MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1 Unicode version

Theorem strlemor1 13511
Description: Add one element to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor1.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )

Proof of Theorem strlemor1
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
21simpli 445 . . . . 5  |-  Fun  `' `' F
3 funcnvsn 5455 . . . . 5  |-  Fun  `' { <. X ,  J >. }
42, 3pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )
5 cnvcnvss 5284 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  F
6 dmss 5028 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  C_  F  ->  dom  `' `' F  C_  dom  F
)
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  `' `' F  C_  dom  F
8 cnvcnvsn 5306 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  =  `' { <. X ,  J >. }
9 cnvcnvss 5284 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  C_  { <. J ,  X >. }
108, 9eqsstr3i 3339 . . . . . . . 8  |-  `' { <. X ,  J >. } 
C_  { <. J ,  X >. }
11 dmss 5028 . . . . . . . 8  |-  ( `' { <. X ,  J >. }  C_  { <. J ,  X >. }  ->  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. } )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. }
13 dmsnopss 5301 . . . . . . 7  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  { J }
1412, 13sstri 3317 . . . . . 6  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J }
15 ss2in 3528 . . . . . 6  |-  ( ( dom  `' `' F  C_ 
dom  F  /\  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J } )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } ) )
167, 14, 15mp2an 654 . . . . 5  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } )
17 strlemor.o . . . . . . . . 9  |-  I  < 
J
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  e. 
NN0
1918nn0rei 10188 . . . . . . . . . 10  |-  I  e.  RR
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  NN
2120nnrei 9965 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  RR
2219, 21ltnlei 9150 . . . . . . . . 9  |-  ( I  <  J  <->  -.  J  <_  I )
2317, 22mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  -.  J  <_  I
24 elfzle2 11017 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... I )  ->  J  <_  I )
2523, 24mto 169 . . . . . . 7  |-  -.  J  e.  ( 1 ... I
)
261simpri 449 . . . . . . . 8  |-  dom  F  C_  ( 1 ... I
)
2726sseli 3304 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  dom  F  ->  J  e.  ( 1 ... I ) )
2825, 27mto 169 . . . . . 6  |-  -.  J  e.  dom  F
29 disjsn 3828 . . . . . 6  |-  ( ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  dom  F )
3028, 29mpbir 201 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  { J } )  =  (/)
31 sseq0 3619 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } ) 
C_  ( dom  F  i^i  { J } )  /\  ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )
3216, 30, 31mp2an 654 . . . 4  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/)
33 funun 5454 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )  /\  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
344, 32, 33mp2an 654 . . 3  |-  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  J
3736opeq1i 3947 . . . . . . . . . . 11  |-  <. A ,  X >.  =  <. J ,  X >.
3837sneqi 3786 . . . . . . . . . 10  |-  { <. A ,  X >. }  =  { <. J ,  X >. }
3938uneq2i 3458 . . . . . . . . 9  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4035, 39eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4140cnveqi 5006 . . . . . . 7  |-  `' G  =  `' ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
42 cnvun 5236 . . . . . . 7  |-  `' ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4341, 42eqtri 2424 . . . . . 6  |-  `' G  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4443cnveqi 5006 . . . . 5  |-  `' `' G  =  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
45 cnvun 5236 . . . . . 6  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )
468uneq2i 3458 . . . . . 6  |-  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4745, 46eqtri 2424 . . . . 5  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4844, 47eqtri 2424 . . . 4  |-  `' `' G  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4948funeqi 5433 . . 3  |-  ( Fun  `' `' G  <->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
5034, 49mpbir 201 . 2  |-  Fun  `' `' G
5140dmeqi 5030 . . . 4  |-  dom  G  =  dom  ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
52 dmun 5035 . . . 4  |-  dom  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5351, 52eqtri 2424 . . 3  |-  dom  G  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5418nn0zi 10262 . . . . . . 7  |-  I  e.  ZZ
5520nnzi 10261 . . . . . . 7  |-  J  e.  ZZ
5619, 21, 17ltleii 9152 . . . . . . 7  |-  I  <_  J
57 eluz2 10450 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  I  <_  J ) )
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1136 . . . . . 6  |-  J  e.  ( ZZ>= `  I )
59 fzss2 11048 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
)
6126, 60sstri 3317 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( 1 ... J
)
62 elfz1end 11037 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( 1 ... J
) )
6320, 62mpbi 200 . . . . . 6  |-  J  e.  ( 1 ... J
)
64 snssi 3902 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... J )  ->  { J }  C_  ( 1 ... J ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . 5  |-  { J }  C_  ( 1 ... J )
6613, 65sstri 3317 . . . 4  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  ( 1 ... J )
6761, 66unssi 3482 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )  C_  ( 1 ... J )
6853, 67eqsstri 3338 . 2  |-  dom  G  C_  ( 1 ... J
)
6950, 68pm3.2i 442 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   Fun wfun 5407   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  strlemor2  13512  strlemor3  13513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator