MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcmn Structured version   Unicode version

Theorem subcmn 15458
Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgabl.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subcmn  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )

Proof of Theorem subcmn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2439 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  ( Base `  H )  =  ( Base `  H
) )
2 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
3 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
42, 3mndidcl 14716 . . . . . 6  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( 0g `  H )  e.  ( Base `  H
) )
5 n0i 3635 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  H )  e.  ( Base `  H
)  ->  -.  ( Base `  H )  =  (/) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( H  e.  Mnd  ->  -.  ( Base `  H )  =  (/) )
7 subgabl.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
8 reldmress 13517 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
98ovprc2 6112 . . . . . . . 8  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( Gs  S )  =  (/) )
107, 9syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  H  =  (/) )
1110fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  H )  =  ( Base `  (/) ) )
12 base0 13508 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  H )  =  (/) )
146, 13nsyl2 122 . . . 4  |-  ( H  e.  Mnd  ->  S  e.  _V )
1514adantl 454 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  S  e.  _V )
16 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
177, 16ressplusg 13573 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
1815, 17syl 16 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
19 simpr 449 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e.  Mnd )
20 simpl 445 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  G  e. CMnd )
21 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
227, 21ressbasss 13523 . . . 4  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
2322sseli 3346 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  H
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
2422sseli 3346 . . 3  |-  ( y  e.  ( Base `  H
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
2521, 16cmncom 15430 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2620, 23, 24, 25syl3an 1227 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  /\  x  e.  ( Base `  H )  /\  y  e.  ( Base `  H ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
271, 18, 19, 26iscmnd 15426 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686  CMndccmn 15414
This theorem is referenced by:  submcmn  15459  unitabl  15775  subrgcrng  15874  xrge0cmn  16742  tsmssubm  18174  amgmlem  20830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-cmn 15416
  Copyright terms: Public domain W3C validator