MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subg0cl Unicode version

Theorem subg0cl 14629
Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subg0cl.i  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
subg0cl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )

Proof of Theorem subg0cl
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
21subggrp 14624 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( Gs  S ) )  =  ( 0g
`  ( Gs  S ) )
53, 4grpidcl 14510 . . 3  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
62, 5syl 15 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
7 subg0cl.i . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
81, 7subg0 14627 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  =  ( 0g `  ( Gs  S ) ) )
91subgbas 14625 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
108, 9eleq12d 2351 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  (  .0.  e.  S  <->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) ) )
116, 10mpbird 223 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615
This theorem is referenced by:  subgmulgcl  14634  issubg3  14637  issubg4  14638  subgint  14641  eqger  14667  ghmpreima  14704  subgga  14754  gasubg  14756  sylow1lem5  14913  sylow2blem2  14932  sylow2blem3  14933  fislw  14936  sylow3lem3  14940  sylow3lem4  14941  lsm01  14980  lsm02  14981  lsmdisj  14990  lsmdisj2  14991  pj1lid  15010  pj1rid  15011  dmdprdd  15237  dprdfid  15252  dprdfeq0  15257  dprdsubg  15259  dprdres  15263  dprdz  15265  dprdsn  15271  dmdprdsplitlem  15272  dprddisj2  15274  dprd2da  15277  dmdprdsplit2lem  15280  ablfacrp  15301  ablfacrp2  15302  ablfac1c  15306  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem3a  15311  pgpfac1lem3  15312  pgpfac1lem5  15314  pgpfaclem2  15317  pgpfaclem3  15318  abvres  15604  islss4  15719  subrgpsr  16163  mpllsslem  16180  opnsubg  17790  clssubg  17791  tgpconcompss  17796  plypf1  19594  dvply2g  19665  dchrptlem3  20505  fsumcnsrcl  27371  cnsrplycl  27372  rngunsnply  27378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-subg 14618
  Copyright terms: Public domain W3C validator