MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subadd2i Unicode version

Theorem subadd2i 9281
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 15-Dec-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1  |-  A  e.  CC
pncan3i.2  |-  B  e.  CC
subadd.3  |-  C  e.  CC
Assertion
Ref Expression
subadd2i  |-  ( ( A  -  B )  =  C  <->  ( C  +  B )  =  A )

Proof of Theorem subadd2i
StepHypRef Expression
1 negidi.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 pncan3i.2 . 2  |-  B  e.  CC
3 subadd.3 . 2  |-  C  e.  CC
4 subadd2 9202 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  =  C  <->  ( C  +  B )  =  A ) )
51, 2, 3, 4mp3an 1278 1  |-  ( ( A  -  B )  =  C  <->  ( C  +  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1647    e. wcel 1715  (class class class)co 5981   CCcc 8882    + caddc 8887    - cmin 9184
This theorem is referenced by:  ixi  9544  nummac  10307  cos1bnd  12675  cos2bnd  12676  3prm  12983  pockthi  13162  mod2xnegi  13294  modsubi  13295  sincos6thpi  20101  bclbnd  20742  itg2addnc  25677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-sub 9186
  Copyright terms: Public domain W3C validator