MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1 Structured version   Unicode version

Theorem strlemor1 13556
Description: Add one element to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor1.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )

Proof of Theorem strlemor1
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
21simpli 445 . . . . 5  |-  Fun  `' `' F
3 funcnvsn 5496 . . . . 5  |-  Fun  `' { <. X ,  J >. }
42, 3pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )
5 cnvcnvss 5325 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  F
6 dmss 5069 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  C_  F  ->  dom  `' `' F  C_  dom  F
)
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  `' `' F  C_  dom  F
8 cnvcnvsn 5347 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  =  `' { <. X ,  J >. }
9 cnvcnvss 5325 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  C_  { <. J ,  X >. }
108, 9eqsstr3i 3379 . . . . . . . 8  |-  `' { <. X ,  J >. } 
C_  { <. J ,  X >. }
11 dmss 5069 . . . . . . . 8  |-  ( `' { <. X ,  J >. }  C_  { <. J ,  X >. }  ->  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. } )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. }
13 dmsnopss 5342 . . . . . . 7  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  { J }
1412, 13sstri 3357 . . . . . 6  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J }
15 ss2in 3568 . . . . . 6  |-  ( ( dom  `' `' F  C_ 
dom  F  /\  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J } )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } ) )
167, 14, 15mp2an 654 . . . . 5  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } )
17 strlemor.o . . . . . . . . 9  |-  I  < 
J
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  e. 
NN0
1918nn0rei 10232 . . . . . . . . . 10  |-  I  e.  RR
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  NN
2120nnrei 10009 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  RR
2219, 21ltnlei 9194 . . . . . . . . 9  |-  ( I  <  J  <->  -.  J  <_  I )
2317, 22mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  -.  J  <_  I
24 elfzle2 11061 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... I )  ->  J  <_  I )
2523, 24mto 169 . . . . . . 7  |-  -.  J  e.  ( 1 ... I
)
261simpri 449 . . . . . . . 8  |-  dom  F  C_  ( 1 ... I
)
2726sseli 3344 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  dom  F  ->  J  e.  ( 1 ... I ) )
2825, 27mto 169 . . . . . 6  |-  -.  J  e.  dom  F
29 disjsn 3868 . . . . . 6  |-  ( ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  dom  F )
3028, 29mpbir 201 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  { J } )  =  (/)
31 sseq0 3659 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } ) 
C_  ( dom  F  i^i  { J } )  /\  ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )
3216, 30, 31mp2an 654 . . . 4  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/)
33 funun 5495 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )  /\  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
344, 32, 33mp2an 654 . . 3  |-  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  J
3736opeq1i 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  <. A ,  X >.  =  <. J ,  X >.
3837sneqi 3826 . . . . . . . . . 10  |-  { <. A ,  X >. }  =  { <. J ,  X >. }
3938uneq2i 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4035, 39eqtri 2456 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4140cnveqi 5047 . . . . . . 7  |-  `' G  =  `' ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
42 cnvun 5277 . . . . . . 7  |-  `' ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4341, 42eqtri 2456 . . . . . 6  |-  `' G  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4443cnveqi 5047 . . . . 5  |-  `' `' G  =  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
45 cnvun 5277 . . . . . 6  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )
468uneq2i 3498 . . . . . 6  |-  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4745, 46eqtri 2456 . . . . 5  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4844, 47eqtri 2456 . . . 4  |-  `' `' G  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4948funeqi 5474 . . 3  |-  ( Fun  `' `' G  <->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
5034, 49mpbir 201 . 2  |-  Fun  `' `' G
5140dmeqi 5071 . . . 4  |-  dom  G  =  dom  ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
52 dmun 5076 . . . 4  |-  dom  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5351, 52eqtri 2456 . . 3  |-  dom  G  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5418nn0zi 10306 . . . . . . 7  |-  I  e.  ZZ
5520nnzi 10305 . . . . . . 7  |-  J  e.  ZZ
5619, 21, 17ltleii 9196 . . . . . . 7  |-  I  <_  J
57 eluz2 10494 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  I  <_  J ) )
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1136 . . . . . 6  |-  J  e.  ( ZZ>= `  I )
59 fzss2 11092 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
)
6126, 60sstri 3357 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( 1 ... J
)
62 elfz1end 11081 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( 1 ... J
) )
6320, 62mpbi 200 . . . . . 6  |-  J  e.  ( 1 ... J
)
64 snssi 3942 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... J )  ->  { J }  C_  ( 1 ... J ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . 5  |-  { J }  C_  ( 1 ... J )
6613, 65sstri 3357 . . . 4  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  ( 1 ... J )
6761, 66unssi 3522 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )  C_  ( 1 ... J )
6853, 67eqsstri 3378 . 2  |-  dom  G  C_  ( 1 ... J
)
6950, 68pm3.2i 442 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   <.cop 3817   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   Fun wfun 5448   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  strlemor2  13557  strlemor3  13558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator