MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcld Structured version   Unicode version

Theorem subcld 9411
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subcl 9305 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   CCcc 8988    - cmin 9291
This theorem is referenced by:  muleqadd  9666  hashfz  11692  hashfzo  11694  hashf1lem2  11705  hashf1  11706  ccatswrd  11773  crre  11919  remim  11922  remullem  11933  abs3lem  12142  caubnd2  12161  rlimuni  12344  climuni  12346  rlimcld2  12372  rlimrege0  12373  rlimrecl  12374  mulcn2  12389  reccn2  12390  cn1lem  12391  o1sub  12409  rlimo1  12410  o1dif  12423  rlimsqzlem  12442  caucvgrlem2  12468  iseralt  12478  fsumparts  12585  cvgcmpce  12597  incexclem  12616  arisum2  12640  geoserg  12645  geo2sum2  12651  sinf  12725  tanval2  12734  tanval3  12735  sinneg  12747  efival  12753  sinhval  12755  bitsinv1lem  12953  bitsres  12985  pythagtriplem1  13190  pythagtriplem14  13202  pythagtriplem17  13205  4sqlem5  13310  mul4sqlem  13321  4sqlem17  13329  vdwlem5  13353  vdwlem6  13354  vdwlem8  13356  blcvx  18829  recld2  18845  addcnlem  18894  cnllycmp  18981  ipcnlem2  19198  pjthlem1  19338  ovollb2lem  19384  itgcnlem  19681  dvlem  19783  dvconst  19803  dvid  19804  dvcnp2  19806  dvaddbr  19824  dvmulbr  19825  dvcobr  19832  dvcjbr  19835  dvrec  19841  dvmptim  19856  dvcnvlem  19860  dveflem  19863  dvsincos  19865  cmvth  19875  dvlip  19877  dvlipcn  19878  c1liplem1  19880  dveq0  19884  dv11cn  19885  dvle  19891  lhop1lem  19897  dvfsumabs  19907  dvfsumlem1  19910  dvfsumlem2  19911  dvfsumrlim  19915  dvfsumrlim2  19916  ftc1lem4  19923  ftc1lem5  19924  ftc2  19928  dgrcolem2  20192  plydiveu  20215  aaliou2b  20258  taylfvallem1  20273  taylply2  20284  dvtaylp  20286  dvntaylp  20287  taylthlem1  20289  taylthlem2  20290  ulmbdd  20314  ulmcn  20315  ulmdvlem1  20316  mtest  20320  iblulm  20323  itgulm  20324  abelthlem9  20356  ptolemy  20404  tangtx  20413  sineq0  20429  efeq1  20431  efif1olem4  20447  tanarg  20514  logcnlem3  20535  logcnlem4  20536  advlogexp  20546  efopn  20549  cxpcn3lem  20631  cxpeq  20641  ang180lem4  20654  ang180lem5  20655  ang180  20656  isosctrlem2  20663  isosctrlem3  20664  isosctr  20665  ssscongptld  20666  affineequiv  20667  affineequiv2  20668  angpieqvdlem  20669  angpieqvdlem2  20670  angpined  20671  angpieqvd  20672  chordthmlem  20673  chordthmlem2  20674  chordthmlem3  20675  chordthmlem4  20676  chordthmlem5  20677  quad2  20679  quad  20680  dcubic1lem  20683  dcubic  20686  mcubic  20687  cubic2  20688  cubic  20689  dquartlem1  20691  dquartlem2  20692  dquart  20693  quart1cl  20694  quart1lem  20695  quart1  20696  quartlem2  20698  quartlem4  20700  quart  20701  atanf  20720  sinasin  20729  asinsin  20732  atanneg  20747  atancj  20750  efiatan  20752  atanlogsub  20756  efiatan2  20757  2efiatan  20758  atanbndlem  20765  dvatan  20775  atantayl  20777  ftalem2  20856  logfacrlim  21008  logexprlim  21009  lgsdirprm  21113  vmadivsum  21176  rpvmasumlem  21181  dchrisumlem2  21184  dchrisumlem3  21185  dchrmusum2  21188  dchrvmasumlem2  21192  dchrvmasumlem3  21193  dchrvmasumiflem1  21195  rpvmasum2  21206  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem2a  21211  rplogsum  21221  mudivsum  21224  mulogsumlem  21225  mulogsum  21226  mulog2sumlem1  21228  mulog2sumlem2  21229  mulog2sumlem3  21230  vmalogdivsum2  21232  vmalogdivsum  21233  2vmadivsumlem  21234  selberglem1  21239  selberglem2  21240  selberg2lem  21244  selberg2  21245  selberg3lem1  21251  selberg4lem1  21254  selberg4  21255  pntrsumo1  21259  selberg3r  21263  selberg34r  21265  pntrlog2bndlem1  21271  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem3  21273  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem5  21275  pntibndlem2  21285  pntlemf  21299  pntlemo  21301  cusgrasizeinds  21485  smcnlem  22193  ipval2  22203  4ipval2  22204  4ipval3  22208  dipcj  22213  pjhthlem1  22893  lt2addrd  24115  bcm1n  24151  sqsscirc2  24307  lgamgulmlem2  24814  lgamgulmlem3  24815  lgamgulmlem5  24817  lgamgulmlem6  24818  lgamgulm2  24820  lgamucov  24822  lgamcvg2  24839  gamcvg  24840  gamcvg2lem  24843  subfaclim  24874  pnpncand  25207  divcnvlin  25212  iprodgam  25319  fallfacfwd  25352  binomfallfaclem2  25356  brbtwn2  25844  colinearalglem1  25845  colinearalglem2  25846  colinearalg  25849  axsegconlem1  25856  ax5seglem2  25868  ax5seglem6  25873  ax5seglem9  25876  axlowdimlem17  25897  axcontlem7  25909  axcontlem8  25910  bpolycl  26098  bpoly3  26104  bpoly4  26105  fsumcube  26106  ftc1cnnclem  26278  ftc1anclem7  26286  ftc1anclem8  26287  ftc1anc  26288  ftc2nc  26289  dvreasin  26290  dvreacos  26291  areacirclem1  26292  areacirclem4  26295  areacirc  26297  cntotbnd  26505  rencldnfilem  26881  pellexlem2  26893  pellexlem6  26897  pell1234qrne0  26916  pell1234qrmulcl  26918  rmyluc  27000  jm2.18  27059  jm2.19  27064  lhe4.4ex1a  27523  stoweidlem1  27726  stoweidlem11  27736  stoweidlem13  27738  stoweidlem26  27751  stoweid  27788  wallispi  27795  wallispi2lem1  27796  wallispi2lem2  27797  wallispi2  27798  stirlinglem1  27799  stirlinglem4  27802  stirlinglem5  27803  stirlinglem7  27805  stirlinglem11  27809  sigarmf  27820  sigarms  27822  sigarexp  27825  sigardiv  27827  sigarcol  27830  sharhght  27831  sigaradd  27832  cevathlem2  27834  cevath  27835  kcnktkm1cn  28089  frghash2spot  28452  usgreghash2spotv  28455  frgregordn0  28459  sinhpcosh  28483  isosctrlem1ALT  29046  sineq0ALT  29049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293
  Copyright terms: Public domain W3C validator