MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0 Unicode version

Theorem subeq0 9089
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
subeq0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem subeq0
StepHypRef Expression
1 subid 9083 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  B )  =  0 )
21adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  B
)  =  0 )
32eqeq2d 2307 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  ( B  -  B )  <-> 
( A  -  B
)  =  0 ) )
4 subcan2 9088 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  =  ( B  -  B )  <->  A  =  B ) )
543anidm23 1241 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  ( B  -  B )  <-> 
A  =  B ) )
63, 5bitr3d 246 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  subeq0i  9142  subeq0d  9181  subne0d  9182  subeq0ad  9183  muleqadd  9428  div2sub  9601  cju  9758  ofsubeq0  9759  nn0sub  10030  mod0  10994  modirr  11025  sqreulem  11859  sqreu  11860  rlimuni  12040  climuni  12042  geoserg  12340  geolim  12342  geolim2  12343  georeclim  12344  geoisum1c  12352  tanaddlem  12462  tanadd  12463  fzocongeq  12598  divalglem8  12615  fldivp1  12961  4sqlem11  13018  4sqlem16  13023  mndodcongi  14874  odf1  14891  odf1o1  14899  sylow1lem1  14925  znf1o  16521  cnmet  18297  reperflem  18339  iccpnfhmeo  18459  evth  18473  cphsqrcl2  18638  dvlem  19262  dvconst  19282  dvid  19283  dvcnp2  19285  dvaddbr  19303  dvmulbr  19304  dvcobr  19311  dvcjbr  19314  dvrec  19320  dvcnvlem  19339  dvferm2lem  19349  cmvth  19354  dvlip  19356  lhop1lem  19376  ftc1lem5  19403  coeeulem  19622  plyremlem  19700  plyexmo  19709  aalioulem2  19729  geolim3  19735  taylthlem2  19769  ulmdvlem1  19793  abelthlem2  19824  abelthlem7  19830  sineq0  19905  efeq1  19907  tanregt0  19917  tanarg  19986  logtayl  20023  ang180lem1  20123  ang180lem2  20124  ang180lem3  20125  ang180lem4  20126  ang180lem5  20127  ang180  20128  lawcos  20130  isosctrlem1  20134  isosctrlem2  20135  isosctrlem3  20136  isosctr  20137  quad2  20151  dcubic  20158  asinlem  20180  atandm2  20189  atandm4  20191  2efiatan  20230  tanatan  20231  atandmtan  20232  dvatan  20247  atantayl2  20250  mumullem2  20434  mersenne  20482  dchrsum2  20523  sumdchr2  20525  ipasslem8  21431  ipasslem9  21432  ip2eqi  21451  hvmulcan2  21668  hi2eq  21700  lnopeqi  22604  riesz3i  22658  mulcan1g  24099  eqeelen  24604  brbtwn2  24605  colinearalg  24610  axcgrid  24616  axcontlem2  24665  axcontlem7  24670  axcontlem8  24671  dmse1  25706  iintlem1  25713  rrnmet  26656  eqrabdioph  26960  rencldnfilem  27006  pellexlem1  27017  pellexlem6  27022  qirropth  27096  jm2.26lem3  27197  dvconstbi  27654  stoweidlem23  27875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator