MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0 Unicode version

Theorem subeq0 9073
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
subeq0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem subeq0
StepHypRef Expression
1 subid 9067 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  B )  =  0 )
21adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  B
)  =  0 )
32eqeq2d 2294 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  ( B  -  B )  <-> 
( A  -  B
)  =  0 ) )
4 subcan2 9072 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  =  ( B  -  B )  <->  A  =  B ) )
543anidm23 1241 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  ( B  -  B )  <-> 
A  =  B ) )
63, 5bitr3d 246 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  subeq0i  9126  subeq0d  9165  subne0d  9166  subeq0ad  9167  muleqadd  9412  div2sub  9585  cju  9742  ofsubeq0  9743  nn0sub  10014  mod0  10978  modirr  11009  sqreulem  11843  sqreu  11844  rlimuni  12024  climuni  12026  geoserg  12324  geolim  12326  geolim2  12327  georeclim  12328  geoisum1c  12336  tanaddlem  12446  tanadd  12447  fzocongeq  12582  divalglem8  12599  fldivp1  12945  4sqlem11  13002  4sqlem16  13007  mndodcongi  14858  odf1  14875  odf1o1  14883  sylow1lem1  14909  znf1o  16505  cnmet  18281  reperflem  18323  iccpnfhmeo  18443  evth  18457  cphsqrcl2  18622  dvlem  19246  dvconst  19266  dvid  19267  dvcnp2  19269  dvaddbr  19287  dvmulbr  19288  dvcobr  19295  dvcjbr  19298  dvrec  19304  dvcnvlem  19323  dvferm2lem  19333  cmvth  19338  dvlip  19340  lhop1lem  19360  ftc1lem5  19387  coeeulem  19606  plyremlem  19684  plyexmo  19693  aalioulem2  19713  geolim3  19719  taylthlem2  19753  ulmdvlem1  19777  abelthlem2  19808  abelthlem7  19814  sineq0  19889  efeq1  19891  tanregt0  19901  tanarg  19970  logtayl  20007  ang180lem1  20107  ang180lem2  20108  ang180lem3  20109  ang180lem4  20110  ang180lem5  20111  ang180  20112  lawcos  20114  isosctrlem1  20118  isosctrlem2  20119  isosctrlem3  20120  isosctr  20121  quad2  20135  dcubic  20142  asinlem  20164  atandm2  20173  atandm4  20175  2efiatan  20214  tanatan  20215  atandmtan  20216  dvatan  20231  atantayl2  20234  mumullem2  20418  mersenne  20466  dchrsum2  20507  sumdchr2  20509  ipasslem8  21415  ipasslem9  21416  ip2eqi  21435  hvmulcan2  21652  hi2eq  21684  lnopeqi  22588  riesz3i  22642  mulcan1g  24084  eqeelen  24532  brbtwn2  24533  colinearalg  24538  axcgrid  24544  axcontlem2  24593  axcontlem7  24598  axcontlem8  24599  dmse1  25603  iintlem1  25610  rrnmet  26553  eqrabdioph  26857  rencldnfilem  26903  pellexlem1  26914  pellexlem6  26919  qirropth  26993  jm2.26lem3  27094  dvconstbi  27551  stoweidlem23  27772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator