Theorem strov2rcl 16594

Description: Reverse closure for polynomial-resembling things. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strov2rcl.s	|- S = ( I F R )
strov2rcl.b	|- B = ( Base ` S )
strov2rcl.f	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
strov2rcl	|- ( X e. B -> I e. _V )

Proof of Theorem strov2rcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3600	. . 3 |- -. X e. (/)
2		strov2rcl.s	. . . . . . 7 |- S = ( I F R )
3		strov2rcl.f	. . . . . . . 8 |- Rel dom F
4	3	ovprc1 6076	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> ( I F R ) = (/) )
5	2, 4	syl5eq 2456	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> S = (/) )
6	5	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) )
7		strov2rcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		base0 13469	. . . . 5 |- (/) = ( Base ` (/) )
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2469	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> B = (/) )
10	9	eleq2d 2479	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( X e. B <-> X e. (/) ) )
11	1, 10	mtbiri 295	. 2 |- ( -. I e. _V -> -. X e. B )
12	11	con4i 124	1 |- ( X e. B -> I e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   dom cdm 4845   Rel wrel 4850   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432

This theorem is referenced by:  psropprmul  16595  frlmrcl  27101

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ov 6051  df-slot 13436  df-base 13437