Theorem strov2rcl 16315

Description: Reverse closure for polynomial-resembling things. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strov2rcl.s	|- S = ( I F R )
strov2rcl.b	|- B = ( Base ` S )
strov2rcl.f	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
strov2rcl	|- ( X e. B -> I e. _V )

Proof of Theorem strov2rcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3459	. . 3 |- -. X e. (/)
2		strov2rcl.s	. . . . . . 7 |- S = ( I F R )
3		strov2rcl.f	. . . . . . . 8 |- Rel dom F
4	3	ovprc1 5886	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> ( I F R ) = (/) )
5	2, 4	syl5eq 2327	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> S = (/) )
6	5	fveq2d 5529	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) )
7		strov2rcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		base0 13185	. . . . 5 |- (/) = ( Base ` (/) )
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2340	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> B = (/) )
10	9	eleq2d 2350	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( X e. B <-> X e. (/) ) )
11	1, 10	mtbiri 294	. 2 |- ( -. I e. _V -> -. X e. B )
12	11	con4i 122	1 |- ( X e. B -> I e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1623   e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   dom cdm 4689   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148

This theorem is referenced by:  psropprmul  16316  frlmrcl  27225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-slot 13152  df-base 13153