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Theorem subfacval3 24654
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfacval3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10160 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 derang.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfacf 24640 . . . . . . . 8  |-  S : NN0
--> NN0
54ffvelrni 5808 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
61, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
76nn0zd 10305 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  ZZ )
87zred 10307 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  RR )
9 faccl 11503 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
101, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
1110nnred 9947 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR )
12 epr 12734 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR+
13 rerpdivcl 10571 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
15 1re 9023 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1615rehalfcli 10148 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
17 readdcl 9006 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ! `  N )  /  _e )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR )
1814, 16, 17sylancl 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
19 elnn1uz2 10484 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
20 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
1 ) )
21 fac1 11497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2220, 21syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  1 )
2322oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
24 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  ( S ` 
1 ) )
252, 3subfac1 24643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S `
 1 )  =  0
2624, 25syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  0 )
2723, 26oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( ( 1  /  _e )  -  0
) )
28 rpreccl 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR+ )
2912, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR+
30 rpre 10550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR
3231recni 9035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  _e )  e.  CC
3332subid1i 9304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  -  0 )  =  ( 1  /  _e )
3427, 33syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( 1  /  _e ) )
3534fveq2d 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( abs `  ( 1  /  _e ) ) )
36 rpge0 10556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( 1  /  _e ) )
3729, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  _e )
38 absid 12028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  _e )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  _e ) )  ->  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e ) )
3931, 37, 38mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e )
4035, 39syl6eq 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
41 egt2lt3 12732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
4241simpli 445 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  _e
43 2re 10001 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
44 ere 12618 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
45 2pos 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
46 epos 12733 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
4743, 44, 45, 46ltrecii 9859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
) )
4842, 47mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
)
4940, 48syl6eqbr 4190 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
50 eluz2b2 10480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
5150simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
5214, 8resubcld 9397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  RR )
5352recnd 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5451, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5554abscld 12165 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  e.  RR )
5651nnrecred 9977 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  e.  RR )
5716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
582, 3subfaclim 24653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
5951, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  N ) )
60 eluzle 10430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
61 nnre 9939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
62 nngt0 9961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
63 lerec 9824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6443, 45, 63mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6561, 62, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6651, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6760, 66mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) )
6855, 56, 57, 59, 67ltletrd 9162 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  2 ) )
6949, 68jaoi 369 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 ) )
7019, 69sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
7116a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7214, 8, 71absdifltd 12163 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 )  <->  ( (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e )  /\  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) )
7370, 72mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  /\  ( ( ! `  N )  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
7473simpld 446 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e ) )
758, 71, 14ltsubaddd 9554 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  <->  ( S `  N )  <  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7674, 75mpbid 202 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
778, 18, 76ltled 9153 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
78 readdcl 9006 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
798, 16, 78sylancl 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
8073simprd 450 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) )
8114, 79, 71, 80ltadd1dd 9569 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ( S `  N )  +  ( 1  / 
2 ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
828recnd 9047 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  CC )
8371recnd 9047 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
8482, 83, 83addassd 9043 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
85 ax-1cn 8981 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
86 2halves 10128 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
8785, 86ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8887oveq2i 6031 . . . . 5  |-  ( ( S `  N )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( S `  N )  +  1 )
8984, 88syl6eq 2435 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
9081, 89breqtrd 4177 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
91 flbi 11150 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( S `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )  =  ( S `  N )  <-> 
( ( S `  N )  <_  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) )  <  (
( S `  N
)  +  1 ) ) ) )
9218, 7, 91syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( |_ `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( S `
 N )  <->  ( ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N
)  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( ( S `  N )  +  1 ) ) ) )
9377, 90, 92mpbir2and 889 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( S `  N
) )
9493eqcomd 2392 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373    =/= wne 2550   A.wral 2649   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   3c3 9982   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544   ...cfz 10975   |_cfl 11128   !cfa 11493   #chash 11545   abscabs 11966   _eceu 12592
This theorem is referenced by:  derangfmla  24655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-ico 10854  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-e 12598
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