MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Unicode version

Theorem strle1 13515
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
Assertion
Ref Expression
strle1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3  |-  I  e.  NN
21nnrei 9965 . . . 4  |-  I  e.  RR
32leidi 9517 . . 3  |-  I  <_  I
41, 1, 33pm3.2i 1132 . 2  |-  ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )
5 difss 3434 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) 
C_  { <. A ,  X >. }
6 strle1.a . . . . . 6  |-  A  =  I
76, 1eqeltri 2474 . . . . 5  |-  A  e.  NN
8 funsng 5456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  _V )  ->  Fun  { <. A ,  X >. } )
97, 8mpan 652 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  {
<. A ,  X >. } )
10 funss 5431 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  C_  { <. A ,  X >. }  ->  ( Fun  { <. A ,  X >. }  ->  Fun  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) ) )
115, 9, 10mpsyl 61 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } ) )
12 fun0 5467 . . . 4  |-  Fun  (/)
13 opprc2 3967 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  <. A ,  X >.  =  (/) )
1413sneqd 3787 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  {
<. A ,  X >. }  =  { (/) } )
1514difeq1d 3424 . . . . . 6  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  ( {
(/) }  \  { (/) } ) )
16 difid 3656 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  (/) )
1817funeqd 5434 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  <->  Fun  (/) ) )
1912, 18mpbiri 225 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} ) )
2011, 19pm2.61i 158 . 2  |-  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )
21 dmsnopss 5301 . . 3  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  { A }
226sneqi 3786 . . . 4  |-  { A }  =  { I }
231nnzi 10261 . . . . 5  |-  I  e.  ZZ
24 fzsn 11050 . . . . 5  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I ... I )  =  { I } )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( I ... I )  =  { I }
2622, 25eqtr4i 2427 . . 3  |-  { A }  =  ( I ... I )
2721, 26sseqtri 3340 . 2  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I )
28 isstruct 13434 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.  <->  (
( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )  /\  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} )  /\  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) ) )
294, 20, 27, 28mpbir3an 1136 1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   Fun wfun 5407  (class class class)co 6040    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   ...cfz 10999   Struct cstr 13420
This theorem is referenced by:  strle2  13516  strle3  13517  srngfn  13539  lmodstr  13548  phlstr  13563  cnfldstr  16660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426
  Copyright terms: Public domain W3C validator