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Theorem stoweidlem7 27756
Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on  T  \  U, and qn > 1 - ε on  V. Here it is proven that, for  n large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable  A is used to represent (k*δ) in the paper, and  B is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1  |-  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )
stoweidlem7.2  |-  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )
stoweidlem7.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
stoweidlem7.4  |-  ( ph  ->  1  <  A )
stoweidlem7.5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
stoweidlem7.6  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
stoweidlem7.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
Distinct variable groups:    i, n, A    B, i, n    i, E, n    ph, i, n   
n, F    n, G
Allowed substitution hints:    F( i)    G( i)

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 stoweidlem7.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5 stoweidlem7.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  ( B ^ i )  =  ( B ^ k
) )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  i  =  k )  -> 
( B ^ i
)  =  ( B ^ k ) )
9 nnnn0 9972 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
109adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
11 stoweidlem7.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
12 rpcn 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1413adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
1514, 10jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 ) )
16 expcl 11121 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  CC )
1715, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
186, 8, 10, 17fvmptd 5606 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( B ^ k
) )
19 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
20 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
21 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
2220, 21pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )
23 ltneg 9274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  -u 0
) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  -u 0 )
2519, 24mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  <  -u 0
26 neg0 9093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 0  =  0
2725, 26breqtri 4046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <  0
2827a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  0
)
29 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  0  < 
B )
3011, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  B )
3128, 30jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u 1  <  0  /\  0  < 
B ) )
3221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 renegcl 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  -u 1  e.  RR )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
3520a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
36 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3711, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3834, 35, 373jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
39 lttr 8899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u 1  <  0  /\  0  < 
B )  ->  -u 1  <  B ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  <  0  /\  0  < 
B )  ->  -u 1  <  B ) )
4131, 40mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  B
)
42 stoweidlem7.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
4341, 42jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  < 
B  /\  B  <  1 ) )
4437, 32jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
45 abslt 11798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  B
)  <  1  <->  ( -u 1  <  B  /\  B  <  1 ) ) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  <  1  <->  ( -u 1  <  B  /\  B  <  1 ) ) )
4743, 46mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <  1 )
4813, 47expcnv 12322 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )  ~~>  0 )
495, 48syl5eqbr 4056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
501, 3, 4, 18, 49climi 11984 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )
51 r19.26 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( B ^ k )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E ) )
5251simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )
5654, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
57 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ i
) )
5857oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
( B ^ k
)  -  0 )  =  ( ( B ^ i )  - 
0 ) )
5958fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) ) )
6059breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E
) )
6160rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E
)
6256, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E )
63 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ph )
6463, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  B  e.  RR+ )
6564, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  B  e.  RR )
66 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  n  e.  NN )
67 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
6968, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( n  e. 
NN0  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
) )
70 eluznn0 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  NN0 )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  i  e.  NN0 )
7265, 71jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( B  e.  RR  /\  i  e. 
NN0 ) )
73 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( B ^ i
)  e.  RR )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( B ^
i )  e.  RR )
75 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
7663, 4, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  E  e.  RR )
7774, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( B ^ i )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
78 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B ^ i )  e.  RR  ->  ( B ^ i )  e.  CC )
79 subid1 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B ^ i )  e.  CC  ->  (
( B ^ i
)  -  0 )  =  ( B ^
i ) )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B ^ i )  e.  RR  ->  (
( B ^ i
)  -  0 )  =  ( B ^
i ) )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( B ^
i )  -  0 )  =  ( B ^ i ) )
8281fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  =  ( abs `  ( B ^ i
) ) )
8382breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( abs `  ( B ^ i
) )  <  E
) )
84 abslt 11798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( B ^ i ) )  <  E  <->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) ) )
8583, 84bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) ) )
8677, 85syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E  <->  (
-u E  <  ( B ^ i )  /\  ( B ^ i )  <  E ) ) )
8762, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) )
8887simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( B ^
i )  <  E
)
8966, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
) )
90 uznnssnn 10266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  NN )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( ZZ>= `  n )  C_  NN )
92 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ZZ>= `  n )  C_  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  i  e.  NN )
9391, 92sylancom 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  NN )
9489, 93syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  i  e.  NN )
9563, 94jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  NN )
)
9637adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
97 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e. 
NN0 )
9996, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( B  e.  RR  /\  i  e.  NN0 ) )
10099, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( B ^ i )  e.  RR )
1014, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
102101adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  E  e.  RR )
10321a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
104100, 102, 1033jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( B ^ i )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
105 ltsub2 9271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( B ^ i
)  <  E  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ i ) ) ) )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( B ^ i )  <  E  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ i ) ) ) )
10795, 106syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( B ^ i )  < 
E  <->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ i ) ) ) )
10888, 107mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ i ) ) )
109108ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )  ->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
110 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )
111 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
i ) )
11257oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
1  -  ( B ^ k ) )  =  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
113112breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ i ) ) ) )
114110, 111, 113cbvral 2760 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
115109, 114sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) ) )
116115ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) ) ) )
117116reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( B ^
k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) ) ) )
11850, 117mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) ) )
119 stoweidlem7.1 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )
120119a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) ) )
121 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ i )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
122121adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  i  =  k )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ i
)  =  ( ( 1  /  A ) ^ k ) )
123 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
125 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
126 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12819a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
129 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <  A )
130128, 129jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0  <  1  /\  1  <  A ) )
13135, 32, 1253jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )
)
132 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 0  <  1  /\  1  < 
A )  ->  0  <  A ) )
134130, 133mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  A )
13535, 134jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  0  <  A ) )
136 ltne 8917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
138124, 127, 1373jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
139 divcl 9430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
141140adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
142141, 10jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 ) )
143 expcl 11121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
144142, 143syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e.  CC )
145120, 122, 10, 144fvmptd 5606 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
14632, 128jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
147125, 134jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
148146, 147jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) ) )
149 divgt0 9624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
150148, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  A ) )
15128, 150jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u 1  <  0  /\  0  < 
( 1  /  A
) ) )
15232, 125, 1373jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  A  =/=  0 ) )
153 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
154152, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
15534, 35, 1543jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 1  /  A )  e.  RR ) )
156 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( ( -u
1  <  0  /\  0  <  ( 1  /  A ) )  ->  -u 1  <  ( 1  /  A ) ) )
157155, 156syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  <  0  /\  0  < 
( 1  /  A
) )  ->  -u 1  <  ( 1  /  A
) ) )
158151, 157mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  (
1  /  A ) )
15932, 147, 1463jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) ) )
160 ltdiv23 9647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( 1  /  A )  <  1  <->  ( 1  /  1 )  <  A ) )
161159, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  <  1  <->  ( 1  /  1 )  <  A ) )
162 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  0
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
164124, 163jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
165 divid 9451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  -> 
( 1  /  1
)  =  1 )
166164, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  1
)  =  1 )
167 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  1 )  =  1  ->  (
( 1  /  1
)  <  A  <->  1  <  A ) )
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
1 )  <  A  <->  1  <  A ) )
169161, 168bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  <  1  <->  1  <  A ) )
170129, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  <  1 )
171158, 170jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  < 
( 1  /  A
)  /\  ( 1  /  A )  <  1 ) )
172154, 32jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
173 abslt 11798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  A )  /\  ( 1  /  A
)  <  1 ) ) )
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  A )  /\  ( 1  /  A
)  <  1 ) ) )
175171, 174mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1 )
176140, 175expcnv 12322 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )  ~~>  0 )
177119, 176syl5eqbr 4056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
1781, 3, 4, 145, 177climi 11984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )
179 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  <  E )  -> 
( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E )
180179ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E )
181180a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E ) )
182181reximdva 2655 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( ( 1  /  A ) ^
k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  <  E
) )
183178, 182mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  <  E
)
184 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ph )
18590ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  NN )
186 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
187185, 186jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  n )  C_  NN  /\  k  e.  (
ZZ>= `  n ) ) )
188 ssel2 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZZ>= `  n )  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
189187, 188syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
190184, 189jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
191 subid1 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  e.  CC  ->  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
192144, 191syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
193192fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  A ) ^ k ) ) )
194154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  A )  e.  RR )
195194, 10jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 ) )
196 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  RR )
197195, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e.  RR )
19835, 154jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR ) )
199 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  A
)  ->  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
200198, 199syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
1  /  A )  ->  0  <_  (
1  /  A ) ) )
201150, 200mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  A ) )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  A
) )
203194, 10, 2023jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_ 
( 1  /  A
) ) )
204 expge0 11138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  /  A
) )  ->  0  <_  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
205203, 204syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( 1  /  A ) ^ k
) )
206197, 205jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 1  /  A ) ^ k
) ) )
207 absid 11781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )  -> 
( abs `  (
( 1  /  A
) ^ k ) )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k ) )
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
209193, 208eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
210 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k )  ->  (
( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( (
1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
211209, 210syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  <  E  <->  ( (
1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
212211biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  <  E  ->  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
213190, 212syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^ k )  - 
0 ) )  < 
E  ->  ( (
1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
214213ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  <  E  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
215214reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
216183, 215mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E )
217118, 216jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
2181rexanuz2 11833 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E )  <->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
219217, 218sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
220 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E )
)
221 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
222 uzid 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
223221, 222syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
224223adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
225224adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  n ) )
226220, 225jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
k )  <  E
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  n )
) )
227 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ n
) )
228227oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
1  -  ( B ^ k ) )  =  ( 1  -  ( B ^ n
) ) )
229228breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) ) ) )
230 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  A
) ^ k )  =  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
231230breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E  <->  ( (
1  /  A ) ^ n )  < 
E ) )
232229, 231anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
k )  <  E
)  <->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) ) )
233232rspccva 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) )
234226, 233syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) )
235 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ph  /\  n  e.  NN )
)
236123a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
237127, 137jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
238237adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
23967adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
240236, 238, 2393jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 ) )
241 expdiv 11152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  /  A ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( A ^ n ) ) )
242240, 241syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ n )  =  ( ( 1 ^ n )  /  ( A ^ n ) ) )
243221adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
244 1exp 11131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
245243, 244syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
246245oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( A ^
n ) )  =  ( 1  /  ( A ^ n ) ) )
247242, 246eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ n )  =  ( 1  /  ( A ^ n ) ) )
248247breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  A
) ^ n )  <  E  <->  ( 1  /  ( A ^
n ) )  < 
E ) )
249235, 248syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( ( 1  /  A ) ^ n )  < 
E  <->  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
250249anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ n
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ n )  <  E )  <->  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ n
) )  /\  (
1  /  ( A ^ n ) )  <  E ) ) )
251234, 250mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
252251ex 423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E )  -> 
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) ) )
253252reximdva 2655 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
k )  <  E
)  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) ) )
254219, 253mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
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