Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2b Unicode version

Theorem subfacp1lem2b 23996
Description: Lemma for subfacp1 24001. Properties of a bijection on  K augmented with the two-element flip to get a bijection on  K  u.  {
1 ,  M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
subfacp1lem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
subfacp1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
subfacp1lem1.x  |-  M  e. 
_V
subfacp1lem1.k  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
subfacp1lem2.5  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
subfacp1lem2.6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2b  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    f, F, x, y    f, N, n, x, y    ph, x, y    D, n    f, K, n, x, y    f, M, x, y    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, n)    D( x, y, f)    S( f)    F( n)    G( x, y, f, n)    M( n)    X( x, y, f, n)

Proof of Theorem subfacp1lem2b
StepHypRef Expression
1 derang.d . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2 subfac.n . . . . . 6  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
3 subfacp1lem.a . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
4 subfacp1lem1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 subfacp1lem1.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
6 subfacp1lem1.x . . . . . 6  |-  M  e. 
_V
7 subfacp1lem1.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
8 subfacp1lem2.5 . . . . . 6  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
9 subfacp1lem2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9subfacp1lem2a 23995 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
1110simp1d 967 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
12 f1ofun 5512 . . . 4  |-  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  Fun  F )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1413adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  Fun  F )
15 ssun1 3372 . . . 4  |-  G  C_  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
1615, 8sseqtr4i 3245 . . 3  |-  G  C_  F
1716a1i 10 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  G  C_  F )
18 f1odm 5514 . . . . 5  |-  ( G : K -1-1-onto-> K  ->  dom  G  =  K )
199, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  =  K )
2019eleq2d 2383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  dom  G  <-> 
X  e.  K ) )
2120biimpar 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  dom  G )
22 funssfv 5581 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F  /\  X  e. 
dom  G )  -> 
( F `  X
)  =  ( G `
 X ) )
2314, 17, 21, 22syl3anc 1182 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302    =/= wne 2479   A.wral 2577   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    u. cun 3184    C_ wss 3186   {csn 3674   {cpr 3675   <.cop 3677    e. cmpt 4114   dom cdm 4726   Fun wfun 5286   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   1c1 8783    + caddc 8785   NNcn 9791   2c2 9840   NN0cn0 10012   ...cfz 10829   #chash 11384
This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  23997  subfacp1lem4  23998  subfacp1lem5  23999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-hash 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator