Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcidcl Structured version   Unicode version

Theorem subcidcl 14031
 Description: The identity of the original category is contained in each subcategory. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subcidcl.j Subcat
subcidcl.2
subcidcl.x
subcidcl.1
Assertion
Ref Expression
subcidcl

Proof of Theorem subcidcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subcidcl.x . 2
2 subcidcl.j . . . . 5 Subcat
3 eqid 2435 . . . . . 6 f f
4 subcidcl.1 . . . . . 6
5 eqid 2435 . . . . . 6 comp comp
6 subcrcl 14006 . . . . . . 7 Subcat
72, 6syl 16 . . . . . 6
8 subcidcl.2 . . . . . 6
93, 4, 5, 7, 8issubc2 14026 . . . . 5 Subcat cat f comp
102, 9mpbid 202 . . . 4 cat f comp
1110simprd 450 . . 3 comp
12 simpl 444 . . . 4 comp
1312ralimi 2773 . . 3 comp
1411, 13syl 16 . 2
15 fveq2 5720 . . . 4
16 id 20 . . . . 5
1716, 16oveq12d 6091 . . . 4
1815, 17eleq12d 2503 . . 3
1918rspcv 3040 . 2
201, 14, 19sylc 58 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868   wfn 5441  cfv 5446  (class class class)co 6073  compcco 13531  ccat 13879  ccid 13880   f chomf 13881   cat cssc 13997  Subcatcsubc 13999 This theorem is referenced by:  subccatid  14033  issubc3  14036  funcres  14083 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-ssc 14000  df-subc 14002
 Copyright terms: Public domain W3C validator