Theorem strov2rcl 16636

Description: Reverse closure for polynomial-resembling things. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strov2rcl.s	|- S = ( I F R )
strov2rcl.b	|- B = ( Base ` S )
strov2rcl.f	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
strov2rcl	|- ( X e. B -> I e. _V )

Proof of Theorem strov2rcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3634	. . 3 |- -. X e. (/)
2		strov2rcl.s	. . . . . . 7 |- S = ( I F R )
3		strov2rcl.f	. . . . . . . 8 |- Rel dom F
4	3	ovprc1 6112	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> ( I F R ) = (/) )
5	2, 4	syl5eq 2482	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> S = (/) )
6	5	fveq2d 5735	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) )
7		strov2rcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		base0 13511	. . . . 5 |- (/) = ( Base ` (/) )
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2495	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> B = (/) )
10	9	eleq2d 2505	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( X e. B <-> X e. (/) ) )
11	1, 10	mtbiri 296	. 2 |- ( -. I e. _V -> -. X e. B )
12	11	con4i 125	1 |- ( X e. B -> I e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1653   e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   dom cdm 4881   Rel wrel 4886   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474

This theorem is referenced by:  psropprmul  16637  frlmrcl  27216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-slot 13478  df-base 13479