MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Unicode version

Theorem strleun 13254
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f  |-  F Struct  <. A ,  B >.
strleun.g  |-  G Struct  <. C ,  D >.
strleun.l  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
strleun  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6  |-  F Struct  <. A ,  B >.
2 isstruct 13174 . . . . . 6  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( A ... B ) ) )
31, 2mpbi 199 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) )
43simp1i 964 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )
54simp1i 964 . . 3  |-  A  e.  NN
6 strleun.g . . . . . 6  |-  G Struct  <. C ,  D >.
7 isstruct 13174 . . . . . 6  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  <->  (
( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/)
} )  /\  dom  G 
C_  ( C ... D ) ) )
86, 7mpbi 199 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) )
98simp1i 964 . . . 4  |-  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )
109simp2i 965 . . 3  |-  D  e.  NN
114simp3i 966 . . . . 5  |-  A  <_  B
124simp2i 965 . . . . . . 7  |-  B  e.  NN
1312nnrei 9771 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
149simp1i 964 . . . . . . 7  |-  C  e.  NN
1514nnrei 9771 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
16 strleun.l . . . . . 6  |-  B  < 
C
1713, 15, 16ltleii 8957 . . . . 5  |-  B  <_  C
185nnrei 9771 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
1918, 13, 15letri 8964 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
2011, 17, 19mp2an 653 . . . 4  |-  A  <_  C
219simp3i 966 . . . 4  |-  C  <_  D
2210nnrei 9771 . . . . 5  |-  D  e.  RR
2318, 15, 22letri 8964 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  A  <_  D )
2420, 21, 23mp2an 653 . . 3  |-  A  <_  D
255, 10, 243pm3.2i 1130 . 2  |-  ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )
263simp2i 965 . . . . 5  |-  Fun  ( F  \  { (/) } )
278simp2i 965 . . . . 5  |-  Fun  ( G  \  { (/) } )
2826, 27pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
29 difss 3316 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
30 dmss 4894 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  dom  F
323simp3i 966 . . . . . . 7  |-  dom  F  C_  ( A ... B
)
3331, 32sstri 3201 . . . . . 6  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  ( A ... B )
34 difss 3316 . . . . . . . 8  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
35 dmss 4894 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  dom  G
378simp3i 966 . . . . . . 7  |-  dom  G  C_  ( C ... D
)
3836, 37sstri 3201 . . . . . 6  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  ( C ... D )
39 ss2in 3409 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
4033, 38, 39mp2an 653 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  C_  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )
41 fzdisj 10833 . . . . . 6  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
4216, 41ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/)
43 sseq0 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4440, 42, 43mp2an 653 . . . 4  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
45 funun 5312 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4628, 44, 45mp2an 653 . . 3  |-  Fun  (
( F  \  { (/)
} )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
47 difundir 3435 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4847funeqi 5291 . . 3  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4946, 48mpbir 200 . 2  |-  Fun  (
( F  u.  G
)  \  { (/) } )
50 dmun 4901 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5112nnzi 10063 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
5210nnzi 10063 . . . . . . 7  |-  D  e.  ZZ
5313, 15, 22letri 8964 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  B  <_  D )
5417, 21, 53mp2an 653 . . . . . . 7  |-  B  <_  D
55 eluz2 10252 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1134 . . . . . 6  |-  D  e.  ( ZZ>= `  B )
57 fzss2 10847 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A ... B )  C_  ( A ... D )
5932, 58sstri 3201 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( A ... D
)
605nnzi 10063 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
6114nnzi 10063 . . . . . . 7  |-  C  e.  ZZ
62 eluz2 10252 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1134 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ZZ>= `  A )
64 fzss1 10846 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( C ... D )  C_  ( A ... D )
6637, 65sstri 3201 . . . 4  |-  dom  G  C_  ( A ... D
)
6759, 66unssi 3363 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  G
)  C_  ( A ... D )
6850, 67eqsstri 3221 . 2  |-  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
)
69 isstruct 13174 . 2  |-  ( ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1134 1  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   Struct cstr 13160
This theorem is referenced by:  strle2  13256  strle3  13257  srngfn  13279  lmodstr  13288  algstr  13293  phlstr  13303  odrngstr  13327  imasvalstr  13368  prdsvalstr  13369  ipostr  14272  psrvalstr  16127  cnfldstr  16395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166
  Copyright terms: Public domain W3C validator