MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Unicode version

Theorem strfv 13227
Description: Extract a structure component  C (such as the base set) from a structure  S (such as a member of  Poset, df-poset 14129) with a component extractor  E (such as the base set extractor df-base 13200). By virtue of ndxid 13216, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 
E. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s  |-  S Struct  X
strfv.e  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
strfv.n  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
Assertion
Ref Expression
strfv  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3  |-  S Struct  X
2 brstruct 13203 . . . 4  |-  Rel Struct
32brrelexi 4766 . . 3  |-  ( S Struct  X  ->  S  e.  _V )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  S  e. 
_V
51structfun 13207 . 2  |-  Fun  `' `' S
6 strfv.e . 2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
7 strfv.n . . 3  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
8 opex 4274 . . . 4  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  _V
98snss 3782 . . 3  |-  ( <.
( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S  <->  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. } 
C_  S )
107, 9mpbir 200 . 2  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S
114, 5, 6, 10strfv2 13226 1  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   {csn 3674   <.cop 3677   class class class wbr 4060   ` cfv 5292   Struct cstr 13191   ndxcnx 13192  Slot cslot 13194
This theorem is referenced by:  strfv3  13228  2strbas  13292  2strop  13293  rngbase  13303  rngplusg  13304  rngmulr  13305  srngbase  13311  srngplusg  13312  srngmulr  13313  srnginvl  13314  lmodbase  13320  lmodplusg  13321  lmodsca  13322  lmodvsca  13323  algbase  13325  algaddg  13326  algmulr  13327  algsca  13328  algvsca  13329  phlbase  13335  phlplusg  13336  phlsca  13337  phlvsca  13338  phlip  13339  topgrpbas  13343  topgrpplusg  13344  topgrptset  13345  otpsbas  13350  otpstset  13351  otpsle  13352  odrngbas  13361  odrngplusg  13362  odrngmulr  13363  odrngtset  13364  odrngle  13365  odrngds  13366  imasplusg  13469  imasmulr  13470  imassca  13471  imasvsca  13472  imastset  13473  imasle  13474  fuccofval  13882  setcbas  13959  setchomfval  13960  setccofval  13963  catcbas  13978  catchomfval  13979  catccofval  13981  ipobas  14307  ipolerval  14308  ipotset  14309  psrbas  16173  psrplusg  16175  psrmulr  16178  psrsca  16183  psrvscafval  16184  cnfldbas  16436  cnfldadd  16437  cnfldmul  16438  cnfldcj  16439  cnfldtset  16440  cnfldle  16441  cnfldds  16442  cnfldunif  16443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-slot 13199
  Copyright terms: Public domain W3C validator