MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subaddrii Structured version   Unicode version

Theorem subaddrii 9394
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1  |-  A  e.  CC
pncan3i.2  |-  B  e.  CC
subadd.3  |-  C  e.  CC
subaddri.4  |-  ( B  +  C )  =  A
Assertion
Ref Expression
subaddrii  |-  ( A  -  B )  =  C

Proof of Theorem subaddrii
StepHypRef Expression
1 subaddri.4 . 2  |-  ( B  +  C )  =  A
2 negidi.1 . . 3  |-  A  e.  CC
3 pncan3i.2 . . 3  |-  B  e.  CC
4 subadd.3 . . 3  |-  C  e.  CC
52, 3, 4subaddi 9392 . 2  |-  ( ( A  -  B )  =  C  <->  ( B  +  C )  =  A )
61, 5mpbir 202 1  |-  ( A  -  B )  =  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   CCcc 8993    + caddc 8998    - cmin 9296
This theorem is referenced by:  2m1e1  10100  3m1e2  10101  3m1e2OLD  10102  fzo0to42pr  11191  0.999...  12663  cos1bnd  12793  cos2bnd  12794  pythagtriplem1  13195  iblitg  19663  cosq14gt0  20423  cosq14ge0  20424  sincos6thpi  20428  pige3  20430  cosne0  20437  resinf1o  20443  logimul  20514  ang180lem2  20657  mcubic  20692  quartlem1  20702  acosneg  20732  acosbnd  20745  atanlogsublem  20760  chtub  21001  lgsdir2lem1  21112  lgsdir2lem2  21113  lgsdir2lem3  21114  normpar2i  22663  addltmulALT  23954  4bc3eq4  25208  4bc2eq6  25209  halfthird  25210  5recm6rec  25211  bpoly3  26109  bpoly4  26110  lhe4.4ex1a  27537  stoweidlem13  27752  stoweidlem26  27765  wallispilem4  27807  wallispi2lem1  27810  stirlinglem8  27820  5m4e1  28609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298
  Copyright terms: Public domain W3C validator