Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2a Unicode version

Theorem subfacp1lem2a 23711
Description: Lemma for subfacp1 23717. Properties of a bijection on  K augmented with the two-element flip to get a bijection on  K  u.  {
1 ,  M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
subfacp1lem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
subfacp1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
subfacp1lem1.x  |-  M  e. 
_V
subfacp1lem1.k  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
subfacp1lem2.5  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
subfacp1lem2.6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2a  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    f, F, x, y    f, N, n, x, y    ph, x, y    D, n    f, K, n, x, y    f, M, x, y    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, n)    D( x, y, f)    S( f)    F( n)    G( x, y, f, n)    M( n)

Proof of Theorem subfacp1lem2a
StepHypRef Expression
1 subfacp1lem2.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
2 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 subfacp1lem1.x . . . . . 6  |-  M  e. 
_V
4 f1oprswap 5515 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M }
65a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
7 derang.d . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
8 subfac.n . . . . . 6  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
9 subfacp1lem.a . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
10 subfacp1lem1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
11 subfacp1lem1.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
12 subfacp1lem1.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
137, 8, 9, 10, 11, 3, 12subfacp1lem1 23710 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  { 1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( # `  K )  =  ( N  -  1 ) ) )
1413simp1d 967 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/) )
15 f1oun 5492 . . . 4  |-  ( ( ( G : K -1-1-onto-> K  /\  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )  /\  (
( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  i^i  { 1 ,  M } )  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. } ) : ( K  u.  {
1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
161, 6, 14, 14, 15syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
1713simp2d 968 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  u.  {
1 ,  M }
)  =  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
18 subfacp1lem2.5 . . . . . . 7  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
19 f1oeq1 5463 . . . . . . 7  |-  ( F  =  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
21 f1oeq2 5464 . . . . . 6  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2220, 21syl5bbr 250 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
23 f1oeq3 5465 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  {
1 ,  M }
)  <->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2422, 23bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2517, 24syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2616, 25mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
27 f1ofun 5474 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  Fun  F )
2826, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  F )
29 snsspr1 3764 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. }
30 ssun2 3339 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )
3130, 18sseqtr4i 3211 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  F
3229, 31sstri 3188 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F
33 1ex 8833 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
3433snid 3667 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 }
353dmsnop 5147 . . . . . 6  |-  dom  { <. 1 ,  M >. }  =  { 1 }
3634, 35eleqtrri 2356 . . . . 5  |-  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. }
37 funssfv 5543 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F  /\  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. } )  -> 
( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
3832, 36, 37mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  1 )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
) )
3928, 38syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
4033, 3fvsn 5713 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 )  =  M
4139, 40syl6eq 2331 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  M )
42 snsspr2 3765 . . . . . 6  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. }
4342, 31sstri 3188 . . . . 5  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  F
443snid 3667 . . . . . 6  |-  M  e. 
{ M }
4533dmsnop 5147 . . . . . 6  |-  dom  { <. M ,  1 >. }  =  { M }
4644, 45eleqtrri 2356 . . . . 5  |-  M  e. 
dom  { <. M ,  1
>. }
47 funssfv 5543 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. M ,  1 >. }  C_  F  /\  M  e.  dom  { <. M , 
1 >. } )  -> 
( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
4843, 46, 47mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  M )  =  ( { <. M ,  1
>. } `  M ) )
4928, 48syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
503, 33fvsn 5713 . . 3  |-  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )  =  1
5149, 50syl6eq 2331 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  1 )
5226, 41, 513jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  23712  subfacp1lem3  23713  subfacp1lem4  23714  subfacp1lem5  23715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator