MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcld Unicode version

Theorem subcld 9157
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subcl 9051 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  muleqadd  9412  hashfz  11381  hashfzo  11383  hashf1lem2  11394  hashf1  11395  ccatswrd  11459  crre  11599  remim  11602  remullem  11613  abs3lem  11822  caubnd2  11841  rlimuni  12024  climuni  12026  rlimcld2  12052  rlimrege0  12053  rlimrecl  12054  mulcn2  12069  reccn2  12070  cn1lem  12071  o1sub  12089  rlimo1  12090  o1dif  12103  rlimsqzlem  12122  caucvgrlem2  12147  iseralt  12157  fsumparts  12264  cvgcmpce  12276  incexclem  12295  arisum2  12319  geoserg  12324  geo2sum2  12330  sinf  12404  tanval2  12413  tanval3  12414  sinneg  12426  efival  12432  sinhval  12434  bitsinv1lem  12632  bitsres  12664  pythagtriplem1  12869  pythagtriplem14  12881  pythagtriplem17  12884  4sqlem5  12989  mul4sqlem  13000  4sqlem17  13008  vdwlem5  13032  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  blcvx  18304  recld2  18320  addcnlem  18368  cnllycmp  18454  ipcnlem2  18671  pjthlem1  18801  ovollb2lem  18847  itgcnlem  19144  dvlem  19246  dvconst  19266  dvid  19267  dvcnp2  19269  dvaddbr  19287  dvmulbr  19288  dvcobr  19295  dvcjbr  19298  dvrec  19304  dvmptim  19319  dvcnvlem  19323  dveflem  19326  dvsincos  19328  cmvth  19338  dvlip  19340  dvlipcn  19341  c1liplem1  19343  dveq0  19347  dv11cn  19348  dvle  19354  lhop1lem  19360  dvfsumabs  19370  dvfsumlem1  19373  dvfsumlem2  19374  dvfsumrlim  19378  dvfsumrlim2  19379  ftc1lem4  19386  ftc1lem5  19387  ftc2  19391  dgrcolem2  19655  plydiveu  19678  aaliou2b  19721  taylfvallem1  19736  taylply2  19747  dvtaylp  19749  dvntaylp  19750  taylthlem1  19752  taylthlem2  19753  ulmbdd  19775  ulmcn  19776  ulmdvlem1  19777  mtest  19781  iblulm  19783  itgulm  19784  abelthlem9  19816  ptolemy  19864  tangtx  19873  sineq0  19889  efeq1  19891  efif1olem4  19907  tanarg  19970  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  advlogexp  20002  efopn  20005  cxpcn3lem  20087  cxpeq  20097  ang180lem4  20110  ang180lem5  20111  ang180  20112  isosctrlem2  20119  isosctrlem3  20120  isosctr  20121  ssscongptld  20122  affineequiv  20123  affineequiv2  20124  angpieqvdlem  20125  angpieqvdlem2  20126  angpined  20127  angpieqvd  20128  chordthmlem  20129  chordthmlem2  20130  chordthmlem3  20131  chordthmlem4  20132  chordthmlem5  20133  quad2  20135  quad  20136  dcubic1lem  20139  dcubic  20142  mcubic  20143  cubic2  20144  cubic  20145  dquartlem1  20147  dquartlem2  20148  dquart  20149  quart1cl  20150  quart1lem  20151  quart1  20152  quartlem2  20154  quartlem4  20156  quart  20157  atanf  20176  sinasin  20185  asinsin  20188  atanneg  20203  atancj  20206  efiatan  20208  atanlogsub  20212  efiatan2  20213  2efiatan  20214  atanbndlem  20221  dvatan  20231  atantayl  20233  ftalem2  20311  logfacrlim  20463  logexprlim  20464  lgsdirprm  20568  vmadivsum  20631  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  rpvmasum2  20661  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  rplogsum  20676  mudivsum  20679  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  selberglem1  20694  selberglem2  20695  selberg2lem  20699  selberg2  20700  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumo1  20714  selberg3r  20718  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntibndlem2  20740  pntlemf  20754  pntlemo  20756  smcnlem  21270  ipval2  21280  4ipval2  21281  4ipval3  21285  dipcj  21290  pjhthlem1  21970  bcm1n  23032  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  lt2addrd  23249  sqsscirc2  23293  subfaclim  23719  brbtwn2  24533  colinearalglem1  24534  colinearalglem2  24535  colinearalg  24538  axsegconlem1  24545  ax5seglem2  24557  ax5seglem6  24562  ax5seglem9  24565  axlowdimlem17  24586  axcontlem7  24598  axcontlem8  24599  bpolycl  24787  bpoly4  24794  dvreasin  24923  dvreacos  24924  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  areacirclem5  24929  areacirc  24931  lvsovso  25626  cntotbnd  26520  rencldnfilem  26903  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell1234qrne0  26938  pell1234qrmulcl  26940  rmyluc  27022  jm2.18  27081  jm2.19  27086  lhe4.4ex1a  27546  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2lem2  27821  wallispi2  27822  stirlinglem1  27823  stirlinglem4  27826  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem11  27833  sigarmf  27844  sigarms  27846  sigarexp  27849  sigardiv  27851  sigarcol  27854  sharhght  27855  sigaradd  27856  cevathlem2  27858  cevath  27859  sinhpcosh  28210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator