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Theorem subbascn 16984
Description: The contininuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
subbascn.2  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
subbascn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
subbascn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
subbascn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, F    y, J    y, X    y, Y    y, K
Allowed substitution hints:    ph( y)    V( y)

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 subbascn.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
3 subbascn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
41, 2, 3tgcn 16982 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
5 subbascn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  B  e.  V )
7 ssfii 7172 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( fi `  B
) )
8 ssralv 3237 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( fi `  B )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
96, 7, 83syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
10 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
11 elfi 7167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( x  e.  ( fi `  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z
) )
1210, 6, 11sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) x  =  |^| z ) )
13 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  x  =  |^| z )
1413imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F "
|^| z ) )
15 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
1615ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  Fun  F )
1713, 10syl6eqelr 2372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^| z  e.  _V )
18 intex 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
1917, 18sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  =/=  (/) )
20 intpreima 5656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2116, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2214, 21eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y ) )
23 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
241, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  J  e.  Top )
26 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
27 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
2826, 27sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  Fin )
29 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
3029, 27sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ~P B )
31 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ~P B  -> 
z  C_  B )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  C_  B )
33 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J )
34 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
3532, 33, 34sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
36 iinopn 16648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/)  /\  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
)
3725, 28, 19, 35, 36syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
3822, 37eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
39383exp2 1169 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) ) )
4039rexlimdv 2666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4112, 40sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4241com23 72 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4342ralrimdv 2632 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
) )
44 imaeq2 5008 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " x ) )
4544eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
4645cbvralv 2764 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
)
4743, 46syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) )
489, 47impbid 183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
4948pm5.32da 622 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
504, 49bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862   |^|_ciin 3906   `'ccnv 4688   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   ficfi 7164   topGenctg 13342   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  xkoccn  17313  ptrescn  17333  xkoco1cn  17351  xkoco2cn  17352  xkococn  17354  xkoinjcn  17381  ordthmeolem  17492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
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