MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcl Unicode version

Theorem subcl 9051
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 9043 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  =  ( iota_ x  e.  CC ( B  +  x )  =  A ) )
2 negeu 9042 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
32ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
4 riotacl 6319 . . 3  |-  ( E! x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A  ->  ( iota_ x  e.  CC ( B  +  x )  =  A )  e.  CC )
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( iota_ x  e.  CC ( B  +  x
)  =  A )  e.  CC )
61, 5eqeltrd 2357 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!wreu 2545  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  negcl  9052  subf  9053  pncan3  9059  npcan  9060  addsubass  9061  addsub  9062  addsub12  9064  addsubeq4  9066  npncan  9069  nppcan  9070  nppcan3  9071  subcan2  9072  subsub2  9075  subsub4  9080  nnncan  9082  nnncan1  9083  nnncan2  9084  npncan3  9085  addsub4  9090  subadd4  9091  subcli  9122  subcld  9157  subdi  9213  subdir  9214  mulsub2  9223  recextlem1  9398  recex  9400  div2sub  9585  cju  9742  halfaddsubcl  9944  halfaddsub  9945  elnnnn0  10007  uzindOLD  10106  iccf1o  10778  sersub  11089  sqsubswap  11165  subsq  11210  subsq2  11211  bcn2  11331  shftval2  11570  2shfti  11575  sqabssub  11768  abssub  11810  abs3dif  11815  abs2dif  11816  abs2difabs  11818  climuni  12026  cjcn2  12073  recn2  12074  imcn2  12075  o1sub  12089  climsub  12107  caucvgr  12148  iseralt  12157  fsum0diag2  12245  arisum2  12319  geoserg  12324  geolim  12326  geolim2  12327  georeclim  12328  geo2sum  12329  geoisum1c  12336  tanadd  12447  addsin  12450  fzocongeq  12582  odd2np1  12587  divalglem9  12600  phiprm  12845  pythagtriplem4  12872  pythagtriplem12  12879  pythagtriplem14  12881  pythagtriplem16  12883  fldivp1  12945  4sqlem19  13010  vdwapun  13021  vdwlem6  13033  xrsdsreclb  16418  cnmet  18281  icccvx  18448  reparphti  18495  pcorevlem  18524  cncmet  18744  dveflem  19326  dvef  19327  dv11cn  19348  coeeulem  19606  geolim3  19719  abelthlem2  19808  abelthlem7  19814  efimpi  19859  ptolemy  19864  tangtx  19873  abssinper  19886  cosne0  19892  tanregt0  19901  eflogeq  19955  logneg2  19969  advlogexp  20002  logtayl  20007  logtayl2  20009  ang180lem1  20107  ang180lem2  20108  ang180lem3  20109  lawcos  20114  pythag  20115  isosctrlem1  20118  isosctrlem2  20119  asinlem  20164  asinlem2  20165  asinlem3a  20166  asinlem3  20167  asinf  20168  acosf  20170  atanf  20176  asinneg  20182  efiasin  20184  sinasin  20185  asinsin  20188  acoscos  20189  asinbnd  20195  cosasin  20200  atanneg  20203  atancj  20206  efiatan  20208  atanlogaddlem  20209  atanlogadd  20210  atanlogsublem  20211  atanlogsub  20212  efiatan2  20213  2efiatan  20214  cosatan  20217  atantan  20219  atanbndlem  20221  atans2  20227  dvatan  20231  atantayl  20233  atantayl2  20234  birthdaylem2  20247  scvxcvx  20280  basellem8  20325  1sgm2ppw  20439  logfacbnd3  20462  logfacrlim  20463  perfect1  20467  dchrsum2  20507  sumdchr2  20509  bposlem9  20531  lgsquad2  20599  rplogsumlem1  20633  dchrmusum2  20643  log2sumbnd  20693  pntrsumo1  20714  hvmulcan2  21652  subfacp1lem6  23716  cvxscon  23774  rescon  23777  sinccvglem  24005  mulcan1g  24084  subeqrev  24092  brbtwn2  24533  colinearalg  24538  axcgrid  24544  axsegconlem1  24545  ax5seglem1  24556  ax5seglem2  24557  ax5seglem3  24559  ax5seglem5  24561  ax5seglem9  24565  axbtwnid  24567  axeuclidlem  24590  axcontlem2  24593  axcontlem4  24595  axcontlem7  24598  axcontlem8  24599  bpoly2  24792  bpoly3  24793  fsumcube  24795  mslb1  25607  2wsms  25608  lvsovso  25626  issubrv  25672  rmspecsqrnq  26991  jm2.17a  27047  acongeq  27070  jm2.27c  27100  lhe4.4ex1a  27546  dvconstbi  27551  stoweidlem1  27750  stoweidlem11  27760  stoweidlem13  27762  stoweidlem26  27775  stoweid  27812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator