Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem7 Unicode version

Theorem stoweidlem7 27859
 Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on , and qn > 1 - ε on . Here it is proven that, for large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable is used to represent (k*δ) in the paper, and is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1
stoweidlem7.2
stoweidlem7.3
stoweidlem7.4
stoweidlem7.5
stoweidlem7.6
stoweidlem7.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . . . . 6
2 1z 10069 . . . . . . 7
32a1i 10 . . . . . 6
4 stoweidlem7.7 . . . . . 6
5 stoweidlem7.2 . . . . . . . 8
65a1i 10 . . . . . . 7
7 oveq2 5882 . . . . . . . 8
87adantl 452 . . . . . . 7
9 nnnn0 9988 . . . . . . . 8
109adantl 452 . . . . . . 7
11 stoweidlem7.5 . . . . . . . . . . 11
12 rpcn 10378 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10
1413adantr 451 . . . . . . . . 9
1514, 10jca 518 . . . . . . . 8
16 expcl 11137 . . . . . . . 8
1715, 16syl 15 . . . . . . 7
186, 8, 10, 17fvmptd 5622 . . . . . 6
19 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2220, 21pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 ltneg 9290 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15
2519, 24mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14
26 neg0 9109 . . . . . . . . . . . . . 14
2725, 26breqtri 4062 . . . . . . . . . . . . 13
2827a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
29 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . 13
3011, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30jca 518 . . . . . . . . . . 11
3221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
33 renegcl 9126 . . . . . . . . . . . . . 14
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
3520a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
36 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . 14
3711, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
3834, 35, 373jca 1132 . . . . . . . . . . . 12
39 lttr 8915 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11
4131, 40mpd 14 . . . . . . . . . 10
42 stoweidlem7.6 . . . . . . . . . 10
4341, 42jca 518 . . . . . . . . 9
4437, 32jca 518 . . . . . . . . . 10
45 abslt 11814 . . . . . . . . . 10
4644, 45syl 15 . . . . . . . . 9
4743, 46mpbird 223 . . . . . . . 8
4813, 47expcnv 12338 . . . . . . 7
495, 48syl5eqbr 4072 . . . . . 6
501, 3, 4, 18, 49climi 12000 . . . . 5
51 r19.26 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
5654, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
57 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
6160rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . 13
6256, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12
63 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 eluznn0 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7265, 71jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . . . . . 15
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
75 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15
7663, 4, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
7774, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
78 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 subid1 9084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
84 abslt 11814 . . . . . . . . . . . . . 14
8583, 84bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13
8677, 85syl 15 . . . . . . . . . . . 12
8762, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
8887simprd 449 . . . . . . . . . 10
8966, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
90 uznnssnn 10282 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
92 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . 14
9391, 92sylancom 648 . . . . . . . . . . . . 13
9489, 93syl 15 . . . . . . . . . . . 12
9563, 94jca 518 . . . . . . . . . . 11
9637adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
9996, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
10099, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
1014, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
102101adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
10321a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
104100, 102, 1033jca 1132 . . . . . . . . . . . 12
105 ltsub2 9287 . . . . . . . . . . . 12
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . 11
10795, 106syl 15 . . . . . . . . . 10
10888, 107mpbid 201 . . . . . . . . 9
109108ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
110 nfv 1609 . . . . . . . . 9
111 nfv 1609 . . . . . . . . 9
11257oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
113112breq2d 4051 . . . . . . . . 9
114110, 111, 113cbvral 2773 . . . . . . . 8
115109, 114sylibr 203 . . . . . . 7
116115ex 423 . . . . . 6
117116reximdva 2668 . . . . 5
11850, 117mpd 14 . . . 4
119 stoweidlem7.1 . . . . . . . . 9
120119a1i 10 . . . . . . . 8
121 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
122121adantl 452 . . . . . . . 8
123 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
125 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . . . . . 14
126 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . 14
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
12819a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130128, 129jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13135, 32, 1253jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134130, 133mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15
13535, 134jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
136 ltne 8933 . . . . . . . . . . . . . 14
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
138124, 127, 1373jca 1132 . . . . . . . . . . . 12
139 divcl 9446 . . . . . . . . . . . 12
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . 11
141140adantr 451 . . . . . . . . . 10
142141, 10jca 518 . . . . . . . . 9
143 expcl 11137 . . . . . . . . 9
144142, 143syl 15 . . . . . . . 8
145120, 122, 10, 144fvmptd 5622 . . . . . . 7
14632, 128jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
147125, 134jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
149 divgt0 9640 . . . . . . . . . . . . . 14
150148, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
15128, 150jca 518 . . . . . . . . . . . 12
15232, 125, 1373jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . . . 15
154152, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
15534, 35, 1543jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
156 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . 13
157155, 156syl 15 . . . . . . . . . . . 12
158151, 157mpd 14 . . . . . . . . . . 11
15932, 147, 1463jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
160 ltdiv23 9663 . . . . . . . . . . . . . 14
161159, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
162 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164124, 163jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
165 divid 9467 . . . . . . . . . . . . . . 15
166164, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
167 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
169161, 168bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12
170129, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
171158, 170jca 518 . . . . . . . . . 10
172154, 32jca 518 . . . . . . . . . . 11
173 abslt 11814 . . . . . . . . . . 11
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . 10
175171, 174mpbird 223 . . . . . . . . 9
176140, 175expcnv 12338 . . . . . . . 8
177119, 176syl5eqbr 4072 . . . . . . 7
1781, 3, 4, 145, 177climi 12000 . . . . . 6
179 simpr 447 . . . . . . . . 9
180179ralimi 2631 . . . . . . . 8
181180a1i 10 . . . . . . 7
182181reximdva 2668 . . . . . 6
183178, 182mpd 14 . . . . 5
184 simpll 730 . . . . . . . . 9
18590ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11
186 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
187185, 186jca 518 . . . . . . . . . 10
188 ssel2 3188 . . . . . . . . . 10
189187, 188syl 15 . . . . . . . . 9
190184, 189jca 518 . . . . . . . 8
191 subid1 9084 . . . . . . . . . . . . 13
192144, 191syl 15 . . . . . . . . . . . 12
193192fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11
194154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
195194, 10jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
196 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . . . . 14
197195, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
19835, 154jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200198, 199syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
201150, 200mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
203194, 10, 2023jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
204 expge0 11154 . . . . . . . . . . . . . 14
205203, 204syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
206197, 205jca 518 . . . . . . . . . . . 12
207 absid 11797 . . . . . . . . . . . 12
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . 11
209193, 208eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10
210 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
211209, 210syl 15 . . . . . . . . 9
212211biimpd 198 . . . . . . . 8
213190, 212syl 15 . . . . . . 7
214213ralimdva 2634 . . . . . 6
215214reximdva 2668 . . . . 5
216183, 215mpd 14 . . . 4
217118, 216jca 518 . . 3
2181rexanuz2 11849 . . 3
219217, 218sylibr 203 . 2
220 simpr 447 . . . . . . 7
221 nnz 10061 . . . . . . . . . 10
222 uzid 10258 . . . . . . . . . 10
223221, 222syl 15 . . . . . . . . 9
224223adantl 452 . . . . . . . 8
225224adantr 451 . . . . . . 7
226220, 225jca 518 . . . . . 6
227 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10
228227oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
229228breq2d 4051 . . . . . . . 8
230 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
231230breq1d 4049 . . . . . . . 8
232229, 231anbi12d 691 . . . . . . 7
233232rspccva 2896 . . . . . 6
234226, 233syl 15 . . . . 5
235 simpl 443 . . . . . . 7
236123a1i 10 . . . . . . . . . . 11
237127, 137jca 518 . . . . . . . . . . . 12
238237adantr 451 . . . . . . . . . . 11
23967adantl 452 . . . . . . . . . . 11
240236, 238, 2393jca 1132 . . . . . . . . . 10
241 expdiv 11168 . . . . . . . . . 10
242240, 241syl 15 . . . . . . . . 9
243221adantl 452 . . . . . . . . . . 11
244 1exp 11147 . . . . . . . . . . 11
245243, 244syl 15 . . . . . . . . . 10
246245oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
247242, 246eqtrd 2328 . . . . . . . 8
248247breq1d 4049 . . . . . . 7
249235, 248syl 15 . . . . . 6
250249anbi2d 684 . . . . 5
251234, 250mpbid 201 . . . 4
252251ex 423 . . 3
253252reximdva 2668 . 2
254219, 253mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   wss 3165   class class class wbr 4039   cmpt 4093  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cexp 11120  cabs 11735   cli 11974 This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27901 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
 Copyright terms: Public domain W3C validator