Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem1 Structured version   Unicode version

Theorem strlem1 23753
 Description: Lemma for strong state theorem: if closed subspace is not contained in , there is a unit vector in their difference. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlem1.1
strlem1.2
Assertion
Ref Expression
strlem1
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem strlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 3638 . . 3
2 ssdif0 3686 . . 3
31, 2xchnxbir 301 . 2
4 eldifi 3469 . . . . . . . . . . 11
5 strlem1.1 . . . . . . . . . . . 12
65cheli 22735 . . . . . . . . . . 11
7 normcl 22627 . . . . . . . . . . 11
84, 6, 73syl 19 . . . . . . . . . 10
9 strlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 ch0 22731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 eldifn 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15
1311, 12mt2 172 . . . . . . . . . . . . . 14
14 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . 13
1615con2i 114 . . . . . . . . . . . 12
17 norm-i 22631 . . . . . . . . . . . . 13
184, 6, 173syl 19 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18mtbird 293 . . . . . . . . . . 11
2019neneqad 2674 . . . . . . . . . 10
218, 20rereccld 9841 . . . . . . . . 9
2221recnd 9114 . . . . . . . 8
235chshii 22730 . . . . . . . . . 10
24 shmulcl 22720 . . . . . . . . . 10
2523, 24mp3an1 1266 . . . . . . . . 9
2625ex 424 . . . . . . . 8
2722, 26syl 16 . . . . . . 7
288recnd 9114 . . . . . . . . . 10
299chshii 22730 . . . . . . . . . . . 12
30 shmulcl 22720 . . . . . . . . . . . 12
3129, 30mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11
3231ex 424 . . . . . . . . . 10
3328, 32syl 16 . . . . . . . . 9
3428, 20recidd 9785 . . . . . . . . . . . 12
3534oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
364, 6syl 16 . . . . . . . . . . . 12
37 ax-hvmulass 22510 . . . . . . . . . . . 12
3828, 22, 36, 37syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
39 ax-hvmulid 22509 . . . . . . . . . . . 12
404, 6, 393syl 19 . . . . . . . . . . 11
4135, 38, 403eqtr3d 2476 . . . . . . . . . 10
4241eleq1d 2502 . . . . . . . . 9
4333, 42sylibd 206 . . . . . . . 8
4443con3d 127 . . . . . . 7
4527, 44anim12d 547 . . . . . 6
46 eldif 3330 . . . . . 6
47 eldif 3330 . . . . . 6
4845, 46, 473imtr4g 262 . . . . 5
4948pm2.43i 45 . . . 4
50 norm-iii 22642 . . . . . 6
5122, 36, 50syl2anc 643 . . . . 5
5215necon2ai 2649 . . . . . . . . 9
53 normgt0 22629 . . . . . . . . . 10
544, 6, 533syl 19 . . . . . . . . 9
5552, 54mpbid 202 . . . . . . . 8
56 1re 9090 . . . . . . . . 9
57 0le1 9551 . . . . . . . . 9
58 divge0 9879 . . . . . . . . 9
5956, 57, 58mpanl12 664 . . . . . . . 8
608, 55, 59syl2anc 643 . . . . . . 7
6121, 60absidd 12225 . . . . . 6
6261oveq1d 6096 . . . . 5
6328, 20recid2d 9786 . . . . 5
6451, 62, 633eqtrd 2472 . . . 4
65 fveq2 5728 . . . . . 6
6665eqeq1d 2444 . . . . 5
6766rspcev 3052 . . . 4
6849, 64, 67syl2anc 643 . . 3
6968exlimiv 1644 . 2
703, 69sylbi 188 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   cdif 3317   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cdiv 9677  cabs 12039  chil 22422   csm 22424  cno 22426  c0v 22427  csh 22431  cch 22432 This theorem is referenced by:  stri  23760  hstri  23768 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hv0cl 22506  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his3 22586  ax-his4 22587 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-hnorm 22471  df-sh 22709  df-ch 22724
 Copyright terms: Public domain W3C validator