Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subbascn Structured version   Unicode version

Theorem subbascn 17308
 Description: The contininuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1 TopOn
subbascn.2
subbascn.3
subbascn.4 TopOn
Assertion
Ref Expression
subbascn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3 TopOn
2 subbascn.3 . . 3
3 subbascn.4 . . 3 TopOn
41, 2, 3tgcn 17306 . 2
5 subbascn.2 . . . . . 6
65adantr 452 . . . . 5
7 ssfii 7416 . . . . 5
8 ssralv 3399 . . . . 5
96, 7, 83syl 19 . . . 4
10 vex 2951 . . . . . . . . 9
11 elfi 7410 . . . . . . . . 9
1210, 6, 11sylancr 645 . . . . . . . 8
13 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . 13
1413imaeq2d 5195 . . . . . . . . . . . 12
15 ffun 5585 . . . . . . . . . . . . . 14
1615ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 10syl6eqelr 2524 . . . . . . . . . . . . . 14
18 intex 4348 . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13
20 intpreima 5853 . . . . . . . . . . . . 13
2116, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
2214, 21eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11
23 topontop 16981 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
241, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2524ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
26 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . 13
27 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27sseldi 3338 . . . . . . . . . . . 12
29 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029, 27sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14
3130elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . 13
32 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . 13
33 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 32, 33sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
35 iinopn 16965 . . . . . . . . . . . 12
3625, 28, 19, 34, 35syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11
3722, 36eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10
38373exp2 1171 . . . . . . . . 9
3938rexlimdv 2821 . . . . . . . 8
4012, 39sylbid 207 . . . . . . 7
4140com23 74 . . . . . 6
4241ralrimdv 2787 . . . . 5
43 imaeq2 5191 . . . . . . 7
4443eleq1d 2501 . . . . . 6
4544cbvralv 2924 . . . . 5
4642, 45syl6ibr 219 . . . 4
479, 46impbid 184 . . 3
4847pm5.32da 623 . 2
494, 48bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cint 4042  ciin 4086  ccnv 4869  cima 4873   wfun 5440  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cfi 7407  ctg 13655  ctop 16948  TopOnctopon 16949   ccn 17278 This theorem is referenced by:  xkoccn  17641  ptrescn  17661  xkoco1cn  17679  xkoco2cn  17680  xkococn  17682  xkoinjcn  17709  ordthmeolem  17823 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13657  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cn 17281
 Copyright terms: Public domain W3C validator