e, f, r, q, a)    K( x, w, e, f, g, h, r, q, a)    V( x, w, t, e, h, q, a)    Y( x, t, e, h, q, a)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables  s  m  i  v  y  u  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t D
43nfcri 2568 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  s  e.  D
52, 4nfan 1847 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  D )
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
87adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U. J
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1211adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  A  C_  C )
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
14133adant1r 1178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
16153adant1r 1178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
1817adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
2019adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( T  \  B
)
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
23 cmptop 17460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
249iscld 17093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T 
\  B )  e.  J ) ) )
257, 23, 243syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B )  e.  J ) ) )
2622, 25mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B
)  e.  J ) )
2726simprd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  \  B
)  e.  J )
2821, 27syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2928adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  U  e.  J )
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
319cldss 17095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  T
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
3332sselda 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  T )
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
35 disjr 3671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  <->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
3634, 35sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
3736r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  -.  s  e.  B )
3833, 37eldifd 3333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  ( T  \  B
) )
3938, 21syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U )
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 27783 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w  e.  J  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
41 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  J )
42 simprll 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
s  e.  w )
43 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) )
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
4544rabeq2i 2955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  V  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
4641, 43, 45sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  V )
4741, 42, 46jca32 523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
( w  e.  J  /\  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) ) )
4847reximi2 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
49 rexex 2767 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  V ) )
5040, 48, 493syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
51 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
s
52 nfrab1 2890 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
5344, 52nfcxfr 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w V
5451, 53elunif 27665 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  U. V  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
5550, 54sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U. V )
5655ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  D  ->  s  e.  U. V
) )
5756ssrdv 3356 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. V )
58 cmpcld 17467 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  D  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
597, 30, 58syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
607, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
619cmpsub 17465 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  D  C_  T )  -> 
( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
6260, 32, 61syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
6359, 62mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) )
64 ssrab2 3430 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  C_  J
6544, 64eqsstri 3380 . . . . . . 7  |-  V  C_  J
6622elfvexd 5761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
67 rabexg 4355 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  _V  ->  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  e.  _V )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }  e.  _V )
6944, 68syl5eqel 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
70 elpwg 3808 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  ~P J  <->  V 
C_  J ) )
7169, 70syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P J 
<->  V  C_  J )
)
7265, 71mpbiri 226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P J
)
73 unieq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  U. k  =  U. V )
7473sseq2d 3378 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( D  C_  U. k  <->  D  C_  U. V
) )
75 pweq 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  V  ->  ~P k  =  ~P V
)
7675ineq1d 3543 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  ( ~P k  i^i  Fin )  =  ( ~P V  i^i  Fin ) )
7776rexeqdv 2913 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
7874, 77imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( k  =  V  ->  (
( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)  <->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) ) )
7978rspccva 3053 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u )  /\  V  e.  ~P J )  -> 
( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
8063, 72, 79syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
8157, 80mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)
82 elin 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( u  e.  ~P V  /\  u  e.  Fin ) )
8382simplbi 448 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P V )
84 elpwi 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ~P V  ->  u  C_  V )
8584ssdifssd 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  C_  V
)
86 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
87 difexg 4353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  _V )
8886, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
\  { (/) } )  e.  _V
8988elpw 3807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { (/) } )  e.  ~P V  <->  ( u  \  { (/) } )  C_  V )
9085, 89sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  e.  ~P V )
9183, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ~P V )
9282simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
93 diffi 7341 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
9492, 93syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
95 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( ( u  \  { (/)
} )  e.  ~P V  /\  ( u  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
9691, 94, 95sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
97963ad2ant2 980 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  ( u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
98 unidif0 4374 . . . . . . . . 9  |-  U. (
u  \  { (/) } )  =  U. u
9998sseq2i 3375 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  U. ( u  \  { (/) } )  <->  D  C_  U. u
)
10099biimpri 199 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  U. u  ->  D  C_ 
U. ( u  \  { (/) } ) )
1011003ad2ant3 981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  D  C_  U. (
u  \  { (/) } ) )
102 eldifsni 3930 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( u  \  { (/) } )  ->  w  =/=  (/) )
103102rgen 2773 . . . . . . 7  |-  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/)
104103a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) )
105 unieq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  ->  U. r  =  U. ( u  \  { (/) } ) )
106105sseq2d 3378 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( D  C_  U. r  <->  D 
C_  U. ( u  \  { (/) } ) ) )
107 raleq 2906 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( A. w  e.  r  w  =/=  (/)  <->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) ) )
108106, 107anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  <->  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) ) )
109108rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  \  { (/)
} )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) )  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
11097, 101, 104, 109syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
111110rexlimdv3a 2834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) ) )
11281, 111mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
113 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ h ph
114 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h RR+
115 nfre1 2764 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
116114, 115nfral 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
)
117 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h J
118116, 117nfrab 2891 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
11944, 118nfcxfr 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h V
120119nfpw 3812 . . . . . . . 8  |-  F/_ h ~P V
121 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ h Fin
122120, 121nfin 3549 . . . . . . 7  |-  F/_ h
( ~P V  i^i  Fin )
123122nfcri 2568 . . . . . 6  |-  F/ h  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
124 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ h
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
125113, 123, 124nf3an 1850 . . . . 5  |-  F/ h
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
126 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t RR+
127 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t A
128 nfra1 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
129 nfra1 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  w  ( h `  t
)  <  e
130 nfra1 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t )
131128, 129, 130nf3an 1850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
132127, 131nfrex 2763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
133126, 132nfral 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
134 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t J
135133, 134nfrab 2891 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
13644, 135nfcxfr 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t V
137136nfpw 3812 . . . . . . . 8  |-  F/_ t ~P V
138 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Fin
139137, 138nfin 3549 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ~P V  i^i  Fin )
140139nfcri 2568 . . . . . 6  |-  F/ t  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
141 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ t U. r
1423, 141nfss 3343 . . . . . . 7  |-  F/ t  D  C_  U. r
143 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ t A. w  e.  r  w  =/=  (/)
144142, 143nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ t ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
1452, 140, 144nf3an 1850 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
146 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ w ph
14753nfpw 3812 . . . . . . . 8  |-  F/_ w ~P V
148 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ w Fin
149147, 148nfin 3549 . . . . . . 7  |-  F/_ w
( ~P V  i^i  Fin )
150149nfcri 2568 . . . . . 6  |-  F/ w  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
151 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ w  D  C_  U. r
152 nfra1 2758 . . . . . . 7  |-  F/ w A. w  e.  r  w  =/=  (/)
153151, 152nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ w
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
154146, 150, 153nf3an 1850 . . . . 5  |-  F/ w
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
155 stoweidlem57.4 . . . . 5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
156 simp2 959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
157 simp3l 986 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  C_ 
U. r )
158 stoweidlem57.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
1591583ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  =/=  (/) )
160 stoweidlem57.20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1611603ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E  e.  RR+ )
16226simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
1631623ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  B  C_  T )
164693ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  V  e.  _V )
165 retop 18797 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
1666, 165eqeltri 2508 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
167 cnfex 27677 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
16860, 166, 167sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
16911, 10syl6sseq 3396 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
170168, 169ssexd 4352 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
1711703ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  A  e.  _V )
172125, 145, 154, 21, 155, 44, 156, 157, 159, 161, 163, 164, 171stoweidlem39 27766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
173172rexlimdv3a 2834 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
174112, 173mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> V  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
175 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  m  e.  NN )
176 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ i  v : ( 1 ... m ) --> V
177 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ i  D  C_  U. ran  v
178 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  y : ( 1 ... m ) --> Y
179 nfra1 2758 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
180178, 179nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
181180nfex 1866 . . . . . . . 8  |-  F/ i E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
182176, 177, 181nf3an 1850 . . . . . . 7  |-  F/ i ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
183175, 182nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
184 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ t  m  e.  NN
1852, 184nfan 1847 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
186 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
v
187 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
188186, 187, 136nff 5591 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) --> V
189 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t U. ran  v
1903, 189nfss 3343 . . . . . . . 8  |-  F/ t  D  C_  U. ran  v
191 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
y
192128, 127nfrab 2891 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
193155, 192nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t Y
194191, 187, 193nff 5591 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  y : ( 1 ... m ) --> Y
195 nfra1 2758 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )
196 nfra1 2758 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )
197195, 196nfan 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
198187, 197nfral 2761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
199194, 198nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
200199nfex 1866 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
201188, 190, 200nf3an 1850 . . . . . . 7  |-  F/ t ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
202185, 201nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
203 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  m  e.  NN )
204 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ y  v : ( 1 ... m ) --> V
205 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ y  D  C_  U. ran  v
206 nfe1 1748 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
207204, 205, 206nf3an 1850 . . . . . . 7  |-  F/ y ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
208203, 207nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
209 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
210 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
v
211 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
( 1 ... m
)
212210, 211, 53nff 5591 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) --> V
213 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ w  D  C_  U. ran  v
214 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ w E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
215212, 213, 214nf3an 1850 . . . . . . 7  |-  F/ w
( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
216209, 215nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
217 eqid 2438 . . . . . 6  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
218 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )  =  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )
219 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )
220 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m
)  |->  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) `
 t ) ) `
 m ) )  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) ) `  t ) ) `  m ) )
221 simp1ll 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
222221, 15syld3an1 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
223 simplll 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
22411sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
2256, 9, 10, 224fcnre 27674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
226223, 225sylancom 650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
227 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
228 simpr1 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  v : ( 1 ... m ) --> V )
2299cldss 17095 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
23022, 229syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
231230ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  B  C_  T )
232 simpr2 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
23332ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_  T )
234 feq3 5580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  ->  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <-> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } ) )
235155, 234ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <->  y :
( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } )
236235biimpi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  -> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
237236anim1i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  ( y : ( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
238237eximi 1586 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
2392383ad2ant3 981 . . . . . . 7  |-  ( ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. y
( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
240239adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  E. y
( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
241 uniexg 4708 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2427, 241syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
2439, 242syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
244243ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
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 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
245160ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
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) )
248183, 202, 208, 216, 9, 217, 218, 219, 220, 44, 222, 226, 227, 228, 231, 232, 233, 240, 244, 245, 247stoweidlem54 27781 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
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( x `  t
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( x `  t
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( x `  t
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   Fincfn 7111   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   3c3 10052   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   ...cfz 11045    seq cseq 11325   ↾t crest 13650   topGenctg 13667   Topctop 16960   Clsdccld 17082    Cn ccn 17290   Compccmp 17451
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  27785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
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