MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subaddrii Unicode version

Theorem subaddrii 9135
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1  |-  A  e.  CC
pncan3i.2  |-  B  e.  CC
subadd.3  |-  C  e.  CC
subaddri.4  |-  ( B  +  C )  =  A
Assertion
Ref Expression
subaddrii  |-  ( A  -  B )  =  C

Proof of Theorem subaddrii
StepHypRef Expression
1 subaddri.4 . 2  |-  ( B  +  C )  =  A
2 negidi.1 . . 3  |-  A  e.  CC
3 pncan3i.2 . . 3  |-  B  e.  CC
4 subadd.3 . . 3  |-  C  e.  CC
52, 3, 4subaddi 9133 . 2  |-  ( ( A  -  B )  =  C  <->  ( B  +  C )  =  A )
61, 5mpbir 200 1  |-  ( A  -  B )  =  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  2m1e1  9841  1mhlfehlf  9934  addltmul  9947  zeo  10097  bcn2  11331  geo2sum  12329  geo2sum2  12330  0.999...  12337  cos2tsin  12459  cos1bnd  12467  cos2bnd  12468  odd2np1  12587  oddp1even  12589  prmdiv  12853  pythagtriplem1  12869  htpycc  18478  pco1  18513  pcohtpylem  18517  pcopt  18520  pcoass  18522  pcorevlem  18524  iblitg  19123  aaliou3lem3  19724  cos2pi  19844  cosq14gt0  19878  cosq14ge0  19879  sincos6thpi  19883  pige3  19885  cosne0  19892  resinf1o  19898  logimul  19968  ang180lem2  20108  ang180lem3  20109  1cubrlem  20137  1cubr  20138  mcubic  20143  quart1  20152  quartlem1  20153  acosneg  20183  acosbnd  20196  atanlogsublem  20211  atans2  20227  log2ublem3  20244  ppiprm  20389  ppinprm  20390  chtprm  20391  chtnprm  20392  chtub  20451  lgslem4  20538  lgsdir2lem1  20562  lgsdir2lem2  20563  lgsdir2lem3  20564  lgseisenlem1  20588  rplogsumlem1  20633  logdivsum  20682  log2sumbnd  20693  ex-fl  20834  normpar2i  21735  addltmulALT  23026  subfacp1lem5  23715  4bc3eq4  24098  4bc2eq6  24099  halfthird  24100  5recm6rec  24101  axlowdimlem16  24585  axlowdim  24589  bpoly2  24792  bpoly3  24793  bpoly4  24794  fsumcube  24795  2eq3m1  25179  lhe4.4ex1a  27546  wallispilem4  27817  stirlinglem8  27830  5m4e1  28259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator