Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2a Structured version   Unicode version

Theorem subfacp1lem2a 24867
Description: Lemma for subfacp1 24873. Properties of a bijection on  K augmented with the two-element flip to get a bijection on  K  u.  {
1 ,  M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
subfacp1lem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
subfacp1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
subfacp1lem1.x  |-  M  e. 
_V
subfacp1lem1.k  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
subfacp1lem2.5  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
subfacp1lem2.6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2a  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    f, F, x, y    f, N, n, x, y    ph, x, y    D, n    f, K, n, x, y    f, M, x, y    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, n)    D( x, y, f)    S( f)    F( n)    G( x, y, f, n)    M( n)

Proof of Theorem subfacp1lem2a
StepHypRef Expression
1 subfacp1lem2.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
2 1z 10312 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 subfacp1lem1.x . . . . . 6  |-  M  e. 
_V
4 f1oprswap 5718 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
52, 3, 4mp2an 655 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M }
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
7 derang.d . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
8 subfac.n . . . . . 6  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
9 subfacp1lem.a . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
10 subfacp1lem1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
11 subfacp1lem1.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
12 subfacp1lem1.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
137, 8, 9, 10, 11, 3, 12subfacp1lem1 24866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  { 1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( # `  K )  =  ( N  -  1 ) ) )
1413simp1d 970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/) )
15 f1oun 5695 . . . 4  |-  ( ( ( G : K -1-1-onto-> K  /\  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )  /\  (
( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  i^i  { 1 ,  M } )  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. } ) : ( K  u.  {
1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
161, 6, 14, 14, 15syl22anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
1713simp2d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  u.  {
1 ,  M }
)  =  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
18 subfacp1lem2.5 . . . . . . 7  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
19 f1oeq1 5666 . . . . . . 7  |-  ( F  =  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
21 f1oeq2 5667 . . . . . 6  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2220, 21syl5bbr 252 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
23 f1oeq3 5668 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  {
1 ,  M }
)  <->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2422, 23bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2517, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2616, 25mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
27 f1ofun 5677 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  Fun  F )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  F )
29 snsspr1 3948 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. }
30 ssun2 3512 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )
3130, 18sseqtr4i 3382 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  F
3229, 31sstri 3358 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F
33 1ex 9087 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
3433snid 3842 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 }
353dmsnop 5345 . . . . . 6  |-  dom  { <. 1 ,  M >. }  =  { 1 }
3634, 35eleqtrri 2510 . . . . 5  |-  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. }
37 funssfv 5747 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F  /\  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. } )  -> 
( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
3832, 36, 37mp3an23 1272 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  1 )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
) )
3928, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
4033, 3fvsn 5927 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 )  =  M
4139, 40syl6eq 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  M )
42 snsspr2 3949 . . . . . 6  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. }
4342, 31sstri 3358 . . . . 5  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  F
443snid 3842 . . . . . 6  |-  M  e. 
{ M }
4533dmsnop 5345 . . . . . 6  |-  dom  { <. M ,  1 >. }  =  { M }
4644, 45eleqtrri 2510 . . . . 5  |-  M  e. 
dom  { <. M ,  1
>. }
47 funssfv 5747 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. M ,  1 >. }  C_  F  /\  M  e.  dom  { <. M , 
1 >. } )  -> 
( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
4843, 46, 47mp3an23 1272 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  M )  =  ( { <. M ,  1
>. } `  M ) )
4928, 48syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
503, 33fvsn 5927 . . 3  |-  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )  =  1
5149, 50syl6eq 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  1 )
5226, 41, 513jca 1135 1  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423    =/= wne 2600   A.wral 2706   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    u. cun 3319    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3629   {csn 3815   {cpr 3816   <.cop 3818    e. cmpt 4267   dom cdm 4879   Fun wfun 5449   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Fincfn 7110   1c1 8992    + caddc 8994    - cmin 9292   NNcn 10001   2c2 10050   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ...cfz 11044   #chash 11619
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  24868  subfacp1lem3  24869  subfacp1lem4  24870  subfacp1lem5  24871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-hash 11620
  Copyright terms: Public domain W3C validator