MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv Unicode version

Theorem structcnvcnv 13206
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4754 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 cnvcnv 5163 . . . . . . . 8  |-  `' `' F  =  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )
3 inss2 3424 . . . . . . . 8  |-  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )  C_  ( _V  X.  _V )
42, 3eqsstri 3242 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3210 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  `' `' F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
)
61, 5mto 167 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  `' `' F
7 disjsn 3727 . . . . 5  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  `' `' F )
86, 7mpbir 200 . . . 4  |-  ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)
9 cnvcnvss 5165 . . . . 5  |-  `' `' F  C_  F
10 reldisj 3532 . . . . 5  |-  ( `' `' F  C_  F  -> 
( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F 
\  { (/) } ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } ) )
128, 11mpbi 199 . . 3  |-  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } )
1312a1i 10 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/)
} ) )
14 isstruct2 13204 . . . . . 6  |-  ( F Struct  X 
<->  ( X  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( ... `  X
) ) )
1514simp2bi 971 . . . . 5  |-  ( F Struct  X  ->  Fun  ( F  \  { (/) } ) )
16 funrel 5309 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( F Struct  X  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
18 dfrel2 5161 . . . 4  |-  ( Rel  ( F  \  { (/)
} )  <->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
1917, 18sylib 188 . . 3  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
20 difss 3337 . . . . 5  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
21 cnvss 4891 . . . . 5  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F )
22 cnvss 4891 . . . . 5  |-  ( `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2320, 21, 22mp2b 9 . . . 4  |-  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F
2423a1i 10 . . 3  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2519, 24eqsstr3d 3247 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2613, 25eqssd 3230 1  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   {csn 3674   class class class wbr 4060    X. cxp 4724   `'ccnv 4725   dom cdm 4726   Rel wrel 4731   Fun wfun 5286   ` cfv 5292    <_ cle 8913   NNcn 9791   ...cfz 10829   Struct cstr 13191
This theorem is referenced by:  structfun  13207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197
  Copyright terms: Public domain W3C validator