MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor3 Structured version   Unicode version

Theorem strlemor3 13563
Description: Add three elements to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor2.o  |-  J  < 
K
strlemor2.k  |-  K  e.  NN
strlemor2.b  |-  B  =  K
strlemor3.o  |-  K  < 
L
strlemor3.l  |-  L  e.  NN
strlemor3.c  |-  C  =  L
strlemor3.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor3  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... L
) )

Proof of Theorem strlemor3
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
2 strlemor.i . . 3  |-  I  e. 
NN0
3 strlemor.o . . 3  |-  I  < 
J
4 strlemor.j . . 3  |-  J  e.  NN
5 strlemor.a . . 3  |-  A  =  J
6 strlemor2.o . . 3  |-  J  < 
K
7 strlemor2.k . . 3  |-  K  e.  NN
8 strlemor2.b . . 3  |-  B  =  K
9 eqid 2438 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strlemor2 13562 . 2  |-  ( Fun  `' `' ( F  u.  {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )  /\  dom  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  C_  ( 1 ... K
) )
117nnnn0i 10234 . 2  |-  K  e. 
NN0
12 strlemor3.o . 2  |-  K  < 
L
13 strlemor3.l . 2  |-  L  e.  NN
14 strlemor3.c . 2  |-  C  =  L
15 df-tp 3824 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
1615uneq2i 3500 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) )
17 strlemor3.g . . 3  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } )
18 unass 3506 . . 3  |-  ( ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  u.  { <. C ,  Z >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) )
1916, 17, 183eqtr4i 2468 . 2  |-  G  =  ( ( F  u.  {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )  u.  { <. C ,  Z >. } )
2010, 11, 12, 13, 14, 19strlemor1 13561 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   Fun wfun 5451  (class class class)co 6084   1c1 8996    < clt 9125   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ...cfz 11048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator