MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0 Structured version   Unicode version

Theorem subge0 9541
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0
StepHypRef Expression
1 0re 9091 . . . 4  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
3 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
4 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 leaddsub 9504 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  +  B
)  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
73recnd 9114 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
87addid2d 9267 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  +  B
)  =  B )
98breq1d 4222 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  B  <_  A ) )
106, 9bitr3d 247 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    <_ cle 9121    - cmin 9291
This theorem is referenced by:  subge0i  9580  subge0d  9616  znn0sub  10323  uzindOLD  10364  fracge0  11213  modge0  11257  expnbnd  11508  abssubge0  12131  blcvx  18829  iirev  18954  iihalf2  18958  ovolfsf  19368  cosq14ge0  20419  sinord  20436  resinf1o  20438  ang180lem2  20652  acosbnd  20740  ftalem5  20859  mumullem2  20963  rpvmasumlem  21181  dchrisum0flblem1  21202  rescon  24933  mulsuble0b  25193  fz0n  25202  brbtwn2  25844  colinearalglem4  25848  ax5seglem3  25870  ftc1anclem5  26284  jm2.23  27067  lesubnn0  28096  subsubelfzo0  28135  2submod  28152  swrdccatin12lem3  28212  swrdccat  28216  2cshw2lem2  28253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator