MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcmn Unicode version

Theorem subcmn 15149
Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgabl.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subcmn  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )

Proof of Theorem subcmn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  ( Base `  H )  =  ( Base `  H
) )
2 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
42, 3mndidcl 14407 . . . . . 6  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( 0g `  H )  e.  ( Base `  H
) )
5 n0i 3473 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  H )  e.  ( Base `  H
)  ->  -.  ( Base `  H )  =  (/) )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( H  e.  Mnd  ->  -.  ( Base `  H )  =  (/) )
7 subgabl.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
8 reldmress 13210 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
98ovprc2 5903 . . . . . . . 8  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( Gs  S )  =  (/) )
107, 9syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  H  =  (/) )
1110fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  H )  =  ( Base `  (/) ) )
12 base0 13201 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
1311, 12syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  H )  =  (/) )
146, 13nsyl2 119 . . . 4  |-  ( H  e.  Mnd  ->  S  e.  _V )
1514adantl 452 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  S  e.  _V )
16 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
177, 16ressplusg 13266 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
1815, 17syl 15 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
19 simpr 447 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e.  Mnd )
20 simpl 443 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  G  e. CMnd )
21 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
227, 21ressbasss 13216 . . . 4  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
2322sseli 3189 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  H
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
2422sseli 3189 . . 3  |-  ( y  e.  ( Base `  H
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
2521, 16cmncom 15121 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2620, 23, 24, 25syl3an 1224 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  /\  x  e.  ( Base `  H )  /\  y  e.  ( Base `  H ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
271, 18, 19, 26iscmnd 15117 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  CMndccmn 15105
This theorem is referenced by:  submcmn  15150  unitabl  15466  subrgcrng  15565  xrge0cmn  16429  tsmssubm  17841  amgmlem  20300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-cmn 15107
  Copyright terms: Public domain W3C validator