MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Unicode version

Theorem strle1 13330
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
Assertion
Ref Expression
strle1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3  |-  I  e.  NN
21nnrei 9842 . . . 4  |-  I  e.  RR
32leidi 9394 . . 3  |-  I  <_  I
41, 1, 33pm3.2i 1130 . 2  |-  ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )
5 difss 3379 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) 
C_  { <. A ,  X >. }
6 strle1.a . . . . . 6  |-  A  =  I
76, 1eqeltri 2428 . . . . 5  |-  A  e.  NN
8 funsng 5377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  _V )  ->  Fun  { <. A ,  X >. } )
97, 8mpan 651 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  {
<. A ,  X >. } )
10 funss 5352 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  C_  { <. A ,  X >. }  ->  ( Fun  { <. A ,  X >. }  ->  Fun  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) ) )
115, 9, 10mpsyl 59 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } ) )
12 fun0 5386 . . . 4  |-  Fun  (/)
13 opprc2 3898 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  <. A ,  X >.  =  (/) )
1413sneqd 3729 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  {
<. A ,  X >. }  =  { (/) } )
1514difeq1d 3369 . . . . . 6  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  ( {
(/) }  \  { (/) } ) )
16 difid 3598 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2406 . . . . 5  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  (/) )
1817funeqd 5355 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  <->  Fun  (/) ) )
1912, 18mpbiri 224 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} ) )
2011, 19pm2.61i 156 . 2  |-  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )
21 dmsnopss 5224 . . 3  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  { A }
226sneqi 3728 . . . 4  |-  { A }  =  { I }
231nnzi 10136 . . . . 5  |-  I  e.  ZZ
24 fzsn 10922 . . . . 5  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I ... I )  =  { I } )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( I ... I )  =  { I }
2622, 25eqtr4i 2381 . . 3  |-  { A }  =  ( I ... I )
2721, 26sseqtri 3286 . 2  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I )
28 isstruct 13249 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.  <->  (
( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )  /\  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} )  /\  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) ) )
294, 20, 27, 28mpbir3an 1134 1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   <.cop 3719   class class class wbr 4102   dom cdm 4768   Fun wfun 5328  (class class class)co 5942    <_ cle 8955   NNcn 9833   ZZcz 10113   ...cfz 10871   Struct cstr 13235
This theorem is referenced by:  strle2  13331  strle3  13332  srngfn  13354  lmodstr  13363  phlstr  13378  cnfldstr  16478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241
  Copyright terms: Public domain W3C validator