Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfaclefac Unicode version

Theorem subfaclefac 23991
Description: The subfactorial is less than the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfaclefac  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfaclefac
StepHypRef Expression
1 anidm 625 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )  <->  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
21abbii 2428 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) ) }  =  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) }
3 fzfid 11082 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
4 deranglem 23981 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) ) }  e.  Fin )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) ) }  e.  Fin )
62, 5syl5eqelr 2401 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }  e.  Fin )
7 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y )  -> 
f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
87ss2abi 3279 . . . 4  |-  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }
9 ssdomg 6950 . . . 4  |-  ( { f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) }  e.  Fin  ->  ( { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
106, 8, 9ee10 1367 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } )
11 deranglem 23981 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )
123, 11syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )
13 hashdom 11408 . . . 4  |-  ( ( { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y ) }  e.  Fin  /\  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y ) } )  <_  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) } )  <->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
1412, 6, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } )  <_ 
( # `  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } )  <->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
1510, 14mpbird 223 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y ) } )  <_  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) } ) )
16 derang.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
17 subfac.n . . . 4  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
1816, 17subfacval 23988 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( D `  (
1 ... N ) ) )
1916derangval 23982 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  ( D `  ( 1 ... N ) )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
203, 19syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( D `
 ( 1 ... N ) )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2118, 20eqtrd 2348 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
22 hashfac 11443 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } )  =  ( ! `
 ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
233, 22syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) } )  =  ( ! `  ( # `
 ( 1 ... N ) ) ) )
24 hashfz1 11392 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
2524fveq2d 5567 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( ! `
 N ) )
2623, 25eqtr2d 2349 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  =  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) } ) )
2715, 21, 263brtr4d 4090 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302    =/= wne 2479   A.wral 2577    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ~<_ cdom 6904   Fincfn 6906   1c1 8783    <_ cle 8913   NN0cn0 10012   ...cfz 10829   !cfa 11335   #chash 11384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-seq 11094  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator