MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgcl Unicode version

Theorem subgcl 14881
Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
subgcl  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  e.  S )

Proof of Theorem subgcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
21subggrp 14874 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
323ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
4 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  S )
51subgbas 14875 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
653ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
74, 6eleqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
8 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  S )
98, 6eleqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
10 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
11 eqid 2387 . . . 4  |-  ( +g  `  ( Gs  S ) )  =  ( +g  `  ( Gs  S ) )
1210, 11grpcl 14745 . . 3  |-  ( ( ( Gs  S )  e.  Grp  /\  X  e.  ( Base `  ( Gs  S ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )  ->  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
133, 7, 9, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
14 subgcl.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
151, 14ressplusg 13498 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
16153ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
1716oveqd 6037 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y ) )
1813, 17, 63eltr4d 2468 1  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   ↾s cress 13397   +g cplusg 13456   Grpcgrp 14612  SubGrpcsubg 14865
This theorem is referenced by:  subgsubcl  14882  subgmulgcl  14884  issubg2  14886  subgint  14891  ssnmz  14909  eqger  14917  eqgcpbl  14921  resghm  14949  ghmpreima  14954  subgga  15004  gasubg  15006  sylow2blem2  15182  lsmidm  15223  lsmmod  15234  pj1ghm  15262  dprdfadd  15505  pgpfac1lem3  15562  subrgacl  15806  islss4  15965  mpllsslem  16426  subgntr  18057  taylply2  20151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-subg 14868
  Copyright terms: Public domain W3C validator