Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj1 Structured version   Unicode version

Theorem subgdisj1 15325
 Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p
subgdisj.o
subgdisj.z Cntz
subgdisj.t SubGrp
subgdisj.u SubGrp
subgdisj.i
subgdisj.s
subgdisj.a
subgdisj.c
subgdisj.b
subgdisj.d
subgdisj.j
Assertion
Ref Expression
subgdisj1

Proof of Theorem subgdisj1
StepHypRef Expression
1 subgdisj.t . . . . . 6 SubGrp
2 subgdisj.a . . . . . 6
3 subgdisj.c . . . . . 6
4 eqid 2438 . . . . . . 7
54subgsubcl 14957 . . . . . 6 SubGrp
61, 2, 3, 5syl3anc 1185 . . . . 5
7 subgdisj.j . . . . . . . . 9
8 subgdisj.s . . . . . . . . . . 11
98, 3sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
10 subgdisj.b . . . . . . . . . 10
11 subgdisj.p . . . . . . . . . . 11
12 subgdisj.z . . . . . . . . . . 11 Cntz
1311, 12cntzi 15130 . . . . . . . . . 10
149, 10, 13syl2anc 644 . . . . . . . . 9
157, 14oveq12d 6101 . . . . . . . 8
16 subgrcl 14951 . . . . . . . . . 10 SubGrp
171, 16syl 16 . . . . . . . . 9
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
1918subgss 14947 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11
2120, 2sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
22 subgdisj.u . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2318subgss 14947 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
2524, 10sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
2618, 11grpcl 14820 . . . . . . . . . 10
2717, 21, 25, 26syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
2820, 3sseldd 3351 . . . . . . . . 9
2918, 11, 4grpsubsub4 14883 . . . . . . . . 9
3017, 27, 25, 28, 29syl13anc 1187 . . . . . . . 8
317, 27eqeltrrd 2513 . . . . . . . . 9
3218, 11, 4grpsubsub4 14883 . . . . . . . . 9
3317, 31, 28, 25, 32syl13anc 1187 . . . . . . . 8
3415, 30, 333eqtr4d 2480 . . . . . . 7
3518, 11, 4grppncan 14881 . . . . . . . . 9
3617, 21, 25, 35syl3anc 1185 . . . . . . . 8
3736oveq1d 6098 . . . . . . 7
38 subgdisj.d . . . . . . . . . . 11
3911, 12cntzi 15130 . . . . . . . . . . 11
409, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
4140oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
4224, 38sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
4318, 11, 4grppncan 14881 . . . . . . . . . 10
4417, 42, 28, 43syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
4541, 44eqtrd 2470 . . . . . . . 8
4645oveq1d 6098 . . . . . . 7
4734, 37, 463eqtr3d 2478 . . . . . 6
484subgsubcl 14957 . . . . . . 7 SubGrp
4922, 38, 10, 48syl3anc 1185 . . . . . 6
5047, 49eqeltrd 2512 . . . . 5
51 elin 3532 . . . . 5
526, 50, 51sylanbrc 647 . . . 4
53 subgdisj.i . . . 4
5452, 53eleqtrd 2514 . . 3
55 elsni 3840 . . 3
5654, 55syl 16 . 2
57 subgdisj.o . . . 4
5818, 57, 4grpsubeq0 14877 . . 3
5917, 21, 28, 58syl3anc 1185 . 2
6056, 59mpbid 203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726   cin 3321   wss 3322  csn 3816  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  cgrp 14687  csg 14690  SubGrpcsubg 14940  Cntzccntz 15116 This theorem is referenced by:  subgdisj2  15326  subgdisjb  15327  lvecindp  16212 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118
 Copyright terms: Public domain W3C validator