MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcld Unicode version

Theorem subcld 9173
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subcl 9067 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  muleqadd  9428  hashfz  11397  hashfzo  11399  hashf1lem2  11410  hashf1  11411  ccatswrd  11475  crre  11615  remim  11618  remullem  11629  abs3lem  11838  caubnd2  11857  rlimuni  12040  climuni  12042  rlimcld2  12068  rlimrege0  12069  rlimrecl  12070  mulcn2  12085  reccn2  12086  cn1lem  12087  o1sub  12105  rlimo1  12106  o1dif  12119  rlimsqzlem  12138  caucvgrlem2  12163  iseralt  12173  fsumparts  12280  cvgcmpce  12292  incexclem  12311  arisum2  12335  geoserg  12340  geo2sum2  12346  sinf  12420  tanval2  12429  tanval3  12430  sinneg  12442  efival  12448  sinhval  12450  bitsinv1lem  12648  bitsres  12680  pythagtriplem1  12885  pythagtriplem14  12897  pythagtriplem17  12900  4sqlem5  13005  mul4sqlem  13016  4sqlem17  13024  vdwlem5  13048  vdwlem6  13049  vdwlem8  13051  blcvx  18320  recld2  18336  addcnlem  18384  cnllycmp  18470  ipcnlem2  18687  pjthlem1  18817  ovollb2lem  18863  itgcnlem  19160  dvlem  19262  dvconst  19282  dvid  19283  dvcnp2  19285  dvaddbr  19303  dvmulbr  19304  dvcobr  19311  dvcjbr  19314  dvrec  19320  dvmptim  19335  dvcnvlem  19339  dveflem  19342  dvsincos  19344  cmvth  19354  dvlip  19356  dvlipcn  19357  c1liplem1  19359  dveq0  19363  dv11cn  19364  dvle  19370  lhop1lem  19376  dvfsumabs  19386  dvfsumlem1  19389  dvfsumlem2  19390  dvfsumrlim  19394  dvfsumrlim2  19395  ftc1lem4  19402  ftc1lem5  19403  ftc2  19407  dgrcolem2  19671  plydiveu  19694  aaliou2b  19737  taylfvallem1  19752  taylply2  19763  dvtaylp  19765  dvntaylp  19766  taylthlem1  19768  taylthlem2  19769  ulmbdd  19791  ulmcn  19792  ulmdvlem1  19793  mtest  19797  iblulm  19799  itgulm  19800  abelthlem9  19832  ptolemy  19880  tangtx  19889  sineq0  19905  efeq1  19907  efif1olem4  19923  tanarg  19986  logcnlem3  20007  logcnlem4  20008  advlogexp  20018  efopn  20021  cxpcn3lem  20103  cxpeq  20113  ang180lem4  20126  ang180lem5  20127  ang180  20128  isosctrlem2  20135  isosctrlem3  20136  isosctr  20137  ssscongptld  20138  affineequiv  20139  affineequiv2  20140  angpieqvdlem  20141  angpieqvdlem2  20142  angpined  20143  angpieqvd  20144  chordthmlem  20145  chordthmlem2  20146  chordthmlem3  20147  chordthmlem4  20148  chordthmlem5  20149  quad2  20151  quad  20152  dcubic1lem  20155  dcubic  20158  mcubic  20159  cubic2  20160  cubic  20161  dquartlem1  20163  dquartlem2  20164  dquart  20165  quart1cl  20166  quart1lem  20167  quart1  20168  quartlem2  20170  quartlem4  20172  quart  20173  atanf  20192  sinasin  20201  asinsin  20204  atanneg  20219  atancj  20222  efiatan  20224  atanlogsub  20228  efiatan2  20229  2efiatan  20230  atanbndlem  20237  dvatan  20247  atantayl  20249  ftalem2  20327  logfacrlim  20479  logexprlim  20480  lgsdirprm  20584  vmadivsum  20647  rpvmasumlem  20652  dchrisumlem2  20655  dchrisumlem3  20656  dchrmusum2  20659  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem1  20666  rpvmasum2  20677  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  rplogsum  20692  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  mulogsum  20697  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  mulog2sumlem3  20701  vmalogdivsum2  20703  vmalogdivsum  20704  2vmadivsumlem  20705  selberglem1  20710  selberglem2  20711  selberg2lem  20715  selberg2  20716  selberg3lem1  20722  selberg4lem1  20725  selberg4  20726  pntrsumo1  20730  selberg3r  20734  selberg34r  20736  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntibndlem2  20756  pntlemf  20770  pntlemo  20772  smcnlem  21286  ipval2  21296  4ipval2  21297  4ipval3  21301  dipcj  21306  pjhthlem1  21986  bcm1n  23048  ballotlemfc0  23067  ballotlemfcc  23068  lt2addrd  23264  sqsscirc2  23308  subfaclim  23734  brbtwn2  24605  colinearalglem1  24606  colinearalglem2  24607  colinearalg  24610  axsegconlem1  24617  ax5seglem2  24629  ax5seglem6  24634  ax5seglem9  24637  axlowdimlem17  24658  axcontlem7  24670  axcontlem8  24671  bpolycl  24859  bpoly4  24866  ftc1cnnclem  25024  dvreasin  25026  dvreacos  25027  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029  areacirclem5  25032  areacirc  25034  lvsovso  25729  cntotbnd  26623  rencldnfilem  27006  pellexlem2  27018  pellexlem6  27022  pell1234qrne0  27041  pell1234qrmulcl  27043  rmyluc  27125  jm2.18  27184  jm2.19  27189  lhe4.4ex1a  27649  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  wallispi2lem2  27924  wallispi2  27925  stirlinglem1  27926  stirlinglem4  27929  stirlinglem5  27930  stirlinglem7  27932  stirlinglem11  27936  sigarmf  27947  sigarms  27949  sigarexp  27952  sigardiv  27954  sigarcol  27957  sharhght  27958  sigaradd  27959  cevathlem2  27961  cevath  27962  sinhpcosh  28464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator