MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Unicode version

Theorem strleun 13551
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f  |-  F Struct  <. A ,  B >.
strleun.g  |-  G Struct  <. C ,  D >.
strleun.l  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
strleun  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6  |-  F Struct  <. A ,  B >.
2 isstruct 13471 . . . . . 6  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( A ... B ) ) )
31, 2mpbi 200 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) )
43simp1i 966 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )
54simp1i 966 . . 3  |-  A  e.  NN
6 strleun.g . . . . . 6  |-  G Struct  <. C ,  D >.
7 isstruct 13471 . . . . . 6  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  <->  (
( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/)
} )  /\  dom  G 
C_  ( C ... D ) ) )
86, 7mpbi 200 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) )
98simp1i 966 . . . 4  |-  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )
109simp2i 967 . . 3  |-  D  e.  NN
114simp3i 968 . . . . 5  |-  A  <_  B
124simp2i 967 . . . . . . 7  |-  B  e.  NN
1312nnrei 10001 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
149simp1i 966 . . . . . . 7  |-  C  e.  NN
1514nnrei 10001 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
16 strleun.l . . . . . 6  |-  B  < 
C
1713, 15, 16ltleii 9188 . . . . 5  |-  B  <_  C
185nnrei 10001 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
1918, 13, 15letri 9194 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
2011, 17, 19mp2an 654 . . . 4  |-  A  <_  C
219simp3i 968 . . . 4  |-  C  <_  D
2210nnrei 10001 . . . . 5  |-  D  e.  RR
2318, 15, 22letri 9194 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  A  <_  D )
2420, 21, 23mp2an 654 . . 3  |-  A  <_  D
255, 10, 243pm3.2i 1132 . 2  |-  ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )
263simp2i 967 . . . . 5  |-  Fun  ( F  \  { (/) } )
278simp2i 967 . . . . 5  |-  Fun  ( G  \  { (/) } )
2826, 27pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
29 difss 3466 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
30 dmss 5061 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  dom  F
323simp3i 968 . . . . . . 7  |-  dom  F  C_  ( A ... B
)
3331, 32sstri 3349 . . . . . 6  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  ( A ... B )
34 difss 3466 . . . . . . . 8  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
35 dmss 5061 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  dom  G
378simp3i 968 . . . . . . 7  |-  dom  G  C_  ( C ... D
)
3836, 37sstri 3349 . . . . . 6  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  ( C ... D )
39 ss2in 3560 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
4033, 38, 39mp2an 654 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  C_  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )
41 fzdisj 11070 . . . . . 6  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
4216, 41ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/)
43 sseq0 3651 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4440, 42, 43mp2an 654 . . . 4  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
45 funun 5487 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4628, 44, 45mp2an 654 . . 3  |-  Fun  (
( F  \  { (/)
} )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
47 difundir 3586 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4847funeqi 5466 . . 3  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4946, 48mpbir 201 . 2  |-  Fun  (
( F  u.  G
)  \  { (/) } )
50 dmun 5068 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5112nnzi 10297 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
5210nnzi 10297 . . . . . . 7  |-  D  e.  ZZ
5313, 15, 22letri 9194 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  B  <_  D )
5417, 21, 53mp2an 654 . . . . . . 7  |-  B  <_  D
55 eluz2 10486 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1136 . . . . . 6  |-  D  e.  ( ZZ>= `  B )
57 fzss2 11084 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A ... B )  C_  ( A ... D )
5932, 58sstri 3349 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( A ... D
)
605nnzi 10297 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
6114nnzi 10297 . . . . . . 7  |-  C  e.  ZZ
62 eluz2 10486 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1136 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ZZ>= `  A )
64 fzss1 11083 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( C ... D )  C_  ( A ... D )
6637, 65sstri 3349 . . . 4  |-  dom  G  C_  ( A ... D
)
6759, 66unssi 3514 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  G
)  C_  ( A ... D )
6850, 67eqsstri 3370 . 2  |-  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
)
69 isstruct 13471 . 2  |-  ( ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1136 1  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   <.cop 3809   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   Fun wfun 5440   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   Struct cstr 13457
This theorem is referenced by:  strle2  13553  strle3  13554  srngfn  13576  lmodstr  13585  algstr  13590  phlstr  13600  odrngstr  13626  imasvalstr  13667  prdsvalstr  13668  ipostr  14571  psrvalstr  16422  cnfldstr  16697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463
  Copyright terms: Public domain W3C validator