MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0ad Structured version   Unicode version

Theorem subeq0ad 9421
Description: The difference of two complex numbers is zero iff they are equal. Deduction form of subeq0 9327. Generalization of subeq0d 9419. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subeq0ad  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem subeq0ad
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subeq0 9327 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    - cmin 9291
This theorem is referenced by:  subne0ad  9422  subeq0bd  9463  muleqadd  9666  ofsubeq0  9997  nn0n0n1ge2  10280  mod0  11255  modirr  11286  sqreulem  12163  sqreu  12164  tanaddlem  12767  fldivp1  13266  4sqlem11  13323  4sqlem16  13328  znf1o  16832  cphsqrcl2  19149  dvcobr  19832  dvcnvlem  19860  cmvth  19875  dvlip  19877  lhop1lem  19897  ftc1lem5  19924  aalioulem2  20250  sineq0  20429  tanarg  20514  affineequiv  20667  quad2  20679  dcubic  20686  ipasslem9  22339  ip2eqi  22358  hi2eq  22607  lnopeqi  23511  riesz3i  23565  mulcan1g  25189  eqeelen  25843  colinearalg  25849  axcontlem7  25909  rrnmet  26538  eqrabdioph  26836  pellexlem1  26892  sineq0ALT  29049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293
  Copyright terms: Public domain W3C validator