MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Unicode version

Theorem subgacs 14652
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
21issubg3 14637 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
43submss 14427 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  (SubMnd `  G
)  ->  s  C_  B )
54adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  C_  B )
6 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
76elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
85, 7sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  e.  ~P B )
9 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  s  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y  <->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  s ) )
109raleqbi1dv 2744 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  s  ->  ( A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  s ) )
1110elrab3 2924 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) )
128, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) )
1312pm5.32da 622 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
142, 13bitr4d 247 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } ) ) )
15 elin 3358 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } ) )
1614, 15syl6bbr 254 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } ) ) )
1716eqrdv 2281 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  =  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } ) )
18 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
193, 18eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
20 mreacs 13560 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2119, 20mp1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
22 grpmnd 14494 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
233submacs 14442 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
2422, 23syl 15 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
253, 1grpinvcl 14527 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  B )
2625ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  B )
27 acsfn1 13563 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  B )  ->  { y  e. 
~P B  |  A. x  e.  y  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
2819, 26, 27sylancr 644 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
29 mreincl 13501 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubMnd `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3021, 24, 28, 29syl3anc 1182 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3117, 30eqeltrd 2357 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255   Basecbs 13148  Moorecmre 13484  ACScacs 13487   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubMndcsubmnd 14414  SubGrpcsubg 14615
This theorem is referenced by:  nsgacs  14653  cycsubg2  14654  cycsubg2cl  14655  odf1o1  14883  lsmmod  14984  dmdprdd  15237  dprdfeq0  15257  dprdspan  15262  dprdres  15263  dprdss  15264  dprdz  15265  subgdmdprd  15269  subgdprd  15270  dprdsn  15271  dprd2dlem1  15276  dprd2da  15277  dmdprdsplit2lem  15280  ablfac1b  15305  pgpfac1lem1  15309  pgpfac1lem2  15310  pgpfac1lem3a  15311  pgpfac1lem3  15312  pgpfac1lem4  15313  pgpfac1lem5  15314  pgpfaclem1  15316  pgpfaclem2  15317  lssacs  15724  subrgacs  27508  proot1mul  27515  proot1hash  27519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618
  Copyright terms: Public domain W3C validator