MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Unicode version

Theorem subgacs 14967
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
21issubg3 14952 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
43submss 14742 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  (SubMnd `  G
)  ->  s  C_  B )
54adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  C_  B )
6 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
76elpw 3797 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
85, 7sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  e.  ~P B )
9 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  s  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y  <->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  s ) )
109raleqbi1dv 2904 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  s  ->  ( A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  s ) )
1110elrab3 3085 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) )
128, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) )
1312pm5.32da 623 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
142, 13bitr4d 248 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } ) ) )
15 elin 3522 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y } ) )
1614, 15syl6bbr 255 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } ) ) )
1716eqrdv 2433 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  =  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } ) )
18 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
193, 18eqeltri 2505 . . . 4  |-  B  e. 
_V
20 mreacs 13875 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2119, 20mp1i 12 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
22 grpmnd 14809 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
233submacs 14757 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
2422, 23syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
253, 1grpinvcl 14842 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  B )
2625ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  B )
27 acsfn1 13878 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  B )  ->  { y  e. 
~P B  |  A. x  e.  y  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
2819, 26, 27sylancr 645 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
29 mreincl 13816 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubMnd `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3021, 24, 28, 29syl3anc 1184 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3117, 30eqeltrd 2509 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   ` cfv 5446   Basecbs 13461  Moorecmre 13799  ACScacs 13802   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  SubMndcsubmnd 14729  SubGrpcsubg 14930
This theorem is referenced by:  nsgacs  14968  cycsubg2  14969  cycsubg2cl  14970  odf1o1  15198  lsmmod  15299  dmdprdd  15552  dprdfeq0  15572  dprdspan  15577  dprdres  15578  dprdss  15579  dprdz  15580  subgdmdprd  15584  subgdprd  15585  dprdsn  15586  dprd2dlem1  15591  dprd2da  15592  dmdprdsplit2lem  15595  ablfac1b  15620  pgpfac1lem1  15624  pgpfac1lem2  15625  pgpfac1lem3a  15626  pgpfac1lem3  15627  pgpfac1lem4  15628  pgpfac1lem5  15629  pgpfaclem1  15631  pgpfaclem2  15632  lssacs  16035  subrgacs  27476  proot1mul  27483  proot1hash  27487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933
  Copyright terms: Public domain W3C validator