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Theorem subfacval2 23718
Description: A closed-form expression for the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfacval2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, k, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f, k)    S( f, k)

Proof of Theorem subfacval2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  x )  =  ( S ` 
0 ) )
2 derang.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfac0 23708 . . . . . 6  |-  ( S `
 0 )  =  1
51, 4syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  x )  =  1 )
6 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
0 ) )
7 fac0 11291 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
86, 7syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  1 )
9 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... 0
) )
109sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
118, 10oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
125, 11eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  1  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
13 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
14 0p1e1 9839 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1513, 14syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  1 )
1615fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S ` 
1 ) )
172, 3subfac1 23709 . . . . . 6  |-  ( S `
 1 )  =  0
1816, 17syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  0 )
1915fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! ` 
1 ) )
20 fac1 11292 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2119, 20syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  1 )
2215oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... 1
) )
2322sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
2421, 23oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
2518, 24eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  0  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
2612, 25anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( 1  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  0  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
27 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  ( S `  x )  =  ( S `  m ) )
28 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  m ) )
29 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... m
) )
3029sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
3128, 30oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
3227, 31eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  m  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  m )  =  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
33 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  (
x  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
3433fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S `  ( m  +  1
) ) )
3533fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
3633oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
3736sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
3835, 37oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
3934, 38eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  m  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
4032, 39anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  m  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( ( S `
 m )  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
41 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  ( m  +  1
) ) )
42 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
43 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
4443sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
4542, 44oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
4641, 45eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
47 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )
4847fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )
4947fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )
5047oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
5150sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
5249, 51oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
5348, 52eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
5446, 53anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
55 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( S `  x )  =  ( S `  N ) )
56 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
57 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... N
) )
5857sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
5956, 58oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
6055, 59eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  N )  =  ( ( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
61 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
6261fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S `  ( N  +  1
) ) )
6361fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( N  +  1
) ) )
6461oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
6564sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
6663, 65oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
6762, 66eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
6860, 67anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
69 0z 10035 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
70 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
71 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
72 neg1cn 9813 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  CC
73 exp0 11108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
7472, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
7571, 74syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ k )  =  1 )
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
0 ) )
7776, 7syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  1 )
7875, 77oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
7970div1i 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  1 )  =  1
8078, 79syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  1 )
8180fsum1 12214 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  1 )
8269, 70, 81mp2an 653 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  1
8382oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( 1  x.  1 )
84 1t1e1 9870 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8583, 84eqtr2i 2304 . . . 4  |-  1  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
86 nn0uz 10262 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
87 1e0p1 10152 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
88 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ 1 ) )
89 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
9072, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
9188, 90syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  ( -u 1 ^ k )  =  -u 1 )
92 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
1 ) )
9392, 20syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  ( ! `  k )  =  1 )
9491, 93oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( -u 1  /  1 ) )
9572div1i 9488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  /  1 )  =  -u 1
9694, 95syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  -u 1 )
97 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
9897renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  RR
99 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
10098, 99mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ k )  e.  RR )
101 faccl 11298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
102100, 101nndivred 9794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
103102recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )
104103adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )
105 0nn0 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
106105, 82pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  NN0  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  1 )
107106a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( 0  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  1 ) )
10870negidi 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
109108a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( 1  +  -u
1 )  =  0 )
11086, 87, 96, 104, 107, 109fsump1i 12232 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( 1  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  0 ) )
111110trud 1314 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  0 )
112111simpri 448 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  0
113112oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( 1  x.  0 )
11470mul01i 9002 . . . . 5  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
115113, 114eqtr2i 2304 . . . 4  |-  0  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
11685, 115pm3.2i 441 . . 3  |-  ( 1  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  0  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
117 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( S `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
118117a1i 10 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( S `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
119 oveq12 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  m )  =  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  m
) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
120119ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  m
) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
121120oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( S `  ( m  +  1
) )  +  ( S `  m ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
122 nn0p1nn 10003 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
1232, 3subfacp1 23717 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  ( S `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( S `  ( m  +  1
) )  +  ( S `  ( ( m  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
124122, 123syl 15 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( S `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( S `  (
m  +  1 ) )  +  ( S `
 ( ( m  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
125 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
126 pncan 9057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( m  + 
1 )  -  1 )  =  m )
127125, 70, 126sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  -  1 )  =  m )
128127fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( S `
 ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( S `  m
) )
129128oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( S `  ( m  +  1 ) )  +  ( S `  ( ( m  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( m  +  1
) )  +  ( S `  m ) ) )
130129oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  (
( m  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( S `  (
m  +  1 ) )  +  ( S `
 m ) ) ) )
131124, 130eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( S `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( S `  (
m  +  1 ) )  +  ( S `
 m ) ) ) )
132 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
133 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
134132, 133syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
135 faccl 11298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  NN )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  NN )
137136nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
138 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( m  + 
1 ) )  e. 
Fin )
139 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
140139adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
141140, 103syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
142138, 141fsumcl 12206 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
143 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( ( m  + 
1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  e.  CC )
14472, 134, 143sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
145136nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =/=  0 )
146144, 137, 145divcld 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
147137, 142, 146adddid 8859 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
148 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e. 
NN0 )
149148, 86syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
150 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )
151 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
152150, 151oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )
153149, 141, 152fsump1 12219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
154153oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
155 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 0 ... m )  e. 
Fin )
156 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
157156adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  k  e.  NN0 )
158157, 103syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
159155, 158fsumcl 12206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
160 expcl 11121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( m  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  e.  CC )
16172, 132, 160sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  e.  CC )
162 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  e.  NN )
163132, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  e.  NN )
164163nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  e.  CC )
165163nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  0 )
166161, 164, 165divcld 9536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) )  e.  CC )
167137, 159, 166adddid 8859 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
168 facp1 11293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
169132, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
170 facp1 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  m )  x.  (
m  +  1 ) ) )
171 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  NN )
172171nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  CC )
173122nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  CC )
174172, 173mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( m  + 
1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  ( ! `  m )
) )
175170, 174eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  ( ! `  m )
) )
176175oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ! `  m
) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
177134nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  e.  CC )
178173, 172, 177mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ! `
 m ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )
179169, 176, 1783eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )
180179oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
181137, 161, 164, 165div12d 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
182169oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1 ) ) ) )
183177, 164, 165divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )
184182, 183eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )
185184oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
186181, 185eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
187180, 186oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
188154, 167, 1873eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
189144, 137, 145divcan2d 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
190188, 189oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )
191172, 177mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
192173, 191, 159mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
19372a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
194161, 177, 193adddid 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  -u 1 ) ) )
195 negsub 9095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u
1 )  =  ( ( ( m  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) )
196177, 70, 195sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 )  =  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
197 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  +  1 ) )
198173, 70, 197sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  +  1 ) )
199196, 198eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 )  =  ( m  +  1 ) )
200199oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( m  + 
1 ) ) )
201194, 200eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  -u 1
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
m  +  1 ) ) )
202 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( m  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  -u 1
) )
20372, 132, 202sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  -u 1 ) )
204203oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  -u 1
) ) )
205173, 161mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( m  + 
1 ) ) )
206201, 204, 2053eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
207192, 206oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  +  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
208173, 191mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
209208, 159mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
210161, 177mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
211209, 210, 144addassd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  +  (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  +  (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
212191, 159mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
213173, 212, 161adddid 8859 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  +  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
214207, 211, 2133eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  +  (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) ) ) )
215147, 190, 2143eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
216132, 86syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
217 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
218217adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
219218, 103syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
220 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( m  +  1 )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
221 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( m  +  1 )  +  1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )
222220, 221oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( m  +  1 )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
223216, 219, 222fsump1 12219 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
224223oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  ( (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
225164, 159mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
226172, 159mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
227225, 161, 226add32d 9034 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) ) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  +  ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
228153oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
229164, 159, 166adddid 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  (
( -u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
230161, 164, 165divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )
231230oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
232228, 229, 2313eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
233232oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) )
23470a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
235172, 173, 234adddid 8859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `
 m )  x.  ( m  +  1 ) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  1 ) ) )
236170eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( m  + 
1 ) )  =  ( ! `  (
m  +  1 ) ) )
237172mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  1 )  =  ( ! `  m
) )
238236, 237oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( m  +  1 ) )  +  ( ( ! `
 m )  x.  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  +  ( ! `  m ) ) )
239235, 238eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  +  ( ! `  m ) ) )
240239oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( ! `  m
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
241164, 172, 159adddird 8860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  +  ( ! `
 m ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
242240, 241eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
243242oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
244227, 233, 2433eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
245244oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
246215, 224, 2453eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) ) )
247131, 246eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( S `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( (
m  +  1 )  x.  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  m
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) ) ) )
248121, 247syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( S `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
249118, 248jcad 519 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
25026, 40, 54, 68, 116, 249nn0ind 10108 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) )
251250simpld 445 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104   !cfa 11288   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  subfaclim  23719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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