Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem62 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem62 27787
 Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1
stoweidlem62.2
stoweidlem62.3
stoweidlem62.4
stoweidlem62.5
stoweidlem62.6
stoweidlem62.7
stoweidlem62.8
stoweidlem62.9
stoweidlem62.10
stoweidlem62.11
stoweidlem62.12
stoweidlem62.13
stoweidlem62.14
stoweidlem62.15
stoweidlem62.16
stoweidlem62.17
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,,)   (,,)   ()   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5
2 nfmpt1 4298 . . . . 5
31, 2nfcxfr 2569 . . . 4
4 stoweidlem62.3 . . . 4
5 stoweidlem62.5 . . . 4
6 stoweidlem62.7 . . . 4
7 stoweidlem62.6 . . . 4
8 stoweidlem62.16 . . . 4
9 stoweidlem62.8 . . . 4
10 stoweidlem62.9 . . . 4
11 eleq1 2496 . . . . . . 7
12113anbi3d 1260 . . . . . 6
13 fveq1 5727 . . . . . . . . 9
1413oveq2d 6097 . . . . . . . 8
1514mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
1615eleq1d 2502 . . . . . 6
1712, 16imbi12d 312 . . . . 5
18 stoweidlem62.10 . . . . 5
1917, 18chvarv 1969 . . . 4
2013oveq2d 6097 . . . . . . . 8
2120mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
2221eleq1d 2502 . . . . . 6
2312, 22imbi12d 312 . . . . 5
24 stoweidlem62.11 . . . . 5
2523, 24chvarv 1969 . . . 4
26 stoweidlem62.12 . . . 4
27 stoweidlem62.13 . . . 4
28 stoweidlem62.1 . . . . . 6
2928nfrn 5112 . . . . . . 7
30 nfcv 2572 . . . . . . 7
31 nfcv 2572 . . . . . . 7
3229, 30, 31nfsup 7456 . . . . . 6
33 eqid 2436 . . . . . 6
34 cmptop 17458 . . . . . . 7
356, 34syl 16 . . . . . 6
36 stoweidlem62.14 . . . . . 6
3736, 9syl6eleq 2526 . . . . . . . 8
3828, 4, 7, 5, 6, 37, 8stoweidlem29 27754 . . . . . . 7
3938simp2d 970 . . . . . 6
4028, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39stoweidlem47 27772 . . . . 5
411, 40syl5eqel 2520 . . . 4
4238simp3d 971 . . . . . . . . 9
4342r19.21bi 2804 . . . . . . . 8
445, 7, 9, 36fcnre 27672 . . . . . . . . . 10
4544fnvinran 27661 . . . . . . . . 9
4639adantr 452 . . . . . . . . 9
4745, 46subge0d 9616 . . . . . . . 8
4843, 47mpbird 224 . . . . . . 7
49 simpr 448 . . . . . . . 8
5045, 46resubcld 9465 . . . . . . . 8
511fvmpt2 5812 . . . . . . . 8
5249, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . 7
5348, 52breqtrrd 4238 . . . . . 6
5453ex 424 . . . . 5
554, 54ralrimi 2787 . . . 4
56 stoweidlem62.15 . . . . 5
5756rphalfcld 10660 . . . 4
5856rpred 10648 . . . . . 6
5958rehalfcld 10214 . . . . 5
60 3re 10071 . . . . . . 7
61 3ne0 10085 . . . . . . 7
6260, 61rereccli 9779 . . . . . 6
6362a1i 11 . . . . 5
64 rphalflt 10638 . . . . . 6
6556, 64syl 16 . . . . 5
66 stoweidlem62.17 . . . . 5
6759, 58, 63, 65, 66lttrd 9231 . . . 4
683, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67stoweidlem61 27786 . . 3
69 nfra1 2756 . . . . . . 7
704, 69nfan 1846 . . . . . 6
71 rsp 2766 . . . . . . 7
7256rpcnd 10650 . . . . . . . . . 10
73 2cn 10070 . . . . . . . . . . 11
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10
75 2ne0 10083 . . . . . . . . . . 11
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10
7772, 74, 76divcan2d 9792 . . . . . . . . 9
7877breq2d 4224 . . . . . . . 8
7978biimpd 199 . . . . . . 7
8071, 79sylan9r 640 . . . . . 6
8170, 80ralrimi 2787 . . . . 5
8281ex 424 . . . 4
8382reximdv 2817 . . 3
8468, 83mpd 15 . 2
85 nfmpt1 4298 . . 3
86 nfcv 2572 . . 3
87 nfv 1629 . . . . 5
88 nfra1 2756 . . . . 5
8987, 88nfan 1846 . . . 4
904, 89nfan 1846 . . 3
91 eqid 2436 . . 3
96 stoweidlem62.2 . . . . 5
9710sseld 3347 . . . . . . . 8
989eleq2i 2500 . . . . . . . 8
9997, 98syl6ib 218 . . . . . . 7
100 eqid 2436 . . . . . . . 8
101 uniretop 18796 . . . . . . . . 9
1025unieqi 4025 . . . . . . . . 9
103101, 102eqtr4i 2459 . . . . . . . 8
104100, 103cnf 17310 . . . . . . 7
10599, 104syl6 31 . . . . . 6
106 feq2 5577 . . . . . . 7
1077, 106mp1i 12 . . . . . 6
108105, 107sylibrd 226 . . . . 5
10996, 108ralrimi 2787 . . . 4
111 simprl 733 . . 3
11252eqcomd 2441 . . . . . . . . 9
113112oveq2d 6097 . . . . . . . 8
114113fveq2d 5732 . . . . . . 7
115114adantlr 696 . . . . . 6
116 simplrr 738 . . . . . . 7
117 rsp 2766 . . . . . . . 8
118117imp 419 . . . . . . 7
119116, 118sylancom 649 . . . . . 6
120115, 119eqbrtrd 4232 . . . . 5
121120ex 424 . . . 4
12290, 121ralrimi 2787 . . 3
12385, 86, 32, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 110, 111, 122stoweidlem21 27746 . 2
12484, 123rexlimddv 2834 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725  wnfc 2559   wne 2599  wral 2705  wrex 2706   wss 3320  c0 3628  csn 3814  cuni 4015   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  csup 7445  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cneg 9292   cdiv 9677  c2 10049  c3 10050  crp 10612  cioo 10916  cabs 12039  ctg 13665  ctop 16958   ccn 17288  ccmp 17449 This theorem is referenced by:  stoweid  27788 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352
 Copyright terms: Public domain W3C validator