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Theorem stoweidlem7 27723
 Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on , and qn > 1 - ε on . Here it is proven that, for large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable is used to represent (k*δ) in the paper, and is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1
stoweidlem7.2
stoweidlem7.3
stoweidlem7.4
stoweidlem7.5
stoweidlem7.6
stoweidlem7.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10513 . . . . 5
2 1z 10303 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 stoweidlem7.7 . . . . 5
5 stoweidlem7.2 . . . . . . 7
65a1i 11 . . . . . 6
7 oveq2 6081 . . . . . . 7
87adantl 453 . . . . . 6
9 nnnn0 10220 . . . . . . 7
109adantl 453 . . . . . 6
11 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9
1211rpcnd 10642 . . . . . . . 8
1312adantr 452 . . . . . . 7
1413, 10expcld 11515 . . . . . 6
156, 8, 10, 14fvmptd 5802 . . . . 5
16 1re 9082 . . . . . . . . . . 11
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10
1817renegcld 9456 . . . . . . . . 9
19 0re 9083 . . . . . . . . . 10
2019a1i 11 . . . . . . . . 9
2111rpred 10640 . . . . . . . . 9
22 0lt1 9542 . . . . . . . . . . . 12
2319, 16ltnegi 9563 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23mpbi 200 . . . . . . . . . . 11
25 neg0 9339 . . . . . . . . . . 11
2624, 25breqtri 4227 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9
2811rpgt0d 10643 . . . . . . . . 9
2918, 20, 21, 27, 28lttrd 9223 . . . . . . . 8
30 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8
3121, 17absltd 12224 . . . . . . . 8
3229, 30, 31mpbir2and 889 . . . . . . 7
3312, 32expcnv 12635 . . . . . 6
345, 33syl5eqbr 4237 . . . . 5
351, 3, 4, 15, 34climi 12296 . . . 4
36 r19.26 2830 . . . . . . . . . . . . . 14
3736simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13
3837ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12
39 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
4241breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13
4342rspccva 3043 . . . . . . . . . . . 12
4438, 43sylancom 649 . . . . . . . . . . 11
45 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4746rpred 10640 . . . . . . . . . . . . 13
48 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . . . . . 15
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
51 eluznn0 10538 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13
5347, 52reexpcld 11532 . . . . . . . . . . . 12
54 rpre 10610 . . . . . . . . . . . . 13
5545, 4, 543syl 19 . . . . . . . . . . . 12
56 recn 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756subid1d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
6059breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13
61 abslt 12110 . . . . . . . . . . . . 13
6260, 61bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12
6353, 55, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
6444, 63mpbid 202 . . . . . . . . . 10
6564simprd 450 . . . . . . . . 9
66 uznnssnn 10516 . . . . . . . . . . . 12
6766sselda 3340 . . . . . . . . . . 11
6848, 67sylancom 649 . . . . . . . . . 10
6921adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
70 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . . . 13
7170adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
7269, 71reexpcld 11532 . . . . . . . . . . 11
734rpred 10640 . . . . . . . . . . . 12
7473adantr 452 . . . . . . . . . . 11
7516a1i 11 . . . . . . . . . . 11
7672, 74, 75ltsub2d 9628 . . . . . . . . . 10
7745, 68, 76syl2anc 643 . . . . . . . . 9
7865, 77mpbid 202 . . . . . . . 8
7978ralrimiva 2781 . . . . . . 7
8039oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
8180breq2d 4216 . . . . . . . 8
8281cbvralv 2924 . . . . . . 7
8379, 82sylibr 204 . . . . . 6
8483ex 424 . . . . 5
8584reximdva 2810 . . . 4
8635, 85mpd 15 . . 3
87 stoweidlem7.1 . . . . . . 7
8887a1i 11 . . . . . 6
89 oveq2 6081 . . . . . . 7
9089adantl 453 . . . . . 6
91 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10
9291recnd 9106 . . . . . . . . 9
9322a1i 11 . . . . . . . . . . 11
94 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11
9520, 17, 91, 93, 94lttrd 9223 . . . . . . . . . 10
9695gt0ne0d 9583 . . . . . . . . 9
9792, 96reccld 9775 . . . . . . . 8
9897adantr 452 . . . . . . 7
9998, 10expcld 11515 . . . . . 6
10088, 90, 10, 99fvmptd 5802 . . . . 5
10191, 96rereccld 9833 . . . . . . . . 9
10291, 95recgt0d 9937 . . . . . . . . 9
10318, 20, 101, 27, 102lttrd 9223 . . . . . . . 8
104 ltdiv23 9893 . . . . . . . . . . 11
10517, 91, 95, 17, 93, 104syl122anc 1193 . . . . . . . . . 10
106 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
108107div1d 9774 . . . . . . . . . . 11
109108breq1d 4214 . . . . . . . . . 10
110105, 109bitrd 245 . . . . . . . . 9
11194, 110mpbird 224 . . . . . . . 8
112101, 17absltd 12224 . . . . . . . 8
113103, 111, 112mpbir2and 889 . . . . . . 7
11497, 113expcnv 12635 . . . . . 6
11587, 114syl5eqbr 4237 . . . . 5
1161, 3, 4, 100, 115climi2 12297 . . . 4
117 simpll 731 . . . . . . 7
11866ad2antlr 708 . . . . . . . 8
119 simpr 448 . . . . . . . 8
120118, 119sseldd 3341 . . . . . . 7
12199subid1d 9392 . . . . . . . . . . 11
122121fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
123101adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
124123, 10reexpcld 11532 . . . . . . . . . . 11
12520, 101, 102ltled 9213 . . . . . . . . . . . . 13
126125adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
127123, 10, 126expge0d 11533 . . . . . . . . . . 11
128124, 127absidd 12217 . . . . . . . . . 10
129122, 128eqtrd 2467 . . . . . . . . 9
130129breq1d 4214 . . . . . . . 8
131130biimpd 199 . . . . . . 7
132117, 120, 131syl2anc 643 . . . . . 6
133132ralimdva 2776 . . . . 5
134133reximdva 2810 . . . 4
135116, 134mpd 15 . . 3
1361rexanuz2 12145 . . 3
13786, 135, 136sylanbrc 646 . 2
138 simpr 448 . . . . . 6
139 nnz 10295 . . . . . . . 8
140 uzid 10492 . . . . . . . 8
141139, 140syl 16 . . . . . . 7
142141ad2antlr 708 . . . . . 6
143 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10
144143oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
145144breq2d 4216 . . . . . . . 8
146 oveq2 6081 . . . . . . . . 9
147146breq1d 4214 . . . . . . . 8
148145, 147anbi12d 692 . . . . . . 7
149148rspccva 3043 . . . . . 6
150138, 142, 149syl2anc 643 . . . . 5
151106a1i 11 . . . . . . . . . 10
15292, 96jca 519 . . . . . . . . . . 11
153152adantr 452 . . . . . . . . . 10
15449adantl 453 . . . . . . . . . 10
155 expdiv 11422 . . . . . . . . . 10
156151, 153, 154, 155syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
157139adantl 453 . . . . . . . . . . 11
158 1exp 11401 . . . . . . . . . . 11
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . 10
160159oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
161156, 160eqtrd 2467 . . . . . . . 8
162161breq1d 4214 . . . . . . 7
163162adantr 452 . . . . . 6
164163anbi2d 685 . . . . 5
165150, 164mpbid 202 . . . 4
166165ex 424 . . 3
167166reximdva 2810 . 2
168137, 167mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cexp 11374  cabs 12031   cli 12270 This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27765 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275
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