Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Unicode version

Theorem strlem3a 23747
 Description: Lemma for strong state theorem: the function , that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1
Assertion
Ref Expression
strlem3a
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . . . 7
2 simpl 444 . . . . . . 7
3 pjhcl 22895 . . . . . . 7
41, 2, 3syl2anr 465 . . . . . 6
5 normcl 22619 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
76resqcld 11541 . . . 4
86sqge0d 11542 . . . 4
9 normge0 22620 . . . . . 6
104, 9syl 16 . . . . 5
11 pjnorm 23218 . . . . . . 7
121, 2, 11syl2anr 465 . . . . . 6
13 simplr 732 . . . . . 6
1412, 13breqtrd 4228 . . . . 5
15 2nn0 10230 . . . . . 6
16 exple1 11431 . . . . . 6
1715, 16mpan2 653 . . . . 5
186, 10, 14, 17syl3anc 1184 . . . 4
19 0re 9083 . . . . 5
20 1re 9082 . . . . 5
2119, 20elicc2i 10968 . . . 4
227, 8, 18, 21syl3anbrc 1138 . . 3
23 strlem3a.1 . . 3
2422, 23fmptd 5885 . 2
25 helch 22738 . . . 4
2623strlem2 23746 . . . 4
2725, 26ax-mp 8 . . 3
28 pjch1 23164 . . . . . 6
2928fveq2d 5724 . . . . 5
3029oveq1d 6088 . . . 4
31 oveq1 6080 . . . . 5
32 sq1 11468 . . . . 5
3331, 32syl6eq 2483 . . . 4
3430, 33sylan9eq 2487 . . 3
3527, 34syl5eq 2479 . 2
36 pjcjt2 23186 . . . . . . . . . . . 12
3736imp 419 . . . . . . . . . . 11
3837fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
3938oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
40 pjopyth 23214 . . . . . . . . . 10
4140imp 419 . . . . . . . . 9
4239, 41eqtrd 2467 . . . . . . . 8
43 chjcl 22851 . . . . . . . . . . 11
44433adant3 977 . . . . . . . . . 10
4544adantr 452 . . . . . . . . 9
4623strlem2 23746 . . . . . . . . 9
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8
48 3simpa 954 . . . . . . . . . 10
4948adantr 452 . . . . . . . . 9
5023strlem2 23746 . . . . . . . . . 10
5123strlem2 23746 . . . . . . . . . 10
5250, 51oveqan12d 6092 . . . . . . . . 9
5349, 52syl 16 . . . . . . . 8
5442, 47, 533eqtr4d 2477 . . . . . . 7
55543exp1 1169 . . . . . 6
5655com3r 75 . . . . 5
5756adantr 452 . . . 4
5857ralrimdv 2787 . . 3
5958ralrimiv 2780 . 2
60 isst 23708 . 2
6124, 35, 59, 60syl3anbrc 1138 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cle 9113  c2 10041  cn0 10213  cicc 10911  cexp 11374  chil 22414   cva 22415  cno 22418  cch 22424  cort 22425   chj 22428   cpjh 22432  cst 22457 This theorem is referenced by:  strlem3  23748 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lm 17285  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-shs 22802  df-chj 22804  df-pjh 22889  df-st 23706
 Copyright terms: Public domain W3C validator