MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Structured version   Unicode version

Theorem strfv 13502
Description: Extract a structure component  C (such as the base set) from a structure  S (such as a member of  Poset, df-poset 14404) with a component extractor  E (such as the base set extractor df-base 13475). By virtue of ndxid 13491, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 
E. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s  |-  S Struct  X
strfv.e  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
strfv.n  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
Assertion
Ref Expression
strfv  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3  |-  S Struct  X
2 brstruct 13478 . . . 4  |-  Rel Struct
32brrelexi 4919 . . 3  |-  ( S Struct  X  ->  S  e.  _V )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  S  e. 
_V
51structfun 13482 . 2  |-  Fun  `' `' S
6 strfv.e . 2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
7 strfv.n . . 3  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
8 opex 4428 . . . 4  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  _V
98snss 3927 . . 3  |-  ( <.
( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S  <->  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. } 
C_  S )
107, 9mpbir 202 . 2  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S
114, 5, 6, 10strfv2 13501 1  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   {csn 3815   <.cop 3818   class class class wbr 4213   ` cfv 5455   Struct cstr 13466   ndxcnx 13467  Slot cslot 13469
This theorem is referenced by:  strfv3  13503  2strbas  13567  2strop  13568  rngbase  13578  rngplusg  13579  rngmulr  13580  srngbase  13586  srngplusg  13587  srngmulr  13588  srnginvl  13589  lmodbase  13595  lmodplusg  13596  lmodsca  13597  lmodvsca  13598  algbase  13600  algaddg  13601  algmulr  13602  algsca  13603  algvsca  13604  phlbase  13610  phlplusg  13611  phlsca  13612  phlvsca  13613  phlip  13614  topgrpbas  13618  topgrpplusg  13619  topgrptset  13620  otpsbas  13625  otpstset  13626  otpsle  13627  odrngbas  13636  odrngplusg  13637  odrngmulr  13638  odrngtset  13639  odrngle  13640  odrngds  13641  imassca  13746  imastset  13748  fuccofval  14157  setcbas  14234  catchomfval  14254  catccofval  14256  ipobas  14582  ipolerval  14583  ipotset  14584  psrbas  16444  psrplusg  16446  psrmulr  16449  psrsca  16454  psrvscafval  16455  cnfldbas  16708  cnfldadd  16709  cnfldmul  16710  cnfldcj  16711  cnfldtset  16712  cnfldle  16713  cnfldds  16714  cnfldunif  16715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-slot 13474
  Copyright terms: Public domain W3C validator