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Theorem stoweidlem62 27787
Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1  |-  F/_ t F
stoweidlem62.2  |-  F/ f
ph
stoweidlem62.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem62.4  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
stoweidlem62.5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem62.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem62.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem62.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem62.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem62.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem62.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem62.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem62.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem62.14  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem62.15  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem62.16  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
stoweidlem62.17  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, q,
r, x, t, A   
f, E, g, t   
f, F, g    f, H, g    f, J, r, t    T, f, g, t    ph, f, g    E, q, r, x    H, q, r, x    T, q, r, x    ph, q,
r, x    t, K    x, F
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( x, t, f, g, r, q)    F( t, r, q)    H( t)    J( x, g, q)    K( x, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2 nfmpt1 4298 . . . . 5  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
31, 2nfcxfr 2569 . . . 4  |-  F/_ t H
4 stoweidlem62.3 . . . 4  |-  F/ t
ph
5 stoweidlem62.5 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
6 stoweidlem62.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
7 stoweidlem62.6 . . . 4  |-  T  = 
U. J
8 stoweidlem62.16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
9 stoweidlem62.8 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
10 stoweidlem62.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
11 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
g  e.  A  <->  h  e.  A ) )
12113anbi3d 1260 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  <->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )
) )
13 fveq1 5727 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  t )  =  ( h `  t ) )
1413oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
( f `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( f `
 t )  +  ( h `  t
) ) )
1514mpteq2dv 4296 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( h `  t ) ) ) )
1615eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( h `
 t ) ) )  e.  A ) )
1712, 16imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( h `  t ) ) )  e.  A
) ) )
18 stoweidlem62.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1917, 18chvarv 1969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( h `  t ) ) )  e.  A )
2013oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( h `  t
) ) )
2120mpteq2dv 4296 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( h `  t ) ) ) )
2221eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( h `
 t ) ) )  e.  A ) )
2312, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
h `  t )
) )  e.  A
) ) )
24 stoweidlem62.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2523, 24chvarv 1969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( h `  t ) ) )  e.  A )
26 stoweidlem62.12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
27 stoweidlem62.13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
28 stoweidlem62.1 . . . . . 6  |-  F/_ t F
2928nfrn 5112 . . . . . . 7  |-  F/_ t ran  F
30 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ t RR
31 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ t `'  <
3229, 30, 31nfsup 7456 . . . . . 6  |-  F/_ t sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )
33 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( T  X.  { -u sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) } )  =  ( T  X.  { -u sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) } )
34 cmptop 17458 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
356, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
36 stoweidlem62.14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
3736, 9syl6eleq 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
3828, 4, 7, 5, 6, 37, 8stoweidlem29 27754 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
3938simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4028, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39stoweidlem47 27772 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  C )
411, 40syl5eqel 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  C )
4238simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
4342r19.21bi 2804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( F `  t
) )
445, 7, 9, 36fcnre 27672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
4544fnvinran 27661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
4639adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4745, 46subge0d 9616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
4843, 47mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
49 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
5045, 46resubcld 9465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )
511fvmpt2 5812 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )  -> 
( H `  t
)  =  ( ( F `  t )  -  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5249, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( F `
 t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5348, 52breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
5453ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  0  <_  ( H `  t ) ) )
554, 54ralrimi 2787 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T 
0  <_  ( H `  t ) )
56 stoweidlem62.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5756rphalfcld 10660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
5856rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
5958rehalfcld 10214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR )
60 3re 10071 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
61 3ne0 10085 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
6260, 61rereccli 9779 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
64 rphalflt 10638 . . . . . 6  |-  ( E  e.  RR+  ->  ( E  /  2 )  < 
E )
6556, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  <  E )
66 stoweidlem62.17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
6759, 58, 63, 65, 66lttrd 9231 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  <  ( 1  /  3 ) )
683, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67stoweidlem61 27786 . . 3  |-  ( ph  ->  E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  /  2
) ) )
69 nfra1 2756 . . . . . . 7  |-  F/ t A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  /  2
) )
704, 69nfan 1846 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )
71 rsp 2766 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) ) )
7256rpcnd 10650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
73 2cn 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
75 2ne0 10083 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7772, 74, 76divcan2d 9792 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( E  /  2 ) )  =  E )
7877breq2d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  <->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )
7978biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  E ) )
8071, 79sylan9r 640 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )
8170, 80ralrimi 2787 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
)
8281ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )
8382reximdv 2817 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  ->  E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )
8468, 83mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E )
85 nfmpt1 4298 . . 3  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  +  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
86 nfcv 2572 . . 3  |-  F/_ t
h
87 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ t  h  e.  A
88 nfra1 2756 . . . . 5  |-  F/ t A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E
8987, 88nfan 1846 . . . 4  |-  F/ t ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E )
904, 89nfan 1846 . . 3  |-  F/ t ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )
91 eqid 2436 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  +  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `
 t )  +  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
9244adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  F : T --> RR )
9339adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
94183adant1r 1177 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9526adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
96 stoweidlem62.2 . . . . 5  |-  F/ f
ph
9710sseld 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f  e.  C ) )
989eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  C  <->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9997, 98syl6ib 218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) ) )
100 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
101 uniretop 18796 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1025unieqi 4025 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
103101, 102eqtr4i 2459 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. K
104100, 103cnf 17310 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  f : U. J --> RR )
10599, 104syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f : U. J --> RR ) )
106 feq2 5577 . . . . . . 7  |-  ( T  =  U. J  -> 
( f : T --> RR 
<->  f : U. J --> RR ) )
1077, 106mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f : T --> RR 
<->  f : U. J --> RR ) )
108105, 107sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f : T --> RR ) )
10996, 108ralrimi 2787 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  f : T --> RR )
110109adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  A. f  e.  A  f : T
--> RR )
111 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  h  e.  A )
11252eqcomd 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( H `  t
) )
113112oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( h `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )
114113fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) ) )
115114adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) ) )
116 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
)
117 rsp 2766 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  E ) )
118117imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E
)
119116, 118sylancom 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
)
120115, 119eqbrtrd 4232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  E )
121120ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  (
t  e.  T  -> 
( abs `  (
( h `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  E ) )
12290, 121ralrimi 2787 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  E )
12385, 86, 32, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 110, 111, 122stoweidlem21 27746 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  E
)
12484, 123rexlimddv 2834 1  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2559    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   2c2 10049   3c3 10050   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   abscabs 12039   topGenctg 13665   Topctop 16958    Cn ccn 17288   Compccmp 17449
This theorem is referenced by:  stoweid  27788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352
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