MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Unicode version

Theorem strfv 13180
Description: Extract a structure component  C (such as the base set) from a structure  S (such as a member of  Poset, df-poset 14080) with a component extractor  E (such as the base set extractor df-base 13153). By virtue of ndxid 13169, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 
E. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s  |-  S Struct  X
strfv.e  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
strfv.n  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
Assertion
Ref Expression
strfv  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3  |-  S Struct  X
2 brstruct 13156 . . . 4  |-  Rel Struct
32brrelexi 4729 . . 3  |-  ( S Struct  X  ->  S  e.  _V )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  S  e. 
_V
51structfun 13160 . 2  |-  Fun  `' `' S
6 strfv.e . 2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
7 strfv.n . . 3  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
8 opex 4237 . . . 4  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  _V
98snss 3748 . . 3  |-  ( <.
( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S  <->  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. } 
C_  S )
107, 9mpbir 200 . 2  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S
114, 5, 6, 10strfv2 13179 1  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Struct cstr 13144   ndxcnx 13145  Slot cslot 13147
This theorem is referenced by:  strfv3  13181  2strbas  13245  2strop  13246  rngbase  13256  rngplusg  13257  rngmulr  13258  srngbase  13264  srngplusg  13265  srngmulr  13266  srnginvl  13267  lmodbase  13273  lmodplusg  13274  lmodsca  13275  lmodvsca  13276  algbase  13278  algaddg  13279  algmulr  13280  algsca  13281  algvsca  13282  phlbase  13288  phlplusg  13289  phlsca  13290  phlvsca  13291  phlip  13292  topgrpbas  13296  topgrpplusg  13297  topgrptset  13298  otpsbas  13303  otpstset  13304  otpsle  13305  odrngbas  13312  odrngplusg  13313  odrngmulr  13314  odrngtset  13315  odrngle  13316  odrngds  13317  imasplusg  13420  imasmulr  13421  imassca  13422  imasvsca  13423  imastset  13424  imasle  13425  fuccofval  13833  setcbas  13910  setchomfval  13911  setccofval  13914  catcbas  13929  catchomfval  13930  catccofval  13932  ipobas  14258  ipolerval  14259  ipotset  14260  psrbas  16124  psrplusg  16126  psrmulr  16129  psrsca  16134  psrvscafval  16135  cnfldbas  16383  cnfldadd  16384  cnfldmul  16385  cnfldcj  16386  cnfldtset  16387  cnfldle  16388  cnfldds  16389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-slot 13152
  Copyright terms: Public domain W3C validator