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Theorem stoweidlem8 27080
Description: Lemma for stoweid 27135: two class variables replace two set variables, for the sum of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem8.1  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem8.2  |-  F/_ t F
stoweidlem8.3  |-  F/_ t G
Assertion
Ref Expression
stoweidlem8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  A )
Distinct variable groups:    f, g,
t    A, f, g    f, F, g    T, f, g    ph, f, g    g, G
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    T( t)    F( t)    G( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem8
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  G  e.  A )
2 eleq1 2418 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g  e.  A  <->  G  e.  A ) )
323anbi3d 1258 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )
) )
4 nfcv 2494 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
g
5 stoweidlem8.3 . . . . . . . 8  |-  F/_ t G
64, 5nfeq 2501 . . . . . . 7  |-  F/ t  g  =  G
7 fveq1 5604 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  t )  =  ( G `  t ) )
87oveq2d 5958 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( F `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  +  ( G `  t
) ) )
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) )  =  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )
106, 9mpteq2da 4184 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) ) )
1110eleq1d 2424 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( G `
 t ) ) )  e.  A ) )
123, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  A
) ) )
13 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  F  e.  A )
14 eleq1 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  A  <->  F  e.  A ) )
15143anbi2d 1257 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )
) )
16 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
f
17 stoweidlem8.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t F
1816, 17nfeq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  f  =  F
19 fveq1 5604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  t )  =  ( F `  t ) )
2019oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  +  ( g `  t
) ) )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  t  e.  T )  ->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) )  =  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )
2218, 21mpteq2da 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) ) )
2322eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
2415, 23imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
) ) )
25 stoweidlem8.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2625a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
2724, 26vtoclga 2925 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
2813, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A ) )
2928pm2.43i 43 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
3029a1i 10 . . . 4  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
3112, 30vtoclga 2925 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( G `
 t ) ) )  e.  A ) )
321, 31syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  A ) )
3332pm2.43i 43 1  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   F/_wnfc 2481    e. cmpt 4156   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    + caddc 8827
This theorem is referenced by:  stoweidlem20  27092  stoweidlem21  27093  stoweidlem22  27094  stoweidlem23  27095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-iota 5298  df-fv 5342  df-ov 5945
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