MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor3 Unicode version

Theorem strlemor3 13546
Description: Add three elements to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor2.o  |-  J  < 
K
strlemor2.k  |-  K  e.  NN
strlemor2.b  |-  B  =  K
strlemor3.o  |-  K  < 
L
strlemor3.l  |-  L  e.  NN
strlemor3.c  |-  C  =  L
strlemor3.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor3  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... L
) )

Proof of Theorem strlemor3
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
2 strlemor.i . . 3  |-  I  e. 
NN0
3 strlemor.o . . 3  |-  I  < 
J
4 strlemor.j . . 3  |-  J  e.  NN
5 strlemor.a . . 3  |-  A  =  J
6 strlemor2.o . . 3  |-  J  < 
K
7 strlemor2.k . . 3  |-  K  e.  NN
8 strlemor2.b . . 3  |-  B  =  K
9 eqid 2435 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strlemor2 13545 . 2  |-  ( Fun  `' `' ( F  u.  {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )  /\  dom  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  C_  ( 1 ... K
) )
117nnnn0i 10218 . 2  |-  K  e. 
NN0
12 strlemor3.o . 2  |-  K  < 
L
13 strlemor3.l . 2  |-  L  e.  NN
14 strlemor3.c . 2  |-  C  =  L
15 df-tp 3814 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
1615uneq2i 3490 . . 3  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) )
17 strlemor3.g . . 3  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } )
18 unass 3496 . . 3  |-  ( ( F  u.  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } )  u.  { <. C ,  Z >. } )  =  ( F  u.  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) )
1916, 17, 183eqtr4i 2465 . 2  |-  G  =  ( ( F  u.  {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } )  u.  { <. C ,  Z >. } )
2010, 11, 12, 13, 14, 19strlemor1 13544 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   {cpr 3807   {ctp 3808   <.cop 3809   class class class wbr 4204   `'ccnv 4868   dom cdm 4869   Fun wfun 5439  (class class class)co 6072   1c1 8980    < clt 9109   NNcn 9989   NN0cn0 10210   ...cfz 11032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033
  Copyright terms: Public domain W3C validator