MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0 Unicode version

Theorem subge0 9287
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
3 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
4 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 leaddsub 9250 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  +  B
)  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
73recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
87addid2d 9013 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  +  B
)  =  B )
98breq1d 4033 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  B  <_  A ) )
106, 9bitr3d 246 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  subge0i  9326  subge0d  9362  znn0sub  10065  uzindOLD  10106  fracge0  10936  modge0  10980  expnbnd  11230  abssubge0  11811  blcvx  18304  iirev  18427  iihalf2  18431  ovolfsf  18831  cosq14ge0  19879  sinord  19896  resinf1o  19898  ang180lem2  20108  acosbnd  20196  ftalem5  20314  mumullem2  20418  rpvmasumlem  20636  dchrisum0flblem1  20657  rescon  23777  mulsuble0b  24088  fz0n  24097  brbtwn2  24533  colinearalglem4  24537  ax5seglem3  24559  mslb1  25607  iintlem1  25610  jm2.23  27089  stoweidlem1  27750  stoweidlem26  27775  stoweidlem62  27811  wallispilem4  27817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator