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Theorem subfacval3 23720
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfacval3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9972 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 derang.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfacf 23706 . . . . . . . 8  |-  S : NN0
--> NN0
54ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
61, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
76nn0zd 10115 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  ZZ )
87zred 10117 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  RR )
9 faccl 11298 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
101, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
1110nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR )
12 epr 12486 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR+
13 rerpdivcl 10381 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
1411, 12, 13sylancl 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
15 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
16 rehalfcl 9938 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
1715, 16ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
18 readdcl 8820 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ! `  N )  /  _e )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR )
1914, 17, 18sylancl 643 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
20 elnn1uz2 10294 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
21 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
1 ) )
22 fac1 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2321, 22syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  1 )
2423oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  ( S ` 
1 ) )
262, 3subfac1 23709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S `
 1 )  =  0
2725, 26syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  0 )
2824, 27oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( ( 1  /  _e )  -  0
) )
29 rpreccl 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR+ )
3012, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR+
31 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR
3332recni 8849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  _e )  e.  CC
3433subid1i 9118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  -  0 )  =  ( 1  /  _e )
3528, 34syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( 1  /  _e ) )
3635fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( abs `  ( 1  /  _e ) ) )
37 rpge0 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( 1  /  _e ) )
3830, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  _e )
39 absid 11781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  _e )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  _e ) )  ->  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e ) )
4032, 38, 39mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e )
4136, 40syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
42 egt2lt3 12484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
4342simpli 444 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  _e
44 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
45 ere 12370 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
46 2pos 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
47 epos 12485 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
4844, 45, 46, 47ltrecii 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
) )
4943, 48mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
)
5041, 49syl6eqbr 4060 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
51 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
5251simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
5314, 8resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  RR )
5453recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5552, 54syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5655abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  e.  RR )
5752nnrecred 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  e.  RR )
5817a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
592, 3subfaclim 23719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
6052, 59syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  N ) )
61 eluzle 10240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
62 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
63 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
64 lerec 9638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6544, 46, 64mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6662, 63, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6752, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6861, 67mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) )
6956, 57, 58, 60, 68ltletrd 8976 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  2 ) )
7050, 69jaoi 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 ) )
7120, 70sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
7217a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7314, 8, 72absdifltd 11916 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 )  <->  ( (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e )  /\  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) )
7471, 73mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  /\  ( ( ! `  N )  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
7574simpld 445 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e ) )
768, 72, 14ltsubaddd 9368 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  <->  ( S `  N )  <  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7775, 76mpbid 201 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
788, 19, 77ltled 8967 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
79 readdcl 8820 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
808, 17, 79sylancl 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
8174simprd 449 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) )
8214, 80, 72, 81ltadd1dd 9383 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ( S `  N )  +  ( 1  / 
2 ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
838recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  CC )
8472recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
8583, 84, 84addassd 8857 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
86 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
87 2halves 9940 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
8886, 87ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8988oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( S `  N )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( S `  N )  +  1 )
9085, 89syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
9182, 90breqtrd 4047 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
92 flbi 10946 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( S `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )  =  ( S `  N )  <-> 
( ( S `  N )  <_  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) )  <  (
( S `  N
)  +  1 ) ) ) )
9319, 7, 92syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( |_ `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( S `
 N )  <->  ( ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N
)  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( ( S `  N )  +  1 ) ) ) )
9478, 91, 93mpbir2and 888 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( S `  N
) )
9594eqcomd 2288 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924   !cfa 11288   #chash 11337   abscabs 11719   _eceu 12344
This theorem is referenced by:  derangfmla  23721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350
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