MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor3 Unicode version

Theorem strlemor3 13237
Description: Add three elements to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor2.o  |-  J  < 
K
strlemor2.k  |-  K  e.  NN
strlemor2.b  |-  B  =  K
strlemor3.o  |-  K  < 
L
strlemor3.l  |-  L  e.  NN
strlemor3.c  |-  C  =  L
strlemor3.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor3  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... L
) )

Proof of Theorem strlemor3
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
2 strlemor.i . . 3  |-  I  e. 
NN0
3 strlemor.o . . 3  |-  I  < 
J
4 strlemor.j . . 3  |-  J  e.  NN
5 strlemor.a . . 3  |-  A  =  J
6 strlemor2.o . . 3  |-  J  < 
K
7 strlemor2.k . . 3  |-  K  e.  NN
8 strlemor2.b . . 3  |-  B  =  K
9 eqid 2283 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strlemor2 13236 . 2  |-  ( Fun  `' `' ( F  u.  {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )  /\  dom  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  C_  ( 1 ... K
) )
117nnnn0i 9973 . 2  |-  K  e. 
NN0
12 strlemor3.o . 2  |-  K  < 
L
13 strlemor3.l . 2  |-  L  e.  NN
14 strlemor3.c . 2  |-  C  =  L
15 df-tp 3648 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
1615uneq2i 3326 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) )
17 strlemor3.g . . 3  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } )
18 unass 3332 . . 3  |-  ( ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  u.  { <. C ,  Z >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) )
1916, 17, 183eqtr4i 2313 . 2  |-  G  =  ( ( F  u.  {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )  u.  { <. C ,  Z >. } )
2010, 11, 12, 13, 14, 19strlemor1 13235 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   Fun wfun 5249  (class class class)co 5858   1c1 8738    < clt 8867   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ...cfz 10782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator