MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subaddrii Unicode version

Theorem subaddrii 9222
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1  |-  A  e.  CC
pncan3i.2  |-  B  e.  CC
subadd.3  |-  C  e.  CC
subaddri.4  |-  ( B  +  C )  =  A
Assertion
Ref Expression
subaddrii  |-  ( A  -  B )  =  C

Proof of Theorem subaddrii
StepHypRef Expression
1 subaddri.4 . 2  |-  ( B  +  C )  =  A
2 negidi.1 . . 3  |-  A  e.  CC
3 pncan3i.2 . . 3  |-  B  e.  CC
4 subadd.3 . . 3  |-  C  e.  CC
52, 3, 4subaddi 9220 . 2  |-  ( ( A  -  B )  =  C  <->  ( B  +  C )  =  A )
61, 5mpbir 200 1  |-  ( A  -  B )  =  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710  (class class class)co 5942   CCcc 8822    + caddc 8827    - cmin 9124
This theorem is referenced by:  2m1e1  9928  3m1e2  9929  3m1e2OLD  9930  1mhlfehlf  10023  addltmul  10036  zeo  10186  bcn2  11421  geo2sum  12420  geo2sum2  12421  0.999...  12428  cos2tsin  12550  cos1bnd  12558  cos2bnd  12559  odd2np1  12678  oddp1even  12680  prmdiv  12944  pythagtriplem1  12960  htpycc  18576  pco1  18611  pcohtpylem  18615  pcopt  18618  pcoass  18620  pcorevlem  18622  iblitg  19221  aaliou3lem3  19822  cos2pi  19945  cosq14gt0  19979  cosq14ge0  19980  sincos6thpi  19984  pige3  19986  cosne0  19993  resinf1o  19999  logimul  20070  ang180lem2  20213  ang180lem3  20214  1cubrlem  20242  1cubr  20243  mcubic  20248  quart1  20257  quartlem1  20258  acosneg  20288  acosbnd  20301  atanlogsublem  20316  atans2  20332  log2ublem3  20349  ppiprm  20495  ppinprm  20496  chtprm  20497  chtnprm  20498  chtub  20557  lgslem4  20644  lgsdir2lem1  20668  lgsdir2lem2  20669  lgsdir2lem3  20670  lgseisenlem1  20694  rplogsumlem1  20739  logdivsum  20788  log2sumbnd  20799  ex-fl  20940  normpar2i  21843  addltmulALT  23134  subfacp1lem5  24119  4bc3eq4  24504  4bc2eq6  24505  halfthird  24506  5recm6rec  24507  axlowdimlem16  25144  axlowdim  25148  bpoly2  25351  bpoly3  25352  bpoly4  25353  fsumcube  25354  lhe4.4ex1a  26869  wallispilem4  27140  stirlinglem8  27153  fzo0to3tp  27455  fzo0to42pr  27456  5m4e1  27945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-ltxr 8959  df-sub 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator