Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem4 Unicode version

Theorem subfacp1lem4 23729
 Description: Lemma for subfacp1 23732. The function , which swaps with and leaves all other elements alone, is a bijection of order , i.e. it is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d
subfac.n
subfacp1lem.a
subfacp1lem1.n
subfacp1lem1.m
subfacp1lem1.x
subfacp1lem1.k
subfacp1lem5.b
subfacp1lem5.f
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem4
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,)   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem subfacp1lem4
StepHypRef Expression
1 derang.d . . . . 5
2 subfac.n . . . . 5
3 subfacp1lem.a . . . . 5
4 subfacp1lem1.n . . . . 5
5 subfacp1lem1.m . . . . 5
6 subfacp1lem1.x . . . . 5
7 subfacp1lem1.k . . . . 5
8 subfacp1lem5.f . . . . 5
9 f1oi 5527 . . . . . 6
109a1i 10 . . . . 5
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2a 23726 . . . 4
1211simp1d 967 . . 3
13 f1ocnv 5501 . . 3
14 f1ofn 5489 . . 3
1512, 13, 143syl 18 . 2
16 f1ofn 5489 . . 3
1712, 16syl 15 . 2
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7subfacp1lem1 23725 . . . . . . . 8
1918simp2d 968 . . . . . . 7
2019eleq2d 2363 . . . . . 6
2120biimpar 471 . . . . 5
22 elun 3329 . . . . 5
2321, 22sylib 188 . . . 4
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2b 23727 . . . . . . . 8
25 fvresi 5727 . . . . . . . . 9
2625adantl 452 . . . . . . . 8
2724, 26eqtrd 2328 . . . . . . 7
2827fveq2d 5545 . . . . . 6
2928, 27eqtrd 2328 . . . . 5
30 vex 2804 . . . . . . 7
3130elpr 3671 . . . . . 6
3211simp2d 968 . . . . . . . . . . 11
3332fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
3411simp3d 969 . . . . . . . . . 10
3533, 34eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
38 id 19 . . . . . . . . . 10
3937, 38eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9
4035, 39syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8
4134fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
4241, 32eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
43 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
4443fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
45 id 19 . . . . . . . . . 10
4644, 45eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9
4742, 46syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8
4840, 47jaod 369 . . . . . . 7
4948imp 418 . . . . . 6
5031, 49sylan2b 461 . . . . 5
5129, 50jaodan 760 . . . 4
5223, 51syldan 456 . . 3
5312adantr 451 . . . 4
54 f1of 5488 . . . . . 6
5512, 54syl 15 . . . . 5
56 ffvelrn 5679 . . . . 5
5755, 56sylan 457 . . . 4
58 f1ocnvfv 5810 . . . 4
5953, 57, 58syl2anc 642 . . 3
6052, 59mpd 14 . 2
6115, 17, 60eqfnfvd 5641 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164  c0 3468  csn 3653  cpr 3654  cop 3656   cmpt 4093   cid 4320  ccnv 4704   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  c1 8754   caddc 8756   cmin 9053  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cfz 10798  chash 11353 This theorem is referenced by:  subfacp1lem5  23730 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
 Copyright terms: Public domain W3C validator