MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Structured version   Unicode version

Theorem strle1 13565
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
Assertion
Ref Expression
strle1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3  |-  I  e.  NN
21nnrei 10014 . . . 4  |-  I  e.  RR
32leidi 9566 . . 3  |-  I  <_  I
41, 1, 33pm3.2i 1133 . 2  |-  ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )
5 difss 3476 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) 
C_  { <. A ,  X >. }
6 strle1.a . . . . . 6  |-  A  =  I
76, 1eqeltri 2508 . . . . 5  |-  A  e.  NN
8 funsng 5500 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  _V )  ->  Fun  { <. A ,  X >. } )
97, 8mpan 653 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  {
<. A ,  X >. } )
10 funss 5475 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  C_  { <. A ,  X >. }  ->  ( Fun  { <. A ,  X >. }  ->  Fun  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) ) )
115, 9, 10mpsyl 62 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } ) )
12 fun0 5511 . . . 4  |-  Fun  (/)
13 opprc2 4009 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  <. A ,  X >.  =  (/) )
1413sneqd 3829 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  {
<. A ,  X >. }  =  { (/) } )
1514difeq1d 3466 . . . . . 6  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  ( {
(/) }  \  { (/) } ) )
16 difid 3698 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  (/) )
1817funeqd 5478 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  <->  Fun  (/) ) )
1912, 18mpbiri 226 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} ) )
2011, 19pm2.61i 159 . 2  |-  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )
21 dmsnopss 5345 . . 3  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  { A }
226sneqi 3828 . . . 4  |-  { A }  =  { I }
231nnzi 10310 . . . . 5  |-  I  e.  ZZ
24 fzsn 11099 . . . . 5  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I ... I )  =  { I } )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( I ... I )  =  { I }
2622, 25eqtr4i 2461 . . 3  |-  { A }  =  ( I ... I )
2721, 26sseqtri 3382 . 2  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I )
28 isstruct 13484 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.  <->  (
( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )  /\  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} )  /\  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) ) )
294, 20, 27, 28mpbir3an 1137 1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   Fun wfun 5451  (class class class)co 6084    <_ cle 9126   NNcn 10005   ZZcz 10287   ...cfz 11048   Struct cstr 13470
This theorem is referenced by:  strle2  13566  strle3  13567  srngfn  13589  lmodstr  13598  phlstr  13613  cnfldstr  16710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476
  Copyright terms: Public domain W3C validator