MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1 Unicode version

Theorem strlemor1 13235
Description: Add one element to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor1.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )

Proof of Theorem strlemor1
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
21simpli 444 . . . . 5  |-  Fun  `' `' F
3 funcnvsn 5297 . . . . 5  |-  Fun  `' { <. X ,  J >. }
42, 3pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )
5 cnvcnvss 5128 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  F
6 dmss 4878 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  C_  F  ->  dom  `' `' F  C_  dom  F
)
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  `' `' F  C_  dom  F
8 cnvcnvsn 5150 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  =  `' { <. X ,  J >. }
9 cnvcnvss 5128 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  C_  { <. J ,  X >. }
108, 9eqsstr3i 3209 . . . . . . . 8  |-  `' { <. X ,  J >. } 
C_  { <. J ,  X >. }
11 dmss 4878 . . . . . . . 8  |-  ( `' { <. X ,  J >. }  C_  { <. J ,  X >. }  ->  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. } )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. }
13 dmsnopss 5145 . . . . . . 7  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  { J }
1412, 13sstri 3188 . . . . . 6  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J }
15 ss2in 3396 . . . . . 6  |-  ( ( dom  `' `' F  C_ 
dom  F  /\  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J } )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } ) )
167, 14, 15mp2an 653 . . . . 5  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } )
17 strlemor.o . . . . . . . . 9  |-  I  < 
J
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  e. 
NN0
1918nn0rei 9976 . . . . . . . . . 10  |-  I  e.  RR
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  NN
2120nnrei 9755 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  RR
2219, 21ltnlei 8939 . . . . . . . . 9  |-  ( I  <  J  <->  -.  J  <_  I )
2317, 22mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  -.  J  <_  I
24 elfzle2 10800 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... I )  ->  J  <_  I )
2523, 24mto 167 . . . . . . 7  |-  -.  J  e.  ( 1 ... I
)
261simpri 448 . . . . . . . 8  |-  dom  F  C_  ( 1 ... I
)
2726sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  dom  F  ->  J  e.  ( 1 ... I ) )
2825, 27mto 167 . . . . . 6  |-  -.  J  e.  dom  F
29 disjsn 3693 . . . . . 6  |-  ( ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  dom  F )
3028, 29mpbir 200 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  { J } )  =  (/)
31 sseq0 3486 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } ) 
C_  ( dom  F  i^i  { J } )  /\  ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )
3216, 30, 31mp2an 653 . . . 4  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/)
33 funun 5296 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )  /\  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
344, 32, 33mp2an 653 . . 3  |-  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  J
3736opeq1i 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  <. A ,  X >.  =  <. J ,  X >.
3837sneqi 3652 . . . . . . . . . 10  |-  { <. A ,  X >. }  =  { <. J ,  X >. }
3938uneq2i 3326 . . . . . . . . 9  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4035, 39eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4140cnveqi 4856 . . . . . . 7  |-  `' G  =  `' ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
42 cnvun 5086 . . . . . . 7  |-  `' ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4341, 42eqtri 2303 . . . . . 6  |-  `' G  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4443cnveqi 4856 . . . . 5  |-  `' `' G  =  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
45 cnvun 5086 . . . . . 6  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )
468uneq2i 3326 . . . . . 6  |-  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4745, 46eqtri 2303 . . . . 5  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4844, 47eqtri 2303 . . . 4  |-  `' `' G  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4948funeqi 5275 . . 3  |-  ( Fun  `' `' G  <->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
5034, 49mpbir 200 . 2  |-  Fun  `' `' G
5140dmeqi 4880 . . . 4  |-  dom  G  =  dom  ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
52 dmun 4885 . . . 4  |-  dom  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5351, 52eqtri 2303 . . 3  |-  dom  G  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5418nn0zi 10048 . . . . . . 7  |-  I  e.  ZZ
5520nnzi 10047 . . . . . . 7  |-  J  e.  ZZ
5619, 21, 17ltleii 8941 . . . . . . 7  |-  I  <_  J
57 eluz2 10236 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  I  <_  J ) )
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1134 . . . . . 6  |-  J  e.  ( ZZ>= `  I )
59 fzss2 10831 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
)
6126, 60sstri 3188 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( 1 ... J
)
62 elfz1end 10820 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( 1 ... J
) )
6320, 62mpbi 199 . . . . . 6  |-  J  e.  ( 1 ... J
)
64 snssi 3759 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... J )  ->  { J }  C_  ( 1 ... J ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . 5  |-  { J }  C_  ( 1 ... J )
6613, 65sstri 3188 . . . 4  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  ( 1 ... J )
6761, 66unssi 3350 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )  C_  ( 1 ... J )
6853, 67eqsstri 3208 . 2  |-  dom  G  C_  ( 1 ... J
)
6950, 68pm3.2i 441 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  strlemor2  13236  strlemor3  13237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator