MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle3 Unicode version

Theorem strle3 13338
Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
strle2.j  |-  I  < 
J
strle2.k  |-  J  e.  NN
strle2.b  |-  B  =  J
strle3.k  |-  J  < 
K
strle3.l  |-  K  e.  NN
strle3.c  |-  C  =  K
Assertion
Ref Expression
strle3  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } Struct  <. I ,  K >.

Proof of Theorem strle3
StepHypRef Expression
1 df-tp 3724 . 2  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
2 strle1.i . . . 4  |-  I  e.  NN
3 strle1.a . . . 4  |-  A  =  I
4 strle2.j . . . 4  |-  I  < 
J
5 strle2.k . . . 4  |-  J  e.  NN
6 strle2.b . . . 4  |-  B  =  J
72, 3, 4, 5, 6strle2 13337 . . 3  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } Struct  <. I ,  J >.
8 strle3.l . . . 4  |-  K  e.  NN
9 strle3.c . . . 4  |-  C  =  K
108, 9strle1 13336 . . 3  |-  { <. C ,  Z >. } Struct  <. K ,  K >.
11 strle3.k . . 3  |-  J  < 
K
127, 10, 11strleun 13335 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) Struct  <. I ,  K >.
131, 12eqbrtri 4123 1  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } Struct  <. I ,  K >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710    u. cun 3226   {csn 3716   {cpr 3717   {ctp 3718   <.cop 3719   class class class wbr 4104    < clt 8957   NNcn 9836   Struct cstr 13241
This theorem is referenced by:  rngstr  13352  lmodstr  13369  topgrpstr  13392  otpsstr  13399  odrngstr  13410  imasvalstr  13451  catstr  13930  psrvalstr  16210  cnfldstr  16484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247
  Copyright terms: Public domain W3C validator