MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Unicode version

Theorem subdid 9235
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdid  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdi 9213 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    x. cmul 8742    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  recextlem1  9398  cru  9738  cju  9742  zneo  10094  qbtwnre  10526  lincmb01cmp  10777  iccf1o  10778  intfracq  10963  modlt  10981  moddi  11007  modsubdir  11008  subsq  11210  expmulnbnd  11233  crre  11599  remullem  11613  mulcn2  12069  iseraltlem3  12156  fsumparts  12264  geoserg  12324  mertens  12342  tanval3  12414  tanadd  12447  eirrlem  12482  3dvds  12591  bezoutlem3  12719  eulerthlem2  12850  prmdiv  12853  prmdiveq  12854  4sqlem10  12994  mul4sqlem  13000  4sqlem17  13008  blcvx  18304  icopnfhmeo  18441  pcoass  18522  pjthlem1  18801  itgmulc2lem2  19187  dvmulbr  19288  cmvth  19338  dvcvx  19367  dvfsumle  19368  dvfsumabs  19370  dvfsumlem2  19374  aaliou3lem8  19725  abelthlem2  19808  tangtx  19873  tanregt0  19901  efif1olem2  19905  efif1olem4  19907  ang180lem5  20111  isosctrlem2  20119  isosctrlem3  20120  affineequiv  20123  dcubic1  20141  dquart  20149  quartlem1  20153  asinsin  20188  efiatan  20208  atanlogsublem  20211  efiatan2  20213  2efiatan  20214  tanatan  20215  atantayl2  20234  wilthlem2  20307  ftalem5  20314  basellem3  20320  basellem5  20322  logfaclbnd  20461  bposlem1  20523  lgseisenlem2  20589  lgsquadlem1  20593  2sqlem4  20606  vmadivsum  20631  rplogsumlem1  20633  dchrmusum2  20643  dchrvmasumiflem2  20651  rpvmasum2  20661  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  rplogsum  20676  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  logsqvma  20691  selberglem1  20694  selberglem2  20695  selberg2lem  20699  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumo1  20714  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntlemo  20756  pjhthlem1  21970  brbtwn2  24533  colinearalglem1  24534  axcontlem8  24599  bpolydiflem  24789  bpoly4  24794  areacirclem2  24925  areacirclem5  24929  areacirc  24931  2wsms  25608  cntotbnd  26520  irrapxlem2  26908  irrapxlem3  26909  irrapxlem5  26911  pellexlem6  26919  pell1qrgaplem  26958  qirropth  26993  jm2.17a  27047  congmul  27054  jm2.18  27081  itgsinexp  27749  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator