Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subbascn Unicode version

Theorem subbascn 16984
 Description: The contininuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1 TopOn
subbascn.2
subbascn.3
subbascn.4 TopOn
Assertion
Ref Expression
subbascn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3 TopOn
2 subbascn.3 . . 3
3 subbascn.4 . . 3 TopOn
41, 2, 3tgcn 16982 . 2
5 subbascn.2 . . . . . 6
65adantr 451 . . . . 5
7 ssfii 7172 . . . . 5
8 ssralv 3237 . . . . 5
96, 7, 83syl 18 . . . 4
10 vex 2791 . . . . . . . . 9
11 elfi 7167 . . . . . . . . 9
1210, 6, 11sylancr 644 . . . . . . . 8
13 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . 13
1413imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . 12
15 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . 14
1615ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 10syl6eqelr 2372 . . . . . . . . . . . . . 14
18 intex 4167 . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13
20 intpreima 5656 . . . . . . . . . . . . 13
2116, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
2214, 21eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11
23 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
241, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
26 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13
27 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12
29 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029, 27sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14
31 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
33 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . 13
34 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 33, 34sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
36 iinopn 16648 . . . . . . . . . . . 12
3725, 28, 19, 35, 36syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11
3822, 37eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10
39383exp2 1169 . . . . . . . . 9
4039rexlimdv 2666 . . . . . . . 8
4112, 40sylbid 206 . . . . . . 7
4241com23 72 . . . . . 6
4342ralrimdv 2632 . . . . 5
44 imaeq2 5008 . . . . . . 7
4544eleq1d 2349 . . . . . 6
4645cbvralv 2764 . . . . 5
4743, 46syl6ibr 218 . . . 4
489, 47impbid 183 . . 3
4948pm5.32da 622 . 2
504, 49bitrd 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  cint 3862  ciin 3906  ccnv 4688  cima 4692   wfun 5249  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cfi 7164  ctg 13342  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccn 16954 This theorem is referenced by:  xkoccn  17313  ptrescn  17333  xkoco1cn  17351  xkoco2cn  17352  xkococn  17354  xkoinjcn  17381  ordthmeolem  17492 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
 Copyright terms: Public domain W3C validator