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Theorem stoweidlem57 27218
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1  |-  F/_ t D
stoweidlem57.2  |-  F/_ t U
stoweidlem57.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem57.4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem57.5  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem57.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem57.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem57.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem57.9  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem57.10  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem57.11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem57.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem57.15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem57.16  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.17  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.18  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
stoweidlem57.19  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem57.20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem57.21  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
f, t    q, a,
r, f, t, A    A, e, f, t    D, a, e, f    T, a, e, f, t    U, a, e, f    ph, a,
e, f    e, g, h, f, t, A    w, e, h, t, A    e, E, f, g, h, t   
g, r, h, A   
x, f, g, h, t, A    B, f,
g, r    f, V, g, r    f, Y, g, r    g, q, D    D, h, r    g, J, h, t    T, g, h, r    U, g, h, r    ph, g, h, r    w, r, E    A, q    D, q    T, q    U, q    ph, q    w, D    w, B    t, K    ph, w    w, J    w, T    w, U    w, Y    x, B    x, D    x, E    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    B( t, e, h, q, a)    C( x, w, t, e, f, g, h, r, q, a)    D( t)    U( x, t)    E( q, a)    J( x, e, f, r, q, a)    K( x, w, e, f, g, h, r, q, a)    V( x, w, t, e, h, q, a)    Y( x, t, e, h, q, a)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables  s  m  i  v  y  u  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t U
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
3 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
s
4 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t D
53, 4nfel 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  s  e.  D
62, 5nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  D )
7 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
8 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
98adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  J  e.  Comp )
10 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . . 11  |-  T  = 
U. J
11 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
12 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  A  C_  C )
14 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
15 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
16 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
1714, 15, 163jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
18 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
20 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2117, 20syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  a  e.  RR )  ->  ph )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
2422, 23jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR ) )
25 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
27 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ph )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )
2927, 28jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) ) )
30 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
32 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
33 cmptop 17122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
3410iscld 16764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T 
\  B )  e.  J ) ) )
358, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B )  e.  J ) ) )
3632, 35mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B
)  e.  J ) )
3736simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  \  B
)  e.  J )
38 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  =  ( T  \  B
)
3938eleq1i 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  J  <->  ( T  \  B )  e.  J
)
4037, 39sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  U  e.  J )
42 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
4310cldss 16766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  T
)
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
4544, 10syl6sseq 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  C_  U. J )
4645sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( s  e.  D  ->  s  e.  U. J
) )
4746imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U. J )
4847, 10syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  T )
49 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
50 disjr 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  <->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
5251r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  -.  s  e.  B )
5348, 52jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  (
s  e.  T  /\  -.  s  e.  B
) )
54 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( T  \  B )  <->  ( s  e.  T  /\  -.  s  e.  B ) )
5553, 54sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  ( T  \  B
) )
5655, 38syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U )
5756ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( s  e.  D  ->  s  e.  U ) )
5857imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U )
591, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 19, 21, 26, 31, 41, 58stoweidlem56 27217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w  e.  J  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
60 df-rex 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  J  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) )  <->  E. w ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) ) )
61 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  J )
62 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
s  e.  w )
63 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) )
6461, 63jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) ) )
65 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
6665eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  V  <->  w  e.  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) } )
67 rabid 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
6866, 67bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  V  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
6964, 68sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  V )
7062, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
7161, 70jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
( w  e.  J  /\  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) ) )
7271eximi 1563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  E. w ( w  e.  J  /\  ( s  e.  w  /\  w  e.  V ) ) )
73 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V )  <->  E. w ( w  e.  J  /\  ( s  e.  w  /\  w  e.  V ) ) )
7472, 73sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
7560, 74sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  J  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
7659, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V ) )
77 rexex 2602 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  V ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
79 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
s
80 nfrab1 2720 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
8165, 80nfcxfr 2416 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w V
8279, 81elunif 27099 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  U. V  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
8378, 82sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U. V )
8483ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  D  ->  s  e.  U. V
) )
8584ssrdv 3185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. V )
868, 42jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Comp  /\  D  e.  ( Clsd `  J ) ) )
87 cmpcld 17129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  D  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
8886, 87syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
898, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
9089, 44jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  D  C_  T )
)
9110cmpsub 17127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  D  C_  T )  -> 
( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
9388, 92mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) )
94 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  C_  J
9565, 94eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  V  C_  J
96 elex 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
_V )
978, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
98 rabexg 4164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  _V  ->  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  e.  _V )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }  e.  _V )
10065, 99syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
101 elpwg 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  ~P J  <->  V 
C_  J ) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P J 
<->  V  C_  J )
)
10395, 102mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P J
)
10493, 103jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
~P  J ( D 
C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u )  /\  V  e.  ~P J ) )
105 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  U. k  =  U. V )
106105sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( D  C_  U. k  <->  D  C_  U. V
) )
107 pweq 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  V  ->  ~P k  =  ~P V
)
108107ineq1d 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  V  ->  ( ~P k  i^i  Fin )  =  ( ~P V  i^i  Fin ) )
109108eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  V  ->  (
u  e.  ( ~P k  i^i  Fin )  <->  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ) )
110109anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  (
( u  e.  ( ~P k  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  <->  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u ) ) )
111110rexbidv2 2566 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
112106, 111imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( k  =  V  ->  (
( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)  <->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) ) )
113112rspccva 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u )  /\  V  e.  ~P J )  -> 
( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
114104, 113syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
11585, 114mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)
116 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( u  e.  ~P V  /\  u  e.  Fin ) )
117116simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P V )
118 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u 
\  { (/) } ) 
C_  u
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  C_  u
)
120 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ~P V  ->  u  C_  V )
121119, 120jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( ( u  \  { (/) } )  C_  u  /\  u  C_  V
) )
122 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u  \  { (/)
} )  C_  u  /\  u  C_  V )  ->  ( u  \  { (/) } )  C_  V )
123121, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  C_  V
)
124 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  u  e. 
_V
125 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  _V )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u 
\  { (/) } )  e.  _V
127126elpw 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  \  { (/) } )  e.  ~P V  <->  ( u  \  { (/) } )  C_  V )
128123, 127sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  e.  ~P V )
129117, 128syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ~P V )
130116simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
131 diffi 7089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
133129, 132jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
( u  \  { (/)
} )  e.  ~P V  /\  ( u  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
134 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( ( u  \  { (/)
} )  e.  ~P V  /\  ( u  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
135133, 134sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
1361353ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  ( u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
137 unidif0 4183 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
u  \  { (/) } )  =  U. u
138137sseq2i 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D 
C_  U. ( u  \  { (/) } )  <->  D  C_  U. u
)
139138biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( D 
C_  U. u  ->  D  C_ 
U. ( u  \  { (/) } ) )
1401393ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  D  C_  U. (
u  \  { (/) } ) )
141 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( u  \  { (/) } )  ->  w  =/=  (/) )
142141rgen 2608 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/)
143142a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) )
144140, 143jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  ( D  C_ 
U. ( u  \  { (/) } )  /\  A. w  e.  ( u 
\  { (/) } ) w  =/=  (/) ) )
145136, 144jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  ( (
u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. ( u 
\  { (/) } )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) ) ) )
146 unieq 3836 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  ->  U. r  =  U. ( u  \  { (/) } ) )
147146sseq2d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( D  C_  U. r  <->  D 
C_  U. ( u  \  { (/) } ) ) )
148 raleq 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( A. w  e.  r  w  =/=  (/)  <->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) ) )
149147, 148anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  <->  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) ) )
150149rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  \  { (/)
} )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) )  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
151145, 150syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
1521513exp 1150 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  ( D  C_  U. u  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) ) ) )
153152rexlimdv 2666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) ) )
154115, 153mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
155 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ h ph
156 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ h
r
157 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h RR+
158 nfre1 2599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ h E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
159157, 158nfral 2596 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
)
160 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h J
161159, 160nfrab 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
16265, 161nfcxfr 2416 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h V
163162nfpw 3636 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h ~P V
164 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h Fin
165163, 164nfin 3375 . . . . . . . 8  |-  F/_ h
( ~P V  i^i  Fin )
166156, 165nfel 2427 . . . . . . 7  |-  F/ h  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
167 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ h
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
168155, 166, 167nf3an 1774 . . . . . 6  |-  F/ h
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
169 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
r
170 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t RR+
171 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t A
172 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
173 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t A. t  e.  w  ( h `  t
)  <  e
174 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t )
175172, 173, 174nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
176171, 175nfrex 2598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
177170, 176nfral 2596 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
178 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t J
179177, 178nfrab 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
18065, 179nfcxfr 2416 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t V
181180nfpw 3636 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t ~P V
182 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t Fin
183181, 182nfin 3375 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ~P V  i^i  Fin )
184169, 183nfel 2427 . . . . . . 7  |-  F/ t  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
185 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t U. r
1864, 185nfss 3173 . . . . . . . 8  |-  F/ t  D  C_  U. r
187 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. w  e.  r  w  =/=  (/)
188186, 187nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ t ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
1892, 184, 188nf3an 1774 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
190 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ w ph
191 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ w
r
19281nfpw 3636 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w ~P V
193 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w Fin
194192, 193nfin 3375 . . . . . . . 8  |-  F/_ w
( ~P V  i^i  Fin )
195191, 194nfel 2427 . . . . . . 7  |-  F/ w  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
196 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ w  D  C_  U. r
197 nfra1 2593 . . . . . . . 8  |-  F/ w A. w  e.  r  w  =/=  (/)
198196, 197nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ w
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
199190, 195, 198nf3an 1774 . . . . . 6  |-  F/ w
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
200 stoweidlem57.4 . . . . . 6  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
201 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
202 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  C_ 
U. r )
203 stoweidlem57.19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
2042033ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  =/=  (/) )
205 stoweidlem57.20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2062053ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E  e.  RR+ )
207 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  ph )
20836simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
209207, 208syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  B  C_  T )
2101003ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  V  e.  _V )
21112, 11syl6sseq 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
212 retop 18270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2137, 212eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e. 
Top
214213a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
21589, 214jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )
)
216 cnfex 27111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
217215, 216syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
218211, 217jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
)
219 ssexg 4160 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  ( J  Cn  K )  e. 
_V )  ->  A  e.  _V )
220218, 219syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
221207, 220syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  A  e.  _V )
222168, 189, 199, 38, 200, 65, 201, 202, 204, 206, 209, 210, 221stoweidlem39 27200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
2232223exp 1150 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  ( ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) ) ) )
224223rexlimdv 2666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
225154, 224mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> V  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
226 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  m  e.  NN )
227 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  v : ( 1 ... m ) --> V
228 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  D  C_  U. ran  v
229 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  y : ( 1 ... m ) --> Y
230 nfra1 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
231229, 230nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
232231nfex 1767 . . . . . . . . 9  |-  F/ i E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
233227, 228, 232nf3an 1774 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
234226, 233nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
235 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
2362, 235nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
237 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
v
238 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
239237, 238, 180nff 5387 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) --> V
240 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U. ran  v
2414, 240nfss 3173 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  D  C_  U. ran  v
242 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
y
243172, 171nfrab 2721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
244200, 243nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t Y
245242, 238, 244nff 5387 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y : ( 1 ... m ) --> Y
246 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )
247 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )
248246, 247nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
249238, 248nfral 2596 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
250245, 249nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
251250nfex 1767 . . . . . . . . 9  |-  F/ t E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
252239, 241, 251nf3an 1774 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
253236, 252nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
254 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ph  /\  m  e.  NN )
255 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  v : ( 1 ... m ) --> V
256 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  D  C_  U. ran  v
257 nfe1 1706 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
258255, 256, 257nf3an 1774 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
259254, 258nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
260 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
261 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w
v
262 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w
( 1 ... m
)
263261, 262, 81nff 5387 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) --> V
264 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  D  C_  U. ran  v
265 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ w E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
266263, 264, 265nf3an 1774 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
267260, 266nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
268 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
269 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )  =  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )
270 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )
271 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m
)  |->  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) `
 t ) ) `
 m ) )  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) ) `  t ) ) `  m ) )
272 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  =  {
w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }
273 simp1ll 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
274 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
275 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
276273, 274, 2753jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
277276, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
278 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
279 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
280278, 279jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
28112adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  A  C_  C )
282 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
283 ssel 3174 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  C  ->  (
f  e.  A  -> 
f  e.  C ) )
284281, 282, 283sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
2857, 10, 11, 284fcnre 27108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
286280, 285syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
287 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
288 simpr1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  v : ( 1 ... m ) --> V )
289 feq3 5377 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  ->  (
v : ( 1 ... m ) --> V  <-> 
v : ( 1 ... m ) --> { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) } ) )
29065, 289ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( v : ( 1 ... m ) --> V  <->  v :
( 1 ... m
) --> { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) } )
291290biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) --> V  -> 
v : ( 1 ... m ) --> { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) } )
292288, 291syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  v : ( 1 ... m ) --> { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) } )
29310cldss 16766 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
29432, 293syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
295294ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  B  C_  T )
296 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
29744ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_  T )
298 feq3 5377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  ->  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <-> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } ) )
299200, 298ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <->  y :
( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } )
300299biimpi 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  -> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
301300adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
302 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
303301, 302jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  ( y : ( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
304303eximi 1563 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
3053043ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. y
( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
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( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
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) ( A. t  e.  ( v `  i
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v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
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( x `  t
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( x `  t
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   3c3 9796   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ↾t crest 13325   topGenctg 13342   Topctop 16631   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  27219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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