MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Unicode version

Theorem subgacs 14904
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
21issubg3 14889 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
43submss 14679 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  (SubMnd `  G
)  ->  s  C_  B )
54adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  C_  B )
6 vex 2904 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
76elpw 3750 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
85, 7sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  e.  ~P B )
9 eleq2 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  s  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y  <->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  s ) )
109raleqbi1dv 2857 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  s  ->  ( A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  s ) )
1110elrab3 3038 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) )
128, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) )
1312pm5.32da 623 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
142, 13bitr4d 248 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } ) ) )
15 elin 3475 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } ) )
1614, 15syl6bbr 255 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } ) ) )
1716eqrdv 2387 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  =  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } ) )
18 fvex 5684 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
193, 18eqeltri 2459 . . . 4  |-  B  e. 
_V
20 mreacs 13812 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2119, 20mp1i 12 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
22 grpmnd 14746 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
233submacs 14694 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
2422, 23syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
253, 1grpinvcl 14779 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  B )
2625ralrimiva 2734 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  B )
27 acsfn1 13815 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  B )  ->  { y  e. 
~P B  |  A. x  e.  y  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
2819, 26, 27sylancr 645 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
29 mreincl 13753 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubMnd `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3021, 24, 28, 29syl3anc 1184 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3117, 30eqeltrd 2463 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   {crab 2655   _Vcvv 2901    i^i cin 3264    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   ` cfv 5396   Basecbs 13398  Moorecmre 13736  ACScacs 13739   Mndcmnd 14613   Grpcgrp 14614   inv gcminusg 14615  SubMndcsubmnd 14666  SubGrpcsubg 14867
This theorem is referenced by:  nsgacs  14905  cycsubg2  14906  cycsubg2cl  14907  odf1o1  15135  lsmmod  15236  dmdprdd  15489  dprdfeq0  15509  dprdspan  15514  dprdres  15515  dprdss  15516  dprdz  15517  subgdmdprd  15521  subgdprd  15522  dprdsn  15523  dprd2dlem1  15528  dprd2da  15529  dmdprdsplit2lem  15532  ablfac1b  15557  pgpfac1lem1  15561  pgpfac1lem2  15562  pgpfac1lem3a  15563  pgpfac1lem3  15564  pgpfac1lem4  15565  pgpfac1lem5  15566  pgpfaclem1  15568  pgpfaclem2  15569  lssacs  15972  subrgacs  27179  proot1mul  27186  proot1hash  27190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-subg 14870
  Copyright terms: Public domain W3C validator