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Theorem subfacval3 23735
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfacval3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9988 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 derang.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfacf 23721 . . . . . . . 8  |-  S : NN0
--> NN0
54ffvelrni 5680 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
61, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
76nn0zd 10131 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  ZZ )
87zred 10133 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  RR )
9 faccl 11314 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
101, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
1110nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR )
12 epr 12502 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR+
13 rerpdivcl 10397 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
1411, 12, 13sylancl 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
15 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
16 rehalfcl 9954 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
1715, 16ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
18 readdcl 8836 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ! `  N )  /  _e )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR )
1914, 17, 18sylancl 643 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
20 elnn1uz2 10310 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
21 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
1 ) )
22 fac1 11308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2321, 22syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  1 )
2423oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
25 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  ( S ` 
1 ) )
262, 3subfac1 23724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S `
 1 )  =  0
2725, 26syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  0 )
2824, 27oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( ( 1  /  _e )  -  0
) )
29 rpreccl 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR+ )
3012, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR+
31 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR
3332recni 8865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  _e )  e.  CC
3433subid1i 9134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  -  0 )  =  ( 1  /  _e )
3528, 34syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( 1  /  _e ) )
3635fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( abs `  ( 1  /  _e ) ) )
37 rpge0 10382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( 1  /  _e ) )
3830, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  _e )
39 absid 11797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  _e )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  _e ) )  ->  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e ) )
4032, 38, 39mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e )
4136, 40syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
42 egt2lt3 12500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
4342simpli 444 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  _e
44 2re 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
45 ere 12386 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
46 2pos 9844 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
47 epos 12501 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
4844, 45, 46, 47ltrecii 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
) )
4943, 48mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
)
5041, 49syl6eqbr 4076 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
51 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
5251simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
5314, 8resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  RR )
5453recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5552, 54syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5655abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  e.  RR )
5752nnrecred 9807 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  e.  RR )
5817a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
592, 3subfaclim 23734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
6052, 59syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  N ) )
61 eluzle 10256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
62 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
63 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
64 lerec 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6544, 46, 64mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6662, 63, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6752, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6861, 67mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) )
6956, 57, 58, 60, 68ltletrd 8992 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  2 ) )
7050, 69jaoi 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 ) )
7120, 70sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
7217a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7314, 8, 72absdifltd 11932 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 )  <->  ( (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e )  /\  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) )
7471, 73mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  /\  ( ( ! `  N )  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
7574simpld 445 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e ) )
768, 72, 14ltsubaddd 9384 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  <->  ( S `  N )  <  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7775, 76mpbid 201 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
788, 19, 77ltled 8983 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
79 readdcl 8836 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
808, 17, 79sylancl 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
8174simprd 449 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) )
8214, 80, 72, 81ltadd1dd 9399 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ( S `  N )  +  ( 1  / 
2 ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
838recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  CC )
8472recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
8583, 84, 84addassd 8873 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
86 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
87 2halves 9956 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
8886, 87ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8988oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( ( S `  N )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( S `  N )  +  1 )
9085, 89syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
9182, 90breqtrd 4063 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
92 flbi 10962 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( S `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )  =  ( S `  N )  <-> 
( ( S `  N )  <_  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) )  <  (
( S `  N
)  +  1 ) ) ) )
9319, 7, 92syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( |_ `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( S `
 N )  <->  ( ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N
)  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( ( S `  N )  +  1 ) ) ) )
9478, 91, 93mpbir2and 888 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( S `  N
) )
9594eqcomd 2301 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   |_cfl 10940   !cfa 11304   #chash 11353   abscabs 11735   _eceu 12360
This theorem is referenced by:  derangfmla  23736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366
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