Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Unicode version

Theorem subccatid 14074
 Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 cat
subccat.j Subcat
subccatid.1
subccatid.2
Assertion
Ref Expression
subccatid
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 cat
2 eqid 2442 . . 3
3 subccat.j . . . 4 Subcat
4 subcrcl 14047 . . . 4 Subcat
53, 4syl 16 . . 3
6 subccatid.1 . . 3
73, 6, 2subcss1 14070 . . 3
81, 2, 5, 6, 7rescbas 14060 . 2
91, 2, 5, 6, 7reschom 14061 . 2
10 eqid 2442 . . 3 comp comp
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 14063 . 2 comp comp
12 ovex 6135 . . . 4 cat
131, 12eqeltri 2512 . . 3
1413a1i 11 . 2
15 biid 229 . 2
163adantr 453 . . 3 Subcat
18 simpr 449 . . 3
19 subccatid.2 . . 3
2016, 17, 18, 19subcidcl 14072 . 2
21 eqid 2442 . . 3
237adantr 453 . . . 4
24 simpr1l 1015 . . . 4
2523, 24sseldd 3335 . . 3
26 simpr1r 1016 . . . 4
2723, 26sseldd 3335 . . 3
283adantr 453 . . . . 5 Subcat
296adantr 453 . . . . 5
3028, 29, 21, 24, 26subcss2 14071 . . . 4
31 simpr31 1048 . . . 4
3230, 31sseldd 3335 . . 3
332, 21, 19, 22, 25, 10, 27, 32catlid 13939 . 2 comp
34 simpr2l 1017 . . . 4
3523, 34sseldd 3335 . . 3
3628, 29, 21, 26, 34subcss2 14071 . . . 4
37 simpr32 1049 . . . 4
3836, 37sseldd 3335 . . 3
392, 21, 19, 22, 27, 10, 35, 38catrid 13940 . 2 comp
4028, 29, 24, 10, 26, 34, 31, 37subccocl 14073 . 2 comp
41 simpr2r 1018 . . . 4
4223, 41sseldd 3335 . . 3
4328, 29, 21, 34, 41subcss2 14071 . . . 4
44 simpr33 1050 . . . 4
4543, 44sseldd 3335 . . 3
462, 21, 10, 22, 25, 27, 35, 32, 38, 42, 45catass 13942 . 2 comp comp comp comp
478, 9, 11, 14, 15, 20, 33, 39, 40, 46iscatd2 13937 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  cvv 2962   wss 3306   cmpt 4291   cxp 4905   wfn 5478  cfv 5483  (class class class)co 6110  cbs 13500   chom 13571  compcco 13572  ccat 13920  ccid 13921   cat cresc 14039  Subcatcsubc 14040 This theorem is referenced by:  subcid  14075  subccat  14076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-hom 13584  df-cco 13585  df-cat 13924  df-cid 13925  df-homf 13926  df-ssc 14041  df-resc 14042  df-subc 14043
 Copyright terms: Public domain W3C validator