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Theorem subfacp1lem6 24863
Description: Lemma for subfacp1 24864. By induction, we cut up the set of all derangements on  N  +  1 according to the  N possible values of  ( f ` 
1 ) (since  ( f `  1 )  =/=  1), and for each set for fixed  M  =  ( f `  1 ), the subset of derangements with  ( f `  M )  =  1 has size  S ( N  - 
1 ) (by subfacp1lem3 24860), while the subset with  ( f `  M
)  =/=  1 has size  S
( N ) (by subfacp1lem5 24862). Adding it all up yields the desired equation  N ( S ( N )  +  S ( N  - 
1 ) ) for the number of derangements on  N  +  1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( N  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    f, N, n, x, y    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfacp1lem6
Dummy variables  g  h  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10004 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
21nnnn0d 10266 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
3 derang.d . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
4 subfac.n . . . . 5  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
53, 4subfacval 24851 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( S `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( D `  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( D `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
7 fzfid 11304 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
83derangval 24845 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin  ->  ( D `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  =  ( # `  {
f  |  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
10 subfacp1lem.a . . . . 5  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
1110fveq2i 5723 . . . 4  |-  ( # `  A )  =  (
# `  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) } )
129, 11syl6eqr 2485 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  =  ( # `  A
) )
13 nnuz 10513 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
141, 13syl6eleq 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
15 eluzfz1 11056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
17 f1of 5666 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  f :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
1817adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y )  -> 
f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
19 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( f `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
2019expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( f ` 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
2116, 18, 20syl2im 36 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
)  ->  ( f `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
2221ss2abdv 3408 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  { f  |  ( f ` 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )
23 fveq1 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  f  ->  (
g `  1 )  =  ( f ` 
1 ) )
2423eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  f  ->  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( f `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
2524cbvabv 2554 . . . . . . 7  |-  { g  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) }  =  { f  |  ( f ` 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) }
2622, 10, 253sstr4g 3381 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A  C_ 
{ g  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )
27 ssabral 3406 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { g  |  ( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) }  <->  A. g  e.  A  ( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
2826, 27sylib 189 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  A. g  e.  A  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
29 rabid2 2877 . . . . 5  |-  ( A  =  { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) }  <->  A. g  e.  A  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
3028, 29sylibr 204 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A  =  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )
3130fveq2d 5724 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) } ) )
326, 12, 313eqtrd 2471 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) } ) )
33 elfz1end 11073 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
341, 33sylib 189 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
35 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
36 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... 1
) )
37 1z 10303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
38 fzsn 11086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
4036, 39syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... x )  =  { 1 } )
4140eleq2d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x )  <->  ( g `  1 )  e. 
{ 1 } ) )
42 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 1 )  e. 
_V
4342elsnc 3829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  1 )  e.  { 1 }  <-> 
( g `  1
)  =  1 )
4441, 43syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x )  <->  ( g `  1 )  =  1 ) )
4544rabbidv 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) }  =  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  =  1 } )
4645fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... x
) } )  =  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  1 } ) )
47 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
48 1m1e0 10060 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4947, 48syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  1 )  =  0 )
5049oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
5146, 50eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( # `  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  <->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  1 } )  =  ( 0  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
5235, 51imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  <-> 
( 1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  1 } )  =  ( 0  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
5352imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( 1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  =  1 } )  =  ( 0  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
54 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
55 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  m  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... m
) )
5655eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x )  <->  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... m
) ) )
5756rabbidv 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) }  =  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m ) } )
5857fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  m  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... x
) } )  =  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } ) )
59 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  (
x  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
6059oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  m  ->  (
( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
6158, 60eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  (
( # `  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  <->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
6254, 61imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  <-> 
( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
6362imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) ) )
64 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
65 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... (
m  +  1 ) ) )
6665eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x )  <->  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) ) ) )
6766rabbidv 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) }  =  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... ( m  +  1 ) ) } )
6867fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... x
) } )  =  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } ) )
69 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )
7069oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
7168, 70eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( # `  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  <->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
7264, 71imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  <-> 
( ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
7372imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
74 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
75 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
7675eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x )  <->  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
7776rabbidv 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) }  =  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )
7877fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... x
) } )  =  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) } ) )
79 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
8079oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
8178, 80eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  <->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
8274, 81imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
8382imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... x ) } )  =  ( ( x  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )  =  ( ( ( N  +  1 )  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
84 hash0 11638 . . . . . . 7  |-  ( # `  (/) )  =  0
85 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  1  ->  (
f `  y )  =  ( f ` 
1 ) )
86 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  1  ->  y  =  1 )
8785, 86neeq12d 2613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  1  ->  (
( f `  y
)  =/=  y  <->  ( f `  1 )  =/=  1 ) )
8887rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y  ->  (
f `  1 )  =/=  1 ) )
8916, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y  ->  (
f `  1 )  =/=  1 ) )
9089adantld 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
)  ->  ( f `  1 )  =/=  1 ) )
9190ss2abdv 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  { f  |  ( f ` 
1 )  =/=  1 } )
92 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  1 )  =/=  1  <->  -.  (
g `  1 )  =  1 )
9323neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
( g `  1
)  =/=  1  <->  (
f `  1 )  =/=  1 ) )
9492, 93syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  ( -.  ( g `  1
)  =  1  <->  (
f `  1 )  =/=  1 ) )
9594cbvabv 2554 . . . . . . . . . . 11  |-  { g  |  -.  ( g `
 1 )  =  1 }  =  {
f  |  ( f `
 1 )  =/=  1 }
9691, 10, 953sstr4g 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  A  C_ 
{ g  |  -.  ( g `  1
)  =  1 } )
97 ssabral 3406 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  { g  |  -.  ( g ` 
1 )  =  1 }  <->  A. g  e.  A  -.  ( g `  1
)  =  1 )
9896, 97sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  A. g  e.  A  -.  (
g `  1 )  =  1 )
99 rabeq0 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( { g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  1 }  =  (/)  <->  A. g  e.  A  -.  ( g `  1
)  =  1 )
10098, 99sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  1 }  =  (/) )
101100fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  =  1 } )  =  ( # `  (/) ) )
102 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1033, 4subfacf 24853 . . . . . . . . . . . 12  |-  S : NN0
--> NN0
104103ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
105102, 104syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
106 nnm1nn0 10253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
107103ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( S `
 ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
109105, 108nn0addcld 10270 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) )  e.  NN0 )
110109nn0cnd 10268 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
111110mul02d 9256 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  =  0 )
11284, 101, 1113eqtr4a 2493 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  =  1 } )  =  ( 0  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) )
113112a1d 23 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  1 } )  =  ( 0  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
114 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
115114, 13syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
116 peano2fzr 11061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
117115, 116sylancom 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
118117ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
119118imim1d 71 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
120 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  { g  e.  A  |  (
g `  1 )  e.  ( 1 ... m
) } )  =  ( ( m  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
) } )  +  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } ) )  =  ( ( ( m  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) )  +  ( # `  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) } ) ) )
121 elfzp1 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
g `  1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) )  <->  ( ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
)  \/  ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 ) ) ) )
122115, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
g `  1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) )  <->  ( ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
)  \/  ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 ) ) ) )
123122rabbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  { g  e.  A  |  (
g `  1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) ) }  =  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m )  \/  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) ) } )
124 unrab 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) }  u.  { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 ) } )  =  { g  e.  A  |  ( ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
)  \/  ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 ) ) }
125123, 124syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  { g  e.  A  |  (
g `  1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) ) }  =  ( { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m ) }  u.  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) } ) )
126125fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( # `  ( { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
) }  u.  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } ) ) )
127 fzfi 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin
128 deranglem 24844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )
129127, 128ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin
13010, 129eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  e. 
Fin
131 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... m ) }  C_  A
132 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } 
C_  A )  ->  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m ) }  e.  Fin )
133130, 131, 132mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... m ) }  e.  Fin
134 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) }  C_  A
135 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } 
C_  A )  ->  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) }  e.  Fin )
136130, 134, 135mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) }  e.  Fin
137 inrab 3605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) }  i^i  { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 ) } )  =  { g  e.  A  |  ( ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
)  /\  ( g `  1 )  =  ( m  +  1 ) ) }
138 fzp1disj 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1 ... m )  i^i  { ( m  +  1 ) } )  =  (/)
13942elsnc 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  1 )  e.  { ( m  +  1 ) }  <-> 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) )
140 inelcm 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g `  1
)  e.  ( 1 ... m )  /\  ( g `  1
)  e.  { ( m  +  1 ) } )  ->  (
( 1 ... m
)  i^i  { (
m  +  1 ) } )  =/=  (/) )
141139, 140sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  1
)  e.  ( 1 ... m )  /\  ( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) )  ->  ( ( 1 ... m )  i^i 
{ ( m  + 
1 ) } )  =/=  (/) )
142141necon2bi 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... m
)  i^i  { (
m  +  1 ) } )  =  (/)  ->  -.  ( ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
)  /\  ( g `  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
143138, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m )  /\  ( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) )
144143rgenw 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. g  e.  A  -.  (
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m )  /\  ( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) )
145 rabeq0 3641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m )  /\  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) ) }  =  (/)  <->  A. g  e.  A  -.  ( ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m )  /\  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
146144, 145mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { g  e.  A  |  ( ( g `  1
)  e.  ( 1 ... m )  /\  ( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) ) }  =  (/)
147137, 146eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) }  i^i  { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 ) } )  =  (/)
148 hashun 11648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m ) }  e.  Fin  /\  { g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) }  e.  Fin  /\  ( { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m ) }  i^i  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... m ) }  u.  { g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } ) )  =  ( ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  +  ( # `  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) } ) ) )
149133, 136, 147, 148mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  ( { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
) }  u.  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } ) )  =  ( ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  +  ( # `  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) } ) )
150126, 149syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( (
# `  { g  e.  A  |  (
g `  1 )  e.  ( 1 ... m
) } )  +  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } ) ) )
151 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
152151ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
153 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
155152, 154, 154addsubd 9424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  +  1 )  -  1 )  =  ( ( m  - 
1 )  +  1 ) )
156155oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  +  1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) )
157 subcl 9297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( m  -  1 )  e.  CC )
158152, 153, 157sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( m  -  1 )  e.  CC )
159109ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) )  e. 
NN0 )
160159nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) )  e.  CC )
161158, 154, 160adddird 9105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( m  -  1 )  +  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) ) ) )
162160mulid2d 9098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )
163 exmidne 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g `  ( m  +  1 ) )  =  1  \/  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 )
164 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1  \/  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 )  <-> 
( ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1  \/  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) )
165163, 164mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1  \/  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 )
166165biantru 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  <->  ( (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1  \/  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) ) )
167 andi 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1  \/  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) )  <->  ( ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 )  \/  ( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) ) )
168166, 167bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  <->  ( (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 )  \/  ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =  1 ) ) )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  e.  A  ->  (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  <->  ( (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 )  \/  ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =  1 ) ) ) )
170169rabbiia 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) }  =  { g  e.  A  |  ( ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 )  \/  ( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) ) }
171 unrab 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) }  u.  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } )  =  { g  e.  A  |  ( ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 )  \/  ( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) ) }
172170, 171eqtr4i 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) }  =  ( { g  e.  A  |  ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  1 ) }  u.  { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } )
173172fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( # `  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) } )  =  (
# `  ( {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) }  u.  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } ) )
174 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { g  e.  A  |  ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 ) }  C_  A
175 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) }  C_  A
)  ->  { g  e.  A  |  (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 ) }  e.  Fin )
176130, 174, 175mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { g  e.  A  |  ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 ) }  e.  Fin
177 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { g  e.  A  |  ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) }  C_  A
178 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) }  C_  A
)  ->  { g  e.  A  |  (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) }  e.  Fin )
179130, 177, 178mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { g  e.  A  |  ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) }  e.  Fin
180 inrab 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) }  i^i  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } )  =  { g  e.  A  |  ( ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 )  /\  ( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) ) }
181 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 )
182181necon3ai 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1  ->  -.  ( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) )
183182adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 )  ->  -.  ( (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) )
184 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
)  ->  -.  (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) )  <->  -.  ( (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 )  /\  ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =  1 ) ) )
185183, 184mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  (
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
)  /\  ( (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) )
186185rgenw 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. g  e.  A  -.  (
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
)  /\  ( (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) )
187 rabeq0 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { g  e.  A  | 
( ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  1 )  /\  (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) ) }  =  (/)  <->  A. g  e.  A  -.  ( ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  1 )  /\  (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) ) )
188186, 187mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { g  e.  A  |  ( ( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
)  /\  ( (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) ) }  =  (/)
189180, 188eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) }  i^i  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } )  =  (/)
190 hashun 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { g  e.  A  |  ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  1 ) }  e.  Fin  /\  { g  e.  A  |  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) }  e.  Fin  /\  ( { g  e.  A  |  ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  1 ) }  i^i  { g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { g  e.  A  |  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 ) }  u.  { g  e.  A  |  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) } ) )  =  ( ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) } )  +  ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } ) ) )
191176, 179, 189, 190mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( # `  ( { g  e.  A  |  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 ) }  u.  { g  e.  A  |  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) } ) )  =  ( ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) } )  +  ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } ) )
192173, 191eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 ) } )  =  ( ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) } )  +  ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } ) )
193 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
194 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
195 0p1e1 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  +  1 )  =  1
196195eqeq2i 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m  +  1 )  =  ( 0  +  1 )  <->  ( m  +  1 )  =  1 )
197 0cn 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  CC
198 addcan2 9243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( m  +  1 )  =  ( 0  +  1 )  <->  m  = 
0 ) )
199197, 153, 198mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  CC  ->  (
( m  +  1 )  =  ( 0  +  1 )  <->  m  = 
0 ) )
200151, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  =  ( 0  +  1 )  <->  m  = 
0 ) )
201196, 200syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  =  1  <->  m  =  0 ) )
202201necon3bbid 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN  ->  ( -.  ( m  +  1 )  =  1  <->  m  =/=  0 ) )
203194, 202mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  -.  ( m  +  1
)  =  1 )
204203ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  (
m  +  1 )  =  1 )
20514adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
206 elfzp12 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( (
m  +  1 )  =  1  \/  (
m  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
207205, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( m  + 
1 )  =  1  \/  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
208207biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  +  1 )  =  1  \/  (
m  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
209208ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -.  ( m  +  1
)  =  1  -> 
( m  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ) )
210204, 209mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
211 df-2 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =  ( 1  +  1 )
212211oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 1  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )
213210, 212syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) )
214 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
215 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } )  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } )
216 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
217216eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  <->  ( h `  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
218 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  ( m  +  1 ) )  =  ( h `  ( m  +  1
) ) )
219218neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1  <->  (
h `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 ) )
220217, 219anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
)  <->  ( ( h `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( h `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  1 ) ) )
221220cbvrabv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { g  e.  A  |  ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 ) }  =  { h  e.  A  |  (
( h `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( h `  (
m  +  1 ) )  =/=  1 ) }
222 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (  _I  |`  ( (
2 ... ( N  + 
1 ) )  \  { ( m  + 
1 ) } ) )  u.  { <. 1 ,  ( m  +  1 ) >. ,  <. ( m  + 
1 ) ,  1
>. } )  =  ( (  _I  |`  (
( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { ( m  +  1 ) } ) )  u. 
{ <. 1 ,  ( m  +  1 )
>. ,  <. ( m  +  1 ) ,  1 >. } )
223 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  f  ->  (
g : ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 2 ... ( N  + 
1 ) )  <->  f :
( 2 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ) )
224 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
g `  z )  =  ( g `  y ) )
225 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
226224, 225neeq12d 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( g `  z
)  =/=  z  <->  ( g `  y )  =/=  y
) )
227226cbvralv 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. z  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) ( g `  z )  =/=  z  <->  A. y  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ( g `  y )  =/=  y
)
228 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  f  ->  (
g `  y )  =  ( f `  y ) )
229228neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  f  ->  (
( g `  y
)  =/=  y  <->  ( f `  y )  =/=  y
) )
230229ralbidv 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  f  ->  ( A. y  e.  (
2 ... ( N  + 
1 ) ) ( g `  y )  =/=  y  <->  A. y  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) )
231227, 230syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  f  ->  ( A. z  e.  (
2 ... ( N  + 
1 ) ) ( g `  z )  =/=  z  <->  A. y  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) )
232223, 231anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  f  ->  (
( g : ( 2 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 2 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ( g `  z )  =/=  z
)  <->  ( f : ( 2 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 2 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) ) )
233232cbvabv 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { g  |  ( g : ( 2 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 2 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ( g `  z )  =/=  z
) }  =  {
f  |  ( f : ( 2 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 2 ... ( N  +  1 ) )  /\  A. y  e.  ( 2 ... ( N  +  1 ) ) ( f `  y )  =/=  y
) }
2343, 4, 10, 193, 213, 214, 215, 221, 222, 233subfacp1lem5 24862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =/=  1
) } )  =  ( S `  N
) )
235218eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  (
m  +  1 ) )  =  1  <->  (
h `  ( m  +  1 ) )  =  1 ) )
236217, 235anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 )  <->  ( ( h `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( h `
 ( m  + 
1 ) )  =  1 ) ) )
237236cbvrabv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { g  e.  A  |  ( ( g `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) }  =  { h  e.  A  |  (
( h `  1
)  =  ( m  +  1 )  /\  ( h `  (
m  +  1 ) )  =  1 ) }
238 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  f  ->  (
g : ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } )  <->  f :
( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } ) ) )
239226cbvralv 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. z  e.  ( (
2 ... ( N  + 
1 ) )  \  { ( m  + 
1 ) } ) ( g `  z
)  =/=  z  <->  A. y  e.  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } ) ( g `  y )  =/=  y )
240229ralbidv 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  f  ->  ( A. y  e.  (
( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { ( m  +  1 ) } ) ( g `
 y )  =/=  y  <->  A. y  e.  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { ( m  +  1 ) } ) ( f `
 y )  =/=  y ) )
241239, 240syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  f  ->  ( A. z  e.  (
( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { ( m  +  1 ) } ) ( g `
 z )  =/=  z  <->  A. y  e.  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { ( m  +  1 ) } ) ( f `
 y )  =/=  y ) )
242238, 241anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  f  ->  (
( g : ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { ( m  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } ) ( g `  z )  =/=  z
)  <->  ( f : ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } )  /\  A. y  e.  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } ) ( f `  y )  =/=  y ) ) )
243242cbvabv 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { g  |  ( g : ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } ) ( g `  z )  =/=  z ) }  =  { f  |  ( f : ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { ( m  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  {
( m  +  1 ) } )  /\  A. y  e.  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) ) 
\  { ( m  +  1 ) } ) ( f `  y )  =/=  y
) }
2443, 4, 10, 193, 213, 214, 215, 237, 243subfacp1lem3 24860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( ( g ` 
1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `  ( m  +  1
) )  =  1 ) } )  =  ( S `  ( N  -  1 ) ) )
245234, 244oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 { g  e.  A  |  ( ( g `  1 )  =  ( m  + 
1 )  /\  (
g `  ( m  +  1 ) )  =/=  1 ) } )  +  ( # `  { g  e.  A  |  ( ( g `
 1 )  =  ( m  +  1 )  /\  ( g `
 ( m  + 
1 ) )  =  1 ) } ) )  =  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )
246192, 245syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } )  =  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )
247162, 246eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } ) )
248247oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( m  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  +  (
# `  { g  e.  A  |  (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) } ) ) )
249156, 161, 2483eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) )  +  (
# `  { g  e.  A  |  (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) } ) ) )
250150, 249eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) )  <->  ( ( # `  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m ) } )  +  (
# `  { g  e.  A  |  (
g `  1 )  =  ( m  + 
1 ) } ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  +  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  =  ( m  +  1 ) } ) ) ) )
251120, 250syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... m
) } )  =  ( ( m  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
252251ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( ( # `  { g  e.  A  |  ( g ` 
1 )  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
253252a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
254119, 253syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
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1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
255254expcom 425 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... ( m  + 
1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) ) )
256255a2d 24 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `  {
g  e.  A  | 
( g `  1
)  e.  ( 1 ... m ) } )  =  ( ( m  -  1 )  x.  ( ( S `
 N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... (
m  +  1 ) ) } )  =  ( ( ( m  +  1 )  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
25753, 63, 73, 83, 113, 256nnind 10010 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) ) )
2581, 257mpcom 34 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  + 
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( # `  { g  e.  A  |  ( g `  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
25934, 258mpd 15 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 { g  e.  A  |  ( g `
 1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) } )  =  ( ( ( N  +  1 )  - 
1 )  x.  (
( S `  N
)  +  ( S `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) )
260 nncn 10000 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
261 pncan 9303 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
262260, 153, 261sylancl 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
263262oveq1d 6088 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1
) ) ) )  =  ( N  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
26432, 259, 2633eqtrd 2471 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( N  x.  ( ( S `  N )  +  ( S `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   {cpr 3807   <.cop 3809    e. cmpt 4258    _I cid 4485    |` cres 4872   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   #chash 11610
This theorem is referenced by:  subfacp1  24864
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611
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