Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfaclefac Structured version   Unicode version

Theorem subfaclefac 24862
Description: The subfactorial is less than the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfaclefac  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfaclefac
StepHypRef Expression
1 anidm 626 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )  <->  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
21abbii 2548 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) ) }  =  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) }
3 fzfid 11312 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
4 deranglem 24852 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) ) }  e.  Fin )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  f :
( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) ) }  e.  Fin )
62, 5syl5eqelr 2521 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }  e.  Fin )
7 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y )  -> 
f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
87ss2abi 3415 . . . 4  |-  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }
9 ssdomg 7153 . . . 4  |-  ( { f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) }  e.  Fin  ->  ( { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
106, 8, 9ee10 1385 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } )
11 deranglem 24852 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )
123, 11syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )
13 hashdom 11653 . . . 4  |-  ( ( { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y ) }  e.  Fin  /\  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y ) } )  <_  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) } )  <->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
1412, 6, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } )  <_ 
( # `  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } )  <->  { f  |  ( f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
1510, 14mpbird 224 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  { f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )  /\  A. y  e.  ( 1 ... N ) ( f `  y )  =/=  y ) } )  <_  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) } ) )
16 derang.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
17 subfac.n . . . 4  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
1816, 17subfacval 24859 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( D `  (
1 ... N ) ) )
1916derangval 24853 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  ( D `  ( 1 ... N ) )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
203, 19syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( D `
 ( 1 ... N ) )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2118, 20eqtrd 2468 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  /\  A. y  e.  ( 1 ... N
) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
22 hashfac 11707 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } )  =  ( ! `
 ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
233, 22syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  { f  |  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) } )  =  ( ! `  ( # `
 ( 1 ... N ) ) ) )
24 hashfz1 11630 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
2524fveq2d 5732 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( ! `
 N ) )
2623, 25eqtr2d 2469 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  =  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... N
) } ) )
2715, 21, 263brtr4d 4242 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   A.wral 2705    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~<_ cdom 7107   Fincfn 7109   1c1 8991    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   ...cfz 11043   !cfa 11566   #chash 11618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619
  Copyright terms: Public domain W3C validator