MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strov2rcl Unicode version

Theorem strov2rcl 16594
Description: Reverse closure for polynomial-resembling things. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strov2rcl.s  |-  S  =  ( I F R )
strov2rcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
strov2rcl.f  |-  Rel  dom  F
Assertion
Ref Expression
strov2rcl  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )

Proof of Theorem strov2rcl
StepHypRef Expression
1 noel 3600 . . 3  |-  -.  X  e.  (/)
2 strov2rcl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( I F R )
3 strov2rcl.f . . . . . . . 8  |-  Rel  dom  F
43ovprc1 6076 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I F R )  =  (/) )
52, 4syl5eq 2456 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  S  =  (/) )
65fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
7 strov2rcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 base0 13469 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
96, 7, 83eqtr4g 2469 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
109eleq2d 2479 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  (/) ) )
111, 10mtbiri 295 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  X  e.  B )
1211con4i 124 1  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   dom cdm 4845   Rel wrel 4850   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432
This theorem is referenced by:  psropprmul  16595  frlmrcl  27101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ov 6051  df-slot 13436  df-base 13437
  Copyright terms: Public domain W3C validator