MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor2 Unicode version

Theorem strlemor2 13252
Description: Add two elements to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor2.o  |-  J  < 
K
strlemor2.k  |-  K  e.  NN
strlemor2.b  |-  B  =  K
strlemor2.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor2  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... K
) )

Proof of Theorem strlemor2
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
2 strlemor.i . . 3  |-  I  e. 
NN0
3 strlemor.o . . 3  |-  I  < 
J
4 strlemor.j . . 3  |-  J  e.  NN
5 strlemor.a . . 3  |-  A  =  J
6 eqid 2296 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
71, 2, 3, 4, 5, 6strlemor1 13251 . 2  |-  ( Fun  `' `' ( F  u.  {
<. A ,  X >. } )  /\  dom  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  C_  ( 1 ... J
) )
84nnnn0i 9989 . 2  |-  J  e. 
NN0
9 strlemor2.o . 2  |-  J  < 
K
10 strlemor2.k . 2  |-  K  e.  NN
11 strlemor2.b . 2  |-  B  =  K
12 df-pr 3660 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  =  ( { <. A ,  X >. }  u.  { <. B ,  Y >. } )
1312uneq2i 3339 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. }  u.  { <. B ,  Y >. } ) )
14 strlemor2.g . . 3  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )
15 unass 3345 . . 3  |-  ( ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  u.  { <. B ,  Y >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. }  u.  { <. B ,  Y >. } ) )
1613, 14, 153eqtr4i 2326 . 2  |-  G  =  ( ( F  u.  {
<. A ,  X >. } )  u.  { <. B ,  Y >. } )
177, 8, 9, 10, 11, 16strlemor1 13251 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   Fun wfun 5265  (class class class)co 5874   1c1 8754    < clt 8883   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  strlemor3  13253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator